2012年菏泽市中考数学试卷及答案解析

2012 年山东省菏泽市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1．（2012 菏泽）点 P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点：点的坐标。 解答：解：点 P（﹣2，1）在第二象限． 故选 B． 2．（2012 菏泽）在算式（ ）□（ ）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算 符号是（ ） A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 考点：实数的运算；实数大小比较。 解答：解：当填入加号时：（ ）+（ ）=﹣ ； 当填入减号时：（ ）﹣（ ）=0； 当填入乘号时：（ ）×（ ）= ； 当填入除号时：（ ）÷（ ）=1． ∵1＞ ＞0＞﹣ ， ∴这个运算符号是除号． 故选 D． 3．（2012 菏泽）如果用□表示 1 个立方体，用 表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体 叠加，那么下面图是由 7 个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图。 解答：解：从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个 立方体，在中间且有两个立方体叠加． 故选 B． 4．（2012 菏泽）已知      1 2 y x 是二元一次方程组 8 1 mx ny nx my      的解，则 nm 2 的算术平方根 为（ ） A．±2 B． 2 C．2 D． 4 考点：二元一次方程组的解；算术平方根。 解答：解：∵      1 2 y x 是二元一次方程组      1 8 mynx nymx 的解， ∴ 2 8 2 1 m n n m      ， 解得： 3 2 m n    ， ∴2m﹣n=4， ∴ nm 2 的算术平方根为 2． 故选 C． 5．（2012 菏泽）下列图形中是中心对称图形是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形。 解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选 D． 6．（2012 菏泽）反比例函数 2y x  的两个点为 1 1( , )x y 、 2 2( , )x y ，且 1 2x x ，则下式关系成 立的是（ ） A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D．不能确定 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。 解答：解：反比例函数 2y x  中，k=2＞0， ①两点在同一象限内，y2＞y1； ②A，B 两点不在同一象限内，y2＜y1． 故选 D． 7．（2012 菏泽）我市今年 6 月某日部分区县的最高气温如下表： 区县 牡丹区 东明 鄄城 郓城 巨野 定陶 开发区 曹县 成武 单县 最高气温 （℃） 32 32 30 32 30 32 32 32 30 29 则这 10 个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ） A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，31 考点：众数；中位数。 解答：解：在这一组数据中 32 是出现次数最多的，故众数是 32； 处于这组数据中间位置的数是 32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 32． 故选 A． 8．（2012 菏泽）已知二次函数 2y ax bx c   的图像如图所示，那么一次函数 y bx c  和 反比例函数 ay x  在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。 解答：解：∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴 x=﹣ ＜0， ∴b＜0， ∵二次函数图象经过坐标原点， ∴c=0， ∴一次函数 y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数 ay x  位于第二四象限， 纵观各选项，只有 C 选项符合． 故选 C． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．） 9．（2012 菏泽）已知线段 AB=8cm，在直线 AB 上画线段 BC，使它等于 3cm，则线段 AC= cm． 考点：两点间的距离。 解答：解：根据题意，点 C 可能在线段 BC 上，也可能在 BC 的延长线上． 若点 C 在线段 BC 上，则 AC=AB﹣BC=8﹣3=5（cm）； 若点 C 在 BC 的延长线上，则 AC=AB+BC=8+3=11（cm）． 故答案为 5 或 11． 10．（2012 菏泽）若不等式组 3x x m    的解集是 3x  ，则m的取值范围是 ． 考点：不等式的解集。 解答：解：∵不等式组 的解集是 3x  ， ∴m≤3． 故答案为：m≤3． 11．（2012 菏泽）如图，PA，PB 是⊙O 是切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P=46°， 则∠BAC= 度． 考点：切线的性质。 解答：解：∵PA，PB 是⊙O 是切线， ∴PA=PB，又∠P=46°， ∴∠PAB=∠PBA= =67°， 又 PA 是⊙O 是切线，AO 为半径， ∴OA⊥AP， ∴∠OAP=90°， ∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°． 故答案为：23 12．（2012 菏泽）口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色 1 号、红色 2 号、黄色 1 号、 黄色 2 号、黄色 3 号的 5 个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是 ． 考点：列表法与树状图法。 解答：解：列表得： 红 1，黄 3 红 2，黄 3 黄 1，黄 3 黄 2，黄 3 ﹣ 红 1，黄 2 红 2，黄 2 黄 1，黄 2 ﹣ 黄 3，黄 2 红 1，黄 1 红 2，黄 1 ﹣ 黄 2，黄 1 黄 3，黄 1 红 1，红 2 ﹣ 黄 1，红 2 黄 2，红 2 黄 3，红 2 ﹣ 红 2，红 1 黄 1，红 1 黄 2，红 1 黄 3，红 1 ∵共有 20 种等可能的结果，这两球都是红色的有 2 种情况， ∴从中摸出两球，这两球都是红色的概率是： = ． 故答案为： ． 13．（2012 菏泽）将 4 个数 a b c d， ， ， 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 a b c d ， 定义 a b c d ad bc  ，上述记号就叫做 2 阶行列式．若 1 1 8 1 1 x x x x      ，则 x  ． 考点：整式的混合运算；解一元一次方程。 解答：解：根据题意化简 1 1 8 1 1 x x x x      ，得： 2 2( 1) (1 ) 8x x    ， 整理得： 2 22 1 (1 2 ) 8x x x x      ，即 4 8x  ， 解得： 2x  ． 故答案为：2 14．（2012 菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如： 32 ， 33 和 34 分别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 32 3 5  ； 33 7 9 11   ； 34 13 15 17 19    ；……； 若 36 也按照此规律来进行“分裂”，则 36 “分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ． 考点：规律型：数字的变化类。 解答：解：由 23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1， 33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1， 43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1， 53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1， 63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1， 所以 63“分裂”出的奇数中最大的是 6×5+1+2×（6﹣1）=41． 故答案为：41． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（2012 菏泽）（1）先化简，再求代数式的值． 2 2 2 ( ) 1 11 a a a aa      ，其中 2012( 1) tan 60a    ． 考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。 解答：解：原式 2( 1) ( 2) 1 3 1 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 a a a a a a a a a a a a                ． 当 a＝ 2012( 1) +tan60°= 1+ 3 时， 原式 3 3 = 3 1+ 3 1 3    ． （2）解方程： ( 1)( 1) 2( 3) 8x x x     ． 考点：解一元二次方程-因式分解法。 解答：解：原方程可化为 2 2 3 0x x   ． ∴（x+3）（x﹣1）=0， ∴x1=﹣3，x2=1． 16．（2012 菏泽）（1）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条 件： ，使△ABC∽△ADE． 考点：相似三角形的判定。 解答：解：∠D=∠B 或∠AED=∠C． （2）如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴的正 半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻 折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，求 D，E 两点的坐标． 考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；勾股定理； 解答：解：依题意可知，折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴， ∴在 Rt△ABE 中，AE=AO=10，AB=8， 2 2 2 210 8 6BE AE AB     ， ∴CE=4， ∴E（4，8）． 在 Rt△DCE 中，DC2+CE2=DE2， 又∵DE=OD， ∴（8﹣OD）2+42=OD2，， ∴OD=5， ∴D（0，5）． 17．（2012 菏泽）（1）如图，一次函数 2y= 2 3 x  的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B， 以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°．求过 B、C 两点直线的解析式． 考点：一次函数综合题。 解答：解：一次函数 2y= 2 3 x  中，令 x=0 得：y=2； 令 y=0，解得 x=3． 则 A 的坐标是（0，2），C 的坐标是（3，0）． 作 CD⊥x 轴于点 D． ∵∠BAC=90°， ∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∵∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠BAO 又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90° ∴△ABO≌△CAD， ∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5． 则 C 的坐标是（5，3）． 设 BC 的解析式是 y=kx+b， 根据题意得： ， 解得： ． 则 BC 的解析式是： 1 2 5 y x  ． （2）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的 单价多 4 元，用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等．今年文学书和 科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书，问购 进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书？ 考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。 解答：解：设文学书的单价是 x 元/本． 依题意得： 12000 8000 4x x   解得： 8x  ，经检验 8x  是方程的解，并且符合题意. 4 12x   所以，去年购进的文学书和科普书的单价分别是 8 元和 12 元． ②设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书． 依题意得550 8 12 10000y   ，解得 2466 3 y  ， 由题意取最大整数解， 466y  .． 所以，至多还能够进 466 本科普书． 18．（2012 菏泽）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都 在格点上，P1，P2，P3，P4，P5 是△DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC 为直角三角形； （2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5 中的 3 个格点并且与△ABC 相 似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）． 考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。 解答：解：（1）根据勾股定理，得 AB=2 ，AC= ，BC=5； 显然有 AB2+AC2=BC2， 根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形； （2）△ABC 和△DEF 相似． 根据勾股定理，得 AB=2 ，AC= ，BC=5， DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ． = = = ， ∴△ABC∽△DEF． （3）如图：连接 P2P5，P2P4，P4P5， ∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ， AB=2 ，AC= ，BC=5， ∴ = = = ， ∴，△ABC∽△P2P4 P5． 19．（2012 菏泽）某中学举行数学知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念 奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给出的信息解答下列问 题： （1）二等奖所占的比例是多少？ （2）这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少？ （3）请将条形统计图补充完整； （4）若给所有参赛学生每人发一张卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透 明的袋子里，摇匀后任意摸出一张，求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率． 考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式。 解答：解：（1）由 1﹣10%﹣24%﹣46%=20%，所以二等奖所占的比例为 20% （2）参赛的总人数为：20÷10%=200 人， 这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是：200×20%=40 人； （3） （4）摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率为：20÷200= 1 10 ． 20．（2012 菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为 10 元/件的工艺品投放市 场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价 x（元/件） … 20 30 40 50 60 … 每天销售量（y 件） … 500 400 300 200 100 … （1）把上表中 x、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点， 猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （利润=销售总价﹣成本总价） （3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 35 元/件，那么销售单价定为 多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？ 考点：二次函数的应用；一次函数的应用。 解答：解：（1）画图如图： 由图可猜想 y 与 x 是一次函数关系， 设这个一次函数为 ( 0)y kx b k   ， ∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点， ∴ 500 20 400 30 k b k b      ，解得 10 700 k b     ， ∴函数关系式是 10 700y x   ． （2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得： 2 2( 10)( 10 700) 10 800 7000 10( 40) +9000W x x x x x           ， 当 40x  时，W 有最大值9000 .- （3）对于函数 210( 40) +9000W x   ，当 35x  时，W 的值随着 x值的增大而增大， 销售单价定为 35 元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大． 21．（2012 菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1），B （2，0），O（0，0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点 A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PB′A′B 的面积是 △A′B′O 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PB′A′B 的两条性质． 考点：二次函数综合题。 解答：解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°得到的， 又 A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A′（﹣1，0），B′（0，2）． 设抛物线的解析式为： 2 ( 0)y ax bx c a    ， ∵抛物线经过点 A′、B′、B， 0 2 0 4 2 a b c c a b c          ，解之得 1 1 2 a b c       ， 满足条件的抛物线的解析式为 2 2y x x    .． （2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点， 设 P（x，y），则 x＞0，y＞0，P 点坐标满足 2 2y x x    ． 连接 PB，PO，PB′， B OA B O OB PB A B S S S S         P P四边形 1 1 11 2+ 2 + 2 2 2 2 x y       2 2( 2) 1 2 3x x x x x          . 假设四边形 PB A B  的面积是 A B O  面积的 4倍，则 2 2 3 4x x    ， 即 2 2 1 0x x   ，解之得 1x  ，此时 21 1 2 2y      ，即 (1,2)P . ∴存在点 P（1，2），使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍． （3）四边形 PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等． 或用符号表示： ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′ =PB．