2012年临沂市中考数学试卷及答案解析

2012 年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，满分 42 分）在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（2012 临沂） 1 6  的倒数是（ ） A．6 B．﹣6 C． 1 6 D． 1 6  考点：倒数。 解答：解：∵（﹣ ）×（﹣6）=1， ∴﹣ 的倒数是﹣6． 故选 B． 2．（2012 临沂）太阳的半径大约是 696000 千米，用科学记数法可表示为（ ） A．696×103 千米 B．696×104 千米 C．696×105 千米 D．696×106 千米 考点：科学记数法—表示较大的数。 解答：解：696000=696×105； 故选 C． 3．（2012 临沂）下列计算正确的是（ ） A． 2 2 42 4 6a a a  B．  2 21 1a a   C ．  32 5a a D． 7 5 2x x x  考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。 解答：解：A．2a2+4a2=6a2，所以 A 选项不正确； B．（a+1）2=a2+2a+1，所以 B 选项不正确； C．（a2）5=a10，所以 C 选项不正确； D．x7÷x5=x2，所以 D 选项正确． 故选 D． 4．（2012 临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2 的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．140° 考点：平行线的性质；直角三角形的性质。 解答：解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°， ∴∠3=∠1=40°， ∵DB⊥BC， ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°． 故选 B． 5．（2012 临沂）化简 41 2 2 a a a       的结果是（ ） A． 2a a  B． 2 a a  C． 2a a  D． 2 a a  考点：分式的混合运算。 解答：解：原式= • = ． 故选 A． 6．（2012 临沂）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形， 现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 1 考点：概率公式；中心对称图形。 解答：解：∵是中心对称图形的有圆、菱形， 所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是 = ； 故选 B． 7．（2012 临沂）用配方法解一元二次方程 2 4 5x x  时，此方程可变形为（ ） A．  22 1x   B．  22 1x   C．  22 9x   D．  22 9x   考点：解一元二次方程-配方法。 解答：解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选 D． 8．（2012 临沂）不等式组 2 1 5, 3 1 12 x x x      的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。 解答：解： ， 由①得：x＜3， 由②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 在数轴上表示为： ． 故选：A． 9．（2012 临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A．18cm2 B．20cm2 C．（18+2 ）cm2 D．（18+4 ）cm2 考点：由三视图判断几何体。 解答：解：根据三视图判断，该几何体是正三棱柱， 底边边长为 2cm，侧棱长是 3cm， 所以侧面积是：（3×2）×3=6×3=18cm2． 故选 A． 10．（2012 临沂）关于 x、y 的方程组 3 ,x y m x my n      的解是 1, 1, x y    则 m n 的值是（ ） A．5 B．3 C．2 D．1 考点：二元一次方程组的解。 解答：解：∵方程组 3 ,x y m x my n      的解是 1, 1, x y    ， ∴ ， 解得 ， 所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1． 故选 D． 11．（2012 临沂）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC．BD 相交于点 O，下 列结论不一定正确的是（ ） A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 考点：等腰梯形的性质。 解答：解：A．∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD， 故本选项正确； B．∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB， 在△ABC 和△DCB 中， ∵ ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ACB=∠DBC， ∴OB=OC， 故本选项正确； C．∵无法判定 BC=BD， ∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等， 故本选项错误； D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC， ∴∠ABD=∠ACD． 故本选项正确． 故选 C． 12．（2012 临沂）如图，若点 M 是 x 轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQ∥y 轴，分别交函 数 1 ( 0)ky xx   和 2 ( 0)ky xx   的图象于点 P 和 Q，连接 OP 和 OQ．则下列结论正确的 是（ ） A．∠POQ 不可能等于 90° B． 1 2 kPM QM k  C．这两个函数的图象一定关于 x 轴对称 D．△POQ 的面积是  1 2 1 2 k k 考点：反比例函数综合题。 解答：解：A．∵P 点坐标不知道，当 PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误； B．根据图形可得：k1＞0，k2＜0，而 PM，QM 为线段一定为正值，故 =| |，故此选项 错误； C．根据 k1，k2 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于 x 轴对称，故此选项错误； D．∵|k1|=PM•MO，|k2|=MQ•MO，△POQ 的面积= MO•PQ= MO（PM+MQ） = MO•PM+ MO•MQ， ∴△POQ 的面积是 （|k1|+|k2|），故此选项正确． 故选：D． 13．（2012 临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 为 BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则 图中阴影部分的面积之和为（ ） A．1 B． 3 2 C． 3 D． 2 3 考点：扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理。 解答：解：连接 AE， ∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°， 又∵∠BED=120°， ∴∠AED=30°， ∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵点 E 为 BC 的中点，∠AED=90°， ∴AB=AC， ∴△ABC 是等边三角形．△EDC 是等边三角形，边长是 4． ∴∠BOE=∠EOD=60°， ∴ 和弦 BE 围成的部分的面积= 和弦 DE 围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积=S△EDC= ×22= ． 故选 C． 14．（2012 临沂）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分别沿 A→B→C 和 A→D→C 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s），四边 形 PBDQ 的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 （ ） A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象。 解答：解：①0≤x≤4 时， ∵正方形的边长为 4cm， ∴y=S△ABD﹣S△APQ = ×4×4﹣ •t•t =﹣ t2+8， ②4≤x≤8 时， y=S△BCD﹣S△CPQ = ×4×4﹣ •（8﹣t）•（8﹣t） =﹣ （8﹣t）2+8， 所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 B 选项图象 符合． 故选 B． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）把答案填在题中横线上． 15．（2012 临沂）分解因式： 26 9a ab ab  = ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。 解答：解：原式=a（1﹣6b+9b2）， =a（1﹣3b）2． 故答案为：a（1﹣3b）2． 16．（2012 临沂）计算： 14 82  = ． 考点：二次根式的加减法。 解答：解：原式=4× ﹣2 =0． 故答案为：0． 17．（2012 临沂）如图，CD 与 BE 互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °． 考点：轴对称的性质；平行线的判定与性质。 解答：解：∵CD 与 BE 互相垂直平分， ∴四边形 BDEC 是菱形， ∴DB=DE， ∵∠BDE=70°， ∴∠ABD= =55°， ∵AD⊥DB， ∴∠BAD=90°﹣55°=35°， 根据轴对称性，四边形 ACBD 关于直线 AB 成轴对称， ∴∠BAC=∠BAD=35°， ∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°． 故答案为：70． 18．（2012 临沂）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点 E， 使 EC=BC，过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AE= cm． 考点：全等三角形的判定与性质。 解答：解：∵∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠ECF=∠B， 在△ABC 和△FEC 中， ， ∴△ABC≌△FEC（ASA）， ∴AC=EF， ∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5﹣2=3cm． 故答案为：3． 19．（2012 临沂）读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和， 由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 100 1n n   ，这里“∑”是求和符号 通过对以上材料的阅读，计算   2012 1 1 1n n n  =__________． 考点：分式的加减法，寻找规律。 解答：解：由题意得， =1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ =1﹣ = ． 故答案为： ． 三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共 3 小题，6+7+7=20 分） 20．（2012 临沂）“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷 纷为她捐款，我市某中学九年级一班全体同学参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统 计图如图所示： （1）求该班的总人数； （2）将条形图补充完整，并写出捐款总额的众数； （3）该班平均每人捐款多少元？ 考点：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；众数。 解答：解：（1） =50（人）． 该班总人数为 50 人； （2）捐款 10 元的人数：50﹣9﹣14﹣7﹣4=50﹣34=16， 图形补充如右图所示，众数是 10； （3） （5×9+10×16+15×14+20×7+25×4）= ×655=131 元， 因此，该班平均每人捐款 131 元． 21．（2012 临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品 的数量的 2 倍多 9 件，若加工 1800 件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时 间的 倍，求手工每小时加工产品的数量． 考点：分式方程的应用。 解答：解：设手工每小时加工产品 x 件，则机器每小时加工产品（2x+9）件， 根据题意可得： × = ， 解方程得 x=27， 经检验，x=27 是原方程的解， 答：手工每小时加工产品 27 件． 22．（2012 临沂）如图，点 A．F、C．D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两 侧，且 AB=DE，∠A=∠D，AF=DC． （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形， （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定； 菱形的判定。 解答：（1）证明：∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+FC，即 AC=DF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌DEF（SAS）， ∴BC=EF，∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF， ∴四边形 BCEF 是平行四边形． （2）解：连接 BE，交 CF 与点 G， ∵四边形 BCEF 是平行四边形， ∴当 BE⊥CF 时，四边形 BCEF 是菱形， ∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC= =5， ∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG， ∴△ABC∽△BGC， ∴ = ， 即 = ， ∴CG= ， ∵FG=CG， ∴FC=2CG= ， ∴AF=AC﹣FC=5﹣ = ， ∴当 AF= 时，四边形 BCEF 是菱形． 四、认真思考，你一定能成功！（本大题共 2 小题，9+10=19 分） 23．（2012 临沂）如图，点 A．B．C 分别是⊙O 上的点，∠B=60°，AC=3，CD 是⊙O 的直 径，P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求 PD 的长． 考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。 解答：（1）证明：连接 OA． ∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC， ∴∠ACP=∠CAO=30°， ∴∠AOP=60°， ∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=90°， ∴OA⊥AP， ∴AP 是⊙O 的切线， （2）解：连接 AD． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD=90°， ∴AD=AC•tan30°=3× = ， ∵∠ADC=∠B=60°， ∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°， ∴∠P=∠PAD， ∴PD=AD= ． 24．（2012 临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市 20 天全部销售完，小 明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 y（单位：千克）与上市时 间 x（单位：天）的函数关系如图 1 所示，樱桃价格 z（单位：元/千克）与上市时间 x（单 位：天）的函数关系式如图 2 所示． （1）观察图象，直接写出日销售量的最大值； （2）求小明家樱桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式； （3）试比较第 10 天与第 12 天的销售金额哪天多？ 考点：一次函数的应用。 解答：解：（1）由图象得：120 千克， （2）当 0≤x≤12 时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为 y=kx， ∵点（12，120）在 y=kx 的图象， ∴k=10， ∴函数解析式为 y=10x， 当 12＜x≤20，设日销售量与上市时间的函数解析式为 y=kx+b， ∵点（12，120），（20，0）在 y=kx+b 的图象上， ∴ ， ∴ ∴函数解析式为 y=﹣15x+300， ∴小明家樱桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式为： y= ； （3）∵第 10 天和第 12 天在第 5 天和第 15 天之间， ∴当 5＜x≤15 时，设樱桃价格与上市时间的函数解析式为 z=kx+b， ∵点（5，32），（15，12）在 z=kx+b 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴函数解析式为 z=﹣2x+42， 当 x=10 时，y=10×10=100，z=﹣2×10+42=22， 销售金额为：100×22=2200（元）， 当 x=12 时，y=120，z=﹣2×12+42=18， 销售金额为：120×18=2160（元）， ∵2200＞2160， ∴第 10 天的销售金额多． 五、相信自己，加油啊！（本大题共 2 小题，11+13=24 分） 25．（2012 临沂）已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向 点 D 运动． （1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质。 解答：（1）证明：∵b=2a，点 M 是 AD 的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a， 又∵在矩形 ABCD 中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴∠BMC=90°． （2）解：存在， 理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB=∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC， ∴ = ， 设 AM=x，则 = ， 整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵b＞2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当 b＞2a 时，存在∠BMC=90°， （3）解：不成立． 理由：若∠BMC=90°， 由（2）可知 x2﹣bx+a2=0， ∵b＜2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＜0， ∴方程没有实数根， ∴当 b＜2a 时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 26．（2012 临沂）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 A．O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三 角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过 B 点作 BC⊥x 轴，垂足为 C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4， ∴OC= OB= ×4=2，BC=OB•sin60°=4× =2 ， ∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣2 ）； （2）∵抛物线过原点 O 和点 A．B， ∴可设抛物线解析式为 y=ax2+bx， 将 A（4，0），B（﹣2．﹣2 ）代入，得 ， 解得 ， ∴此抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x （3）存在， 如图，抛物线的对称轴是 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y）， ①若 OB=OP， 则 22+|y|2=42， 解得 y=±2 ， 当 y=2 时，在 Rt△POD 中，∠PDO=90°，sin∠POD= = ， ∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即 P、O、B 三点在同一直线上， ∴y=2 不符合题意，舍去， ∴点 P 的坐标为（2，﹣2 ） ②若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42， 解得 y=﹣2 ， 故点 P 的坐标为（2，﹣2 ）， ③若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2， 解得 y=﹣2 ， 故点 P 的坐标为（2，﹣2 ）， 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，﹣2 ），