九年级数学下册期中试题及答案解析

期中检测题 【本检测题满分:120 分，时间:120 分钟】 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ） A.都缩小 1 2 B.都扩大 2 倍 C.都没有变化 D.不能确定 2. 如图是教学用的直角三角板，边 AC=30 cm，∠C=90°， tan∠BAC= ，则边 BC 的长为（ ） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm 3.一辆汽车沿坡角为 的斜坡前进 500 米，则它上升的高度为（ ） A.500sin B. 500 sin C.500cos D. 500 cos 4.如图，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°， 则点 到 的距离是（ ） A.10 5 3 B.5+5 3 C.15 5 3 D.15 10 3 5. tan 60 的值等于（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.2 6.计算 6tan 45 2cos 60   的结果是( ) A. 4 3 B. 4 C.5 3 D.5 7.如图，在 ABC△ 中， 90 , 5, 3,∠C AB BC    则 sin A 的值是( ) A. 3 4 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 8.上午 9 时，一船从 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到 达 处，如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 处与小岛 的距离为（ ） A.20 海里 B.20 2 海里 第 7 题图 A C B 第 2 题图 C.15 3 海里 D.20 3 海里 9. （2012•山西中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 第 9 题图 10. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连结 交⊙ 于点 ,连结 , 若∠ ＝45°,则下列结论正确的是（ ） A． B. C. D. 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.在离旗杆 20 m 的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高 1.5 m， 那么 旗杆的高为________m. 12.如果 sin = 3 2 ，则锐角 的余角是__________. 13.已知∠ 为锐角，且 sin = 8 17 ，则 tan 的值为__________. 14.如图，在离地面高度为 5 m 的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的 长为__________m(用 的三角函数值表示). 15.（2014·成都中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点 D， 连结 AD，若∠ A =25°，则∠C =__________度. 第 14 题图 16.（2014·苏州中考）如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A， P 是⊙O 上的一个动点 （不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，连结 PA．设 PA＝x，PB＝y，则（x －y）的最大值是 ． 17. 如图所示， PA ， PB 切⊙O 于 A ， B 两点，若 60APB  ∠ ，⊙O 的半径为3， 则阴影部分的面积为_______. 18. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形， 三角形是直角三角形，其中最大正方形的边长为 ，则 正方形 A，B 的面积和是_________． 三、解答题（共 66 分） 19.(8 分)计算:6tan230°－cos 30°·tan 60°－2sin 45°+cos 60°. 20.(8 分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于 灌溉，已知 到水池 处的距离 是 50 米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影 响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过 10 米，否则无法抽取水池中的水，试问抽 水泵站能否建在 处? 21.(8 分) 如图所示，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 P 是直径 AB 上的一点（不与 A， B 重合），过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q. （1）在线段 PQ 上取一点 D，使 DQ=DC，连结 DC，试判断 CD 与⊙O 的位置关系，并说 明理由； （2）若 cos B= 3 5 ，BP=6，AP=1，求 QC 的长. BA 第 18 题图 第 17 题图 A P B O 22.(8 分)在 Rt △ 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和 a(边长精确到 0.1). 23.(8 分) 在△ 中， ， b ， ．若 90C   ，如图①，根据勾股定 理，则 2 2 2a b c  .若△ 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试 猜想 2 2a b 与 2c 的关系，并证明你的结论． 24.(8 分)某电视塔 和楼 的水平距离为 100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰 角分别为 45°和 60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到 0.1 m). 第 24 题图 25.(8 分) 如图，点 D 在 O⊙ 的直径 AB 的延长线上，点C 在 O⊙ 上，且 ， ∠ °. （1）求证： CD 是 O⊙ 的切线； （2）若 O⊙ 的半径为 2，求图中阴影部分的面积. 26.（10 分）（2014·北京中考）如下图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧 AB 的中点，⊙O 的 切线 BD 交 AC 的延长线于点 D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 DB 于点 F，AF 交⊙O 于点 H，连结 BH. （1）求证：AC=CD； A BC A BC A BC① ② ① ③ ① 第 23 题图 （2）若 OB=2，求 BH 的长. 期中检测题参考答案 一、选择题 1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知，如果各边的长度都扩大 2 倍，那么锐角 的各三 角函数均没有变化．故选 C． 2.C 解析：在直角三角形 ABC 中，tan∠BAC= 根据三角函数定义可知：tan∠BAC= ， 则 BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)． 故选 C． 3.A 解析：如图，∠ = ， =500 米，则 =500sin ．故选 A． 第 3 题答图 第 4 题答图 4.C 解析：如图，作 AD⊥BC，垂足为点 D.在 Rt△ 中，∠ =60°， ∴ = ． 在 Rt△ 中，∠ =45°，∴ = ， ∴ =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ． 故选 C． 5.C 6.D 解析： 16tan 45 2cos 60 6 1 2 52         . 7.C 解析： 3sin 5 BCA AB   . 第 8 题答图 8.B 解析：如图，过点 作 ⊥ 于点 ． 由题意得， =40× =20（海里），∠ =105°． 在 Rt△ 中， = • 45°=10 ． 在 Rt△ 中，∠ =60°，则∠ =30°， 所以 =2 =20 （海里）． 故选 B． 9.B 解析：连结 OC，如图所示. ∵ 圆心角∠BOC 与圆周角∠CDB 都对弧 BC， ∴ ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴ ∠BOC=40°， 又∵ CE 为 的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°， ∴ ∠E=90° 40°=50°． 故选 B. 10. A 解析：∵ 是 的直径， 与 切于 点且∠ ＝ , ∴ 、 和 都是等腰直角三角形.∴ 只有 成立.故选 A. 二、填空题 11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高 20tan m，测角仪高 1.5 m， 故旗杆的高为（1.5+20tan ）m． 12.30° 解析：∵ sin = ， 是锐角，∴ =60°． ∴ 锐角 的余角是 90°﹣60°=30°． 13. 8 15 解析：由 sin = = 知，如果设 =8 ，则 17 ， 结合 2+ 2= 2 得 =15 ． ∴ tan = ． 14. 5 sin 解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ， ∴ = ． 15.40 解析：连结 OD，由 CD 切⊙O 于点 D，得∠ODC=90 . ∵ OA=OD,∴ 2 50DOC A     , ∴ 90 90 50 40 .C DOC          16. 2 解析：如图所示， 连结OA ，过点 O 作 APOC  于点 C，所以∠ACO=90°. 根据垂径定理可知， xAPAC 2 1 2 1  . 根据切线性质定理得， lOA  . 因为 lPB  ，所以∠PBA=90°,OA∥ PB , 所以 APBOAC  . 又因为∠ACO=∠PBA，所以 OAC△ ∽ APB△ , 所以 ,PB AC AP OA  即 y x x 24  ，所以 8 2xy  ， 所以 8 2xxyx  = 2)4(8 1 2  x ， 所以 yx  的最大值是 2. 17. PA ， PB 切⊙ 于 A ， B 两点 ， 所以∠ =∠ ，所以∠ 所以 新_课_标第_一_网 所以阴影部分的面积为 = . 18.25 解析：设正方形 A 的边长为 正方形 B 的边长为 则 ， 所以 . 三、解答题 19.解：原式= 2 3 3 2 1 3 16 3 2 2 2 1 23 2 2 2 2 2                 . 20.解：∵ =50，∠ =15°，又 sin∠ = AB AC ， ∴ = ·sin∠ = 50sin 15°≈13 10， 故抽水泵站不能建在 处. 21. 分析：（1）连结 OC，通过证明 OC⊥DC 得 CD 是⊙O 的切线；（2）连结 AC，由直径 所对的圆周角是直角得△ABC 为直角三角形，在 Rt△ABC 中根据 cos B= 3 5 ，BP=6，AP=1， 求出 BC 的长，在 Rt△BQP 中根据 cos B= BP BQ 求出 BQ 的长，BQ BC 即为 QC 的长. 解：（1）CD 是⊙O 的切线. 理由如下：如图所示，连结 OC， ∵ OC=OB，∴ ∠B=∠1.又∵ DC=DQ，∴ ∠Q=∠2. ∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPB=90°. ∴ ∠B+∠Q=90°.∴ ∠1+∠2=90°. ∴ ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°. ∴ OC⊥DC. ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线. （2）如图所示，连结 AC， ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°. 在 Rt△ABC 中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× 3 5 = 21 5 . 在 Rt△BPQ 中，BQ= cos BP B = 6 3 5 =10.∴ QC=BQ BC=10- 21 5 = 29 5 . 22.解：∠ =90° 50°=40°.∵ sin = a c ， =3，∴ sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3. 23.解：如图①，若△ 是锐角三角形，则有 2 2 2a b c  .证明如下： 过点 作 ，垂足为点 ，设 为 x ，则有 a x . 根据勾股定理，得 2 2 2 2 2( )b x AD c a x     ，即 2 2 2 2 22b x c a ax x     . ∴ 2 2 2 2a b c ax   .∵ 0, 0a x  ，∴ 2 0ax  ，∴ 2 2 2a b c  . 如图②，若△ 是钝角三角形， C 为钝角，则有 2 2 2a b c  . 证明如下： 过点 作 ，交 的延长线于点 . 设 为 x ，则有 2 2 2BD a x  ，根据勾股定理，得 2 2 2 2( )b x a x c    ， A BC ① D ① A BC ② ① D ① 第 23 题答图 即 2 2 22a b bx c   . ∵ 0, 0b x  ，∴ 2 0bx  ，∴ 2 2 2a b c  . 24.解：设 = m，∵ =100 m，∠ =45°， ∴ ·tan 45°=100(m).∴ =(100+ )m. 在 Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°， ∴ tan 60°= AB BD ， ∴ = 3 ，即 +100=100 3 ， =100 3 100 73.2(m)， 即楼高约为 73.2 m，电视塔高约为 173.2 m. 25．（1）证明：连结 OC . ∵ CDAC  ， 120ACD   ， ∴ 30A D     . ∵ OCOA  , ∴ 2 30A     . ∴ 2 90OCD ACD      . ∴ CD 是 O⊙ 的切线. （2）解: ∵ ， ∴ . ∴ . 在 Rt △ OCD 中, tan60 2 3CD OC    . ∴ Rt 1 1 2 2 3 2 32 2OCDS OC CD       . ∴ 图中阴影部分的面积为 32 2 3 π. 26. （1）证明：如图，连结 OC. ∵ C 是弧 AB 的中点，AB 是 O 的直径， ∴ OC⊥AB.∵ BD 是 O 的切线，∴ BD⊥AB,∴ OC∥BD. ∵ AO=BO,∴ AC=CD. (2)解：∵ OC⊥AB，AB⊥BF, OC∥BF，∴ ∠COE=∠FBE. ∵ E 是 OB 的中点，∴ OE=BE. 在△COE 和△FBE 中， , , , CEO FEB OE BE COE FBE       ∴ △COE≌△FBE(ASA). ∴ BF=CO. ∵ OB=OC=2，∴ BF=2. ∴ 2 2 2 5.AF AB BF   ∵ AB 是直径，∴ BH⊥AF. ∵ AB⊥BF,∴ △ABH∽△AFB.∴ AB BH AF BF  , ∴ 4 2 4 5, .52 5 AB BFAB BF AF BH BH AF       ∴