期中检测题
（本检测题满分：120 分，时间：120 分钟）
一、选择题（每小题 2 分，共 24 分）
1.（2013·兰州中考）二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（ 1，3） C.（1， 3） D.（ 1， 3）
2.（2013·哈尔滨中考）把抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，
所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.（2013·吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为
,则下列结论正确的是（ ）
A. B. ＜0, ＞0
C. ＜0, ＜0 D. ＞0, ＜0
4. （2013·河南中考）在二次函数 的图象上，若 随 的增大而增大，则
的取值范围是（ ）
A. 1 B. 1 C. -1 D. -1
5. 已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，给出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确结
论的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D. 5
6.在同一平面直角坐标系中，函数 y mx m 和函数 2 2 2y mx x （ 是常数，且
0m ）的图象可能．．是（ ）
7.（2014·天津中考）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，且关于 x 的
一元二次方程 ax2＋bx＋c－m=0 没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；
③m＞2.其中，正确结论的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.（2014·苏州中考）二次函数 y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式
1－a－b 的值为（ ）
第 7 题图第 3 题图 第 5 题图
A．－3 B．－1 C．2 D．5
9.（2014·兰州中考）抛物线 y= 31 2 ）（x 的对称轴是（ ）
A.y 轴 B.直线 x=-1 C.直线 x=1 D.直线 x=-3
10.（2014·兰州中考）把抛物线 y= 22x 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位
长度后，所得函数的表达式为（ ）
A. 212 2 )(xy B. 212 2 )(xy
C. 212 2 )(xy D. 212 2 )(xy
11.抛物线 cbxxy 2 的部分图象如图所示，若 0y ，则 x 的取值范围是（ ）
A. 14 x B. 13 x
C. 4x 或 1x D. 3x 或 1x
12.（2014·兰州中考）二次函数 y= 2ax bx c （ a≠0） 的图象如图所示，其对称轴为
x=1.下列结论中错误的是（ ）
A.abc＜0 B.2a＋b=0 C.b2-4ac＞0 D.a-b＋c＞0
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
13.已知二次函数 12 kkxxy 的图象顶点在 轴上，则 .
14.二次函数 的最小值是____________.
15.（2014·南京中考）已知二次函数 cbxaxy 2 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值
如下表：
x ... -1 0 1 2 3 ...
y ... 10 5 2 1 2 ...
则当 5y 时，x 的取值范围是_____.
16.（2014·天津中考）抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标是 .
17. （2014·广州中考） 若关于 x 的方程 2 22 3 2 0x mx m m 有两个实数根 1 2,x x ，
则 2
1 2 1 2( )x x x x 的最小值为 .
18.（2013· 成都中考）在平面直角坐标系 中，直线 为任意常数）与抛物线
交于 两点，且 点在 轴左侧， 点的坐标为（0,－4），连接 , .有
以下说法：
① ；②当 时， 的值随 的增大而增大；
③ 当 － 时 ， ； ④ △ 面 积 的 最 小 值 为 4 ， 其 中 正 确 的
是 .（写出所有正确说法的序号）
三、解答题（共 78 分）
第 11 题图 第 12 题图
19.（8 分）已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求此二次函数
的解析式．
20.（8 分）已知二次函数 .
（1）求函数图象的顶点坐标及对称轴.
（2）求此抛物线与 轴的交点坐标.
21.（8 分）已知抛物线 的部分图象如图所示.
（1）求 的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和 的最大值；
（3）写出当 时， 的取值范围.
22.（8 分）（2014·南京中考）已知二次函数 32 22 mmxxy （m 是常数）.
(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一
个公共点？
23.（10 分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50 元．市场调查发现，在一段时间内，
销售量 （千克）随销售单价 （元/千克）的变化而变化，具体关系式为 2 240w x ，
且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克．设这种绿茶在这段时间内的
销售利润为 （元），解答下列问题：
（1）求 与 的关系式.
（2）当 取何值时， 的值最大？
（3）如果公司想要在这段时间内获得 2 250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24.（10 分）抛物线 2y ax bx c 交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于点C ,已知 抛物线的
对称轴为 1x ， (3,0)B , (0, 3)C .
⑴求二次函数 2y ax bx c 的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点 P ，使点 P 到 B ， C 两点距离之差最大？若存
在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；
⑶平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M N， 两点，若以 MN 为直径的圆恰好与 x 轴相
切，求此圆的半径．
25.（12 分）（2014·苏州中考）如图，二次函数 y＝a(x2－2mx－3m2)（其中 a，m 是常数
且 a>0，m>0 的图象与 x 轴分别交于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于
点 C(0，－3)，点 D 在二次函数的图象上，CD∥AB，连接 AD．过点 A 作射线 AE
交二次函数的图象于点 E，AB 平分∠DAE．
(1)用含 m 的代数式表示 a；
第 21 题图
(2)求证： AD
AE
为定值；
(3)设该二次函数图象的顶点为 F．探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以
线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满
足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
第 25 题图
26.（14 分）（2013·哈尔滨中考）某水渠的横截面呈抛物线形， 水面的宽为 AB （单位：
米），现以 AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐
标系,设坐标原点为 O .已知 8AB 米，设抛物线解析式为 2 4y ax .
（1）求 a 的值；
（2）点 1C m ， 是抛物线上一点，点 C 关于原点 O 的对称点为点 D ，连接
, ,CD BC BD ，求△ BCD 的面积.
第 26 题图
期中检测题参考答案
1.A 解析：因为 的图象的顶点坐标为 ,
所以 的图象的顶点坐标为（1，3）.
2.D 解析：把抛物线 向下平移 2 个单位，
所得到的抛物线是 ，再向右平移 1 个单位，
所得到的抛物线是 .
点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.
3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为 ,[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
∴ 这条抛物线的顶点坐标为 .
观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，
∴ .
4.A 解析：把 配方，得 .
∵ -1 0,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线 ,
∴ 当 1 时， 随 的增大而增大.
5.B 解析 :对于二次函数 ，由图象知：当 时， ，所
以①正确;
由图象可以看出抛物线与 轴有两个交点，所以 ，所以②正确；
因为图象开口向下，对称轴是直线 ，
所以 ，所以 ，所以③错误;
当 时， ，所以④错误;
由图象知 ，所以 ，所以⑤正确，
故正确结论的个数为 3.
6.D 解析:选项 A 中，直线的斜率 ，而抛物线开口朝下，则 ，得 ，前后
矛盾，故排除 A 选项;选项 C 中，直线的斜率 ，而抛物线开口朝上，则 ，得
，前后矛盾，故排除 C 选项;B、D 两选项的不同处在于，抛物线顶点的横坐标一正
一负.两选项中，直线斜率 ，则抛物线顶点的横坐标
m2
2
，故抛物线的
顶点应该在 轴左边，故选项 D 正确.
7.D 解析: ∵ 抛物线与 x轴有两个交点，∴ 方程 2 0ax bx c 有两个不相等的实数根，
∴ 2 4 0b ac ，①正确.∵抛物线的开口向下，∴ 0a .又∵抛物线的对称轴是直
线
2
bx a
， 02
b
a
，∴ 0b .∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴，∴ 0c ，∴ 0abc ，
②正确.方程 2 0ax bx c m 的根是抛物线 2y ax bx c 与直线 y m 交点
的横坐标，当 2m 时，抛物线 2y ax bx c 与直线 y m 没有交点，此时方程
2 0ax bx c m 没有实数根，③正确，∴ 正确的结论有 3 个.
8.B 解析：把点（1,1）代入 12 bxaxy ,得 .11,11 baba
9.C 解析:由二次函数的表达式可知，抛物线的顶点坐标为(1,-3)，所以抛物线的对称轴是
直线 x=1.
10.C 解析：抛物线 y= 22x 向右平移 1 个单位长度后，所得函数的表达式为 212 )( xy ，
抛 物 线 212 )( xy 向 上 平 移 2 个 单 位 长 度 后 ， 所 得 函 数 的 表 达 式 为
212 2 )(xy .
11.B 解析：∵ 抛物线的对称轴为 ，而抛物线与 轴的一个交点的横坐标为 1，w!w!w.!x!k!b!1.com
∴ 抛物线与 轴的另一个交点的横坐标为 ，
根据图象知道若 ，则 ，故选 B．
12.D 解析：∵二次函数的图象的开口向下，∴ a0.
∵二次函数图象的对称轴是直线 x=1，∴ 12
b
a
，∴ b>0，
∴ 0abc ，∴选项 A 正确.
∵ 12
b
a
，∴ 2b a ，即 2 0a b ，∴选项 B 正确.
∵二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点，∴方程 2 0ax bx c 有两个不相等的
实数根，∴ b2-4ac＞0，∴选项 C 正确.
∵当 1x 时，y=a-b+c＜0，∴选项 D 错误.
13.2 解 析 ： 根 据 题 意 ， 得
24 04
ac b
a
， 将 ， ， 代 入 ， 得
24 1 04 1
k k
，解得 ．
14.3 解析:当 时， 取得最小值 3.
15. 0＜x＜4 解析: 根据二次函数图象的对称性确定出该二次函数图象的对称轴，然后解
答即可.
∵ x=1 和 x=3 时的函数值都是 2，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线 x=2.由表可知，当 x=0 时，y=5，
∴ 当 x=4 时，y=5.由表格中数据可知，当 x=2 时，函数有最小值 1,
∴ a＞0，∴ 当 y＜5 时，x 的取值范围是 0＜x＜4.
16.（1，2） 解析：抛物线 2y a x h k 的顶点坐标是 ,h k .把抛物线解析式
2 2 3y x x 化为顶点式得 21 2y x ，所以它的顶点坐标是（1，2）.
17. 5
4
解析：由根与系数的关系得到：
2
1 2 1 22 , 3 2x x m x x m m ，
∴ 2
1 2 1 2( )x x x x = 22 2
1 1 2 2 1 2 1 2x x x x x x x x
23 3 2m m
21 53 .2 4m
1 5 3 0, 2 4m 当 时，它有最小值 .
∵方程有两个实数根，
∴Δ 0 ，解得 2
3m ．
∴ 23 3 2m m 的最小值为 5
4
符合题意．
18. ③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.
设点 A 的坐标为（ , ）,点 B 的坐标为（ ）.
不妨设 1
3k ,解方程组 得
1
2
21
2, 3,
2 1,,3
x x
yy
∴ 22 3,13A B
， ， .
此时 , ,∴ .而 =16,∴ ≠ ,
∴ 结论①错误.
当 = 时，求出 A(-1,- ),B（6,10）,
此时 ( )(2 )=16.
由① 时， ( )( )=16.
比较两个结果发现 的值相等.∴ 结论②错误.
当 - 时，解方程组 得出 A（-2 ，2）,B（ ，-1）,
求出 12, 2, 6,∴ ,即结论③正确.
把方程组 消去 y 得方程 ,∴ , .
∵ = ·| | OP·| |= ×4×| |
=2 =2 ,
∴ 当 时， 有最小值 4 ，即结论④正确.
19. 分 析 : 因 为 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 ， 所 以 设 此 二 次 函 数 的 解 析 式 为
21 2y a x ，把点（2，3）代入解析式即可解答．
解：已知抛物线的顶点坐标为 ，
所以设此二次函数的解析式为 ，
把点（2，3）代入解析式，得 ，即 ，
所以此函数的解析式为 ．新*课*标*第*一*网
20.分析：（1）首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶点坐标、对称轴的公式即
可求解；（2）根据抛物线与 轴交点坐标的特点和函数解析式即可求解．
解：（1）∵ ，
∴ 顶点坐标为（1，8），对称轴为直线 .
（2）令 ，则 ，解得 ， ．
∴ 抛物线与 轴的交点坐标为（ ），（ ）．
21.解：（1）由图象知此二次函数过点（1，0），（0，3），
将点的坐标代入函数解析式，得
0 1 ,
3 ,
b c
c
解得 2,
3.
b
c
（2）由（1）得函数解析式为 ，
即为 ，
所以抛物线的对称轴为 的最大值为 4.
（3）当 时，由 ，解得 ，
即函数图象与 轴的交点坐标为（ ），（1，0）.
所以当 时， 的取值范围为 ．
22.（1）证法一：因为（–2m）2–4（m2+3）= –12＜0，
所以方程 x2–2mx+m2+3=0 没有实数根，
所以不论 m 为何值，函数 2 22 3y x mx m 的图象与 x 轴没有公共点.
证法二：因为 1 0a ，所以该函数的图象开口向上.
又因为 2 2 22 3 ( ) 3 3y x mx m x m ，
所以该函数的图象在 x 轴的上方.
所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点.
（2）解： 2 2 22 3 ( ) 3y x mx m x m ，
把函数 2( ) 3y x m 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 2( )y x m 的
图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点.
所以把函数 2 22 3y x mx m 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函
数的图象与 x 轴只有一个公共点．
23.分析：（1）因为 ，
故 与 的关系式为 ．
（2）用配方法化简函数式，从而可得 的值最大时所对应的
（3）令 ，求出 的值即可．
解：（1） ，
∴ 与 的关系式为 ．
（2） ，
∴ 当 时， 的值最大．
（3）当 时，可得方程 .
解这个方程，得 .
根据题意， 不合题意，应舍去.
∴ 当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2 250 元．
24.解：（1）将 (0, 3)C 代入 cbxaxy 2 ，得 3c ．
将 3c ， (3,0)B 代入 cbxaxy 2 ，得 03-39 ba ．
∵ 1x 是对称轴，∴ 12
a
b ．
由此可得 1a ， 2b ．∴二次函数的解析式是 322 xxy ．
（2） AC 与对称轴的交点 P 即为到 B C、 两点距离之差最大的点．
∵ C 点的坐标为 (0, 3) ， A 点的坐标为 ( 1,0) ，
∴ 直线 AC 的解析式是 33 xy .又对称轴为 1x ，∴ 点 P 的坐标为 (1, 6) ．
（3）设 1( , )M x y 、 2( , )N x y ，所求圆的半径为 ，则 rxx 212 .
∵ 对称轴为 1x ，∴ 212 xx ．∴ 12 rx ．
将 1,N r y 代入解析式 2 2 3y x x ，得 21 2 1 3y r r ，
整理得 42 ry ．
由于 ，当 0y 时， 042 rr ，解得
2
171
1
r ，
2
171
2
r （舍去）；
当 0y 时， 042 rr ，解得
2
171
1
r ，
2
171
2
r （舍去）．
∴ 圆的半径是
2
171 或 .2
171
25.（1）解：将 C（0，－3）代入二次函数 y=a（x2－2mx－3m2），
则－3=a（0－0－3m2），
解得 a= 2
1
m .
（2）证明：如图，
过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M、N．
由 a（x2－2mx－3m2）=0，
解得 x1=－m，x2=3m，
∴ A（－m，0），B（3m，0）．
∵ CD∥AB，
∴ 点 D 的坐标为（2m，－3）．
∵ AB 平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN.
∵ ∠DMA=∠ENA=90°，
∴ △ADM∽△AEN．
∴ AD AM DM
AE AN EN
.
设点 E 的坐标为 2 2
2
1 ( 2 3 )x x mx mm
， ， 第 25 题答图
∴
2 2
2
3
1 ( 2 3 )x mx mm
= 3
( )
m
x m
，
∴ x=4m，∴ E（4m，5）.
∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴ 3
5
AD AM
AE AN
，即为定值．
（3）解：如图所示，
记二次函数图象的顶点为点 F，则点 F 的坐标为（m，－4），
过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H．
连接 FC 并延长，与 x 轴负半轴交于一点，此点即为所求的点 G．
∵ tan∠CGO= OC
OG
，tan∠FGH= HF
HG
，∴ OC
OG
= HF
HG
，
∴ OG=3m．
此时，GF= 2 2+GH HF = 216 +16m =4 2 1m ，
AD= 2 2+AM MD = 29 +9m =3 2 1m ，∴ GF
AD = ．
由（2）得 AD
AE = ，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，
∴ 以线段 GF，AD，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点 G 的横坐标为
3m．
26.分析：（1）求出点 A 或点 B 的坐标，将其代入 ，即可求出 a 的值；
（2）把点 代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点 C 的坐标，再根据
点 C 和 点 D 关 于 原 点 O 对 称 ， 求 出 点 D 的 坐 标 ， 然 后 利 用
求△BCD 的面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知 ,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.
∴ a .
（2）如图所示，过点 C 作 于点 E，过点 D 作 于点 F.
∵ a= ,∴ -4.当 -1 时，m= × -4=- ,∴ C（-1,- ）.
∵ 点 C 关于原点 O 的对称点为点 D，∴ D（1, ）.∴ .
∴ ×4× + ×4× =15.
∴ △BCD 的面积为 15 平方米.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的
图形面积的和或差求解.
第 26 题答图
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