2015年九年级数学下册期中试题及答案解析

期中检测题 （本检测题满分：120 分，时间：120 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.若函数 x ky  的图象经过点（1， )1 ，则函数 2 kxy 的图象不经过第（ ）象限. A .一 B.二 C.三 D.四 2.（2013·广东中考）已知 1 20k k  ，则函数 1 1y k x  和 2ky x  的图象大致是（ ） 3.当 k ＞0， x ＜0 时，反比例函数 x ky  的图象在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若函数 x ky  的图象经过点（3，-7），那么它一定还经过点（ ） A.（3，7） B.（-3，-7） C.（-3，7） D.（-7，-3） 5.(2013 ·沈阳中考 ) 如图所示，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C＝ ∠E，AD＝ 4 ，BC＝ 8 ，BD∶DC＝ 5 ∶ 3 ，则 DE 的长等于（ ） A. B. C. D. 6.(2013 ·山东东营中考 ) 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8 ，另一个与它相似的 直角三角形边长分别是 3 ， 4 及 那么 的值（ ） A. 只有 1 个 B. 可以有 2 个 C. 可以有 3 个 D. 有无数个 7.(2013 ·山东聊城中考 ) 如图所示，D 是△ABC 的边 BC 上任一点， 已知 AB =4 ，AD =2 ，∠DAC = ∠B . 若△ABD 的面积为 则△ACD 的 面积为（ ） A. B. C. D. 8. 购买 只茶杯需 15 元，则购买茶杯的单价 与 的关系式为（ ） 第 5 题图 第 7 题图 A. xy 15 （ 取实数） B. xy 15 （ 取整数） C. xy 15 （ 取自然数） D. xy 15 （ 取正整数） 9. 在下列四组三角形中，一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个锐角三角形 10. 若 = = 且 3 =3，则 2 的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 11. 若 = 则 （ ） A． B． C． D． 12. 若△ ∽△ 且相似比为 △ ∽△ 且相似比为 则 △ 与△ 的相似比为（ ） A． B． C． 或 D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 13.已知y与2x+1成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=0时，y= . 14.（2013·陕西中考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数 6y x  的图象交于 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 两点，那么 2 1 2 1( )( )x x y y  的值为________. 15.若梯形的下底长为 x，上底长为下底长的 1 3 ，高为 y，面积为 60，则 y 与 x 的函数解 析式为__________.（不考虑 x 的取值范围） 16.反比例函数 ky x  （k>0）的图象与经过原点的直线 相交于 A、B 两点，已知 A 点的 坐标为（2，1），那么 B 点的坐标为 . 17.在比例尺为 1 ∶ 500 000 的某省地图上，量得 A 地到 B 地的距离约为 46 厘米，则 A 地到 B 地的实际距离约为 千米. 18.如图是一个边长为 1 的正方形组成的网格，△ 与△ 都是格点三角形（顶点在 网格交点处） , 并且△ ∽△ 则△ △ 的相似比是 . B A 1B 1C1A C 新$课$标$第$一$网 19.如图所示，EF 是△ABC 的中位线，将 沿 AB 方向 平移到△EBD 的位置，点 D 在 BC 上，已知△AEF 的面积为 5，则图中阴影部分的面积 为 . 20.如图所示，在平行四边形 中 是对角线 BD 上的点，且 EF∥AB，DE∶EB=2∶3， EF=4，则 CD 的长为 . 三、解答题（共 60 分） 21.（10 分）(2013·湖北宜昌中考)如图①所示,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC 于点 O,F 是线段 AO 上的点(与 不重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接 FE,FC,BE,BF. ① ② 第 21 题图 (1)求证:BE=BF. (2)如图②所示,若将△AEF 绕点 旋转,使边 AF 在∠BAC 的内部,延长 CF 交 AB 于点 交 BE 于点 . ①求证:△AGC∽△KGB; ②当△BEF 为等腰直角三角形时,请你直接写出 AB∶BF 的值. 22.（8 分）（2013·兰州中考）如图所示，已知反比例函数 x ky 1 的图象与一次函数 2y ax b  的图象交于点 A（1，4）和点 B（m，－2）. （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，当 x>0 时，直接写出 1 2y y 时自变量 x 的取值范围； （3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求△ABC 的面积. 23.（8 分）如图所示，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数 0ky kx  （ ）的 图象经过点 A（2，m），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，且△AOB 的面积为 1 2 . （1）求 k 和 m 的值； 第 20 题图第 18 题图 第 19 题图 （2）点 C（x，y）在反比例函数 ky x  的图象上，求当 1≤x≤3 时函数值 y 的取值范 围； （3）过原点 O 的直线与反比例函数 ky x  的图象交于 P、Q 两点，试根据图象直接 写出线段 PQ 长度的最小值. 24.(8 分)已知反比例函数 x ky  （k 为常数，k≠0）的图象经过点 A（2，3）. （1）求这个函数的解析式； （2）判断点 B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上； （3）当-3＜x＜-1 时，求 y 的取值范围. 25. (8 分)在比例尺为 1∶50 000 的地图上，一块多边形地区的周长是 72 cm，多边形的两个 顶点 、 之间的距离是 25 cm，求这个地区的实际边界长和 、 两地之间的实际距离. 26. (8 分)已知：如图所示，在△ 中 ∥ 点 在边 上 与 相 交于点 且 ∠ ． 求证：（ 1 ）△ ∽△ ； （ 2 ） 27. (10 分)制作一种产品，需先将材料加热达到 60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为 y（℃），从加热开始计算的时间为 x（分钟）．据了解，当该材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如 图）．已知该材料在操作加工前的温度为 15 ℃，加热 5 分钟后温度达到 60 ℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式； 第 23 题图第 22 题图 （2）根据工艺要求，当材料的温度低于 15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到 停止操作，共经历了多少时间？ 第 26 题图 第 27 题图 期中检测题参考答案 1.A 解析：因为函数 x ky  的图象经过点（1，-1），所以 k=-1，所以 y=kx-2=-x-2， 根据一次函数的图象可知不经过第一象限. 2.A 解析：由 2 0k  ，知函数 2ky x  的图象分别位于第一、三象限；由 1 0k  ，知函数 1 1y k x  的图象经过第二、三、四象限，故选 A. 3.C 解析：当 k＞0 时，反比例函数的图象在第一、三象限，当 x＜0 时，反比例 函数 的图象在第三象限，所以选 C. 4.C 解析：因为函数图象经过点（3，-7），所以 k=-21.将各选项分别代入检验可知 只有 C 项符合. 5.B 解析：∵ BC＝BD+DC＝8，BD∶DC＝5∶3，∴ BD＝5，DC＝3.∵ ∠ =∠ ∠ADC= ∠BDE,∴△ACD∽△BED,∴ 即 ∴ DE= . 6.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为 6，8，且另一个与它相似的直角三角形的两 直角边长为 3,4 时 的值为 5；当一个直角三角形的一直角边长为 6,斜边长为 8，另一直 角边长为 2 且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为 3,斜边长为 4 时 的值 为 故 的值可以为 5 或 . 7.C 解析：∵ ∠DAC=∠ ∠ACD=∠BCA，∴ △ABC∽△DAC， ∴ = =4，即 ∴ ∴ . 点拨：相似三角形的面积比等于对应边的比的平方.不要错误地认为相似三角形的面积比 等于对应边的比. 8. D 解析：由题意知 1515, (xy y xx  故 取正整数）. 9.B 解析 : 根据相似图形的定义对各选项分析判断后再利用排除法进行求解 . A. 两个等腰三角形 , 两腰对应成比例 , 夹角不一定相等 , 所以两个等腰三角形不一定相似，故 本选项错误；B. 两个等腰直角三角形，两腰对应成比例，夹角都是直角.一定相等，所以 两个等腰直角三角形一定相似，故本选项正确；C. 两个直角三角形，只有一直角相等， 其余两锐角不一定对应相等，所以两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D. 两个 锐角三角形，不具备相似的条件，所以不一定相似，故本选项错误．故选 B． 10. D 解析：设 则 又 =3，则 15 =3，得 = 即 = = = 所以 = ．故选 D． 11. D 解析：∵ = ∴ ∴ ∴ 故选 D． 12. A 解析：∵ △ ∽△ 相似比为 又∵ △ ∽△ 相似比为 ∴ △ABC 与△ 的相似比为 ．故选 A． 13.6 解析：因为 y与2x+1成反比例，所以设 2 1 ky x   ，将 x=1，y=2 代入得 k=6， 所以 6 2 1y x   ，再将 x=0 代入得 y=6. 14.24 解析：由反比例函数图象的对称性知点 A 和点 B 关于原点对称，所以有 2 1x x  , 2 1y y  .又因为点 1 1( , )A x y 在反比例函数 6y x  的图象上，所以 1 1 6x y  ,故 2 1 2 1 1 1 1 12 ( 2 ) 4 24x x y y x y x y      （ ）（ ） . 15. 90y x  解析：由梯形的面积公式得 1 1 602 3x x y     ，整理得 ，所以 90y x  . 16.（-2，-1） 解析：设直线 l 的解析式为 y=ax，因为直线 l 和反比例函数的图象都经 过 A（2，1），将 A 点坐标代入可得 a＝ 2 1 ，k＝2，故直线 l 的解析式为 y＝ 2 1 x， 反比例函数的解析式为 xy 2 ，联立可解得 B 点的坐标为（-2，-1）. 17.230 解析 : 根据比例尺=图上距离︰实际距离，列比例式直接求得实际距离． 设 地到 地实际距离约为 则 解得 厘米=230 千米． ∴ 地到 地实际距离约为 230 千米． 18. 解析 : 先利用勾股定理求出 那么 即是相似比. 由图可知 ∴ △ 与△ 的相似比是 . 19. 10 解析：∵ 是△ 的中位线， ∴ ∥ ∴ △ ∽△ ∵ ∴ . ∵ △ 的面积为 5，∴ . ∵ 将△ 沿 方向平移到△ 的位置，∴ . ∴ 图中阴影部分的面积为： ． 20. 10 解析：∵ ∥ ∴ △ ∽△ ∴ ∵ 即 ∴ . ∵ ∴ 0. 又∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ． 21. 分析：（ 1 ）根据“SAS”可证△EAB≌△FAB .（ 2 ）①先证出△AEB≌△AFC , 可得∠EBA = ∠FCA .又∠KGB = ∠AGC , 从而证出△AGC∽△KGB .②应分两种情况进行讨论： 当∠EFB =90 °时，有 AB = AF，BF = AF , 可得 AB∶BF = ∶ ； 当∠FEB =90 °时，有 AB = AF，BF =2 AF , 可得 AB∶BF = ∶ 2.(1)证明 : ∵ AO⊥BC 且 AB = AC , ∴ ∠OAC = ∠OAB =45 ° .∴ ∠EAB = ∠EAF - ∠BAF =45 ° , ∴ ∠EAB = ∠FAB .∵ AE = AF , 且 AB = AB , ∴ △EAB≌△FAB . ∴ BE = BF .(2)①证明 : ∵ ∠BAC =90 ° , ∠EAF =90 ° , ∴ ∠EAB + ∠BAF = ∠BAF + ∠FAC =90 ° ,∴ ∠EAB = ∠FAC . ∵ AE = AF , 且 AB = AC , ∴ △AEB≌△AFC , ∴ ∠EBA = ∠FCA .又∵ ∠KGB = ∠AGC , ∴ △AGC∽△KGB .②解：∵ △AGC∽△KGB , ∴ ∠GKB = ∠GAC =90 ° . ∴ ∠EBF＜ 90 ° .Ⅰ当∠EFB =90 °时 , AB∶BF = ∶ .Ⅱ当∠FEB =90 °时 , AB∶BF = ∶ 2.点拨：（ 1 ）证两条线段相等一般借助三角形全等；（ 2 ）在判定两个三角形相似时，如 果没有边的关系，一般需证明有两个角相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似” 判定相似；（ 3 ）图形旋转前后，对应角相等，对应线段相等 . 22.分析：（1）先把点 A（1,4）的坐标代入 x ky 1 ，求出 k 的值；再把点 B（m，-2） 的坐标代入 x ky 1 中，求出 m 的值；最后把 A,B 两点的坐标分别代入 2y ax b  ， 组成关于 a，b 的二元一次方程组，解方程组求出 a，b 即可. （2）由图象可以看出，当 0＜x＜1 时，y1 所对应的图象在 y2 所对应图象的上方. （3）由题意，得 AC=8,点 B 到 AC 的距离是点 B 的横坐标与点 A 的横坐标之差的绝 对值，即等于 3，所以 1 8 3 122ABCS    △ . 解：（1）∵ 点 A（1，4）在 x ky 1 的图象上，∴ k＝1×4＝4,故 xy 4 1  . ∵ 点 B 在 xy 4 1  的图象上，∴ 22 4 m , 故点 B（-2，-2）. 又∵ 点 A、B 在一次函数 2y ax b  的图象上， ∴ 4, 2 2, a b a b       解得 2, 2, a b    ∴ 2 2 2y x  .∴ 这两个函数的表达式分别为： xy 4 1  ， 2 2 2y x  . （2）由图象可知，当 1 20,x y y  时，自变量 x 的取值范围为 0＜x＜1. （3）∵ 点 C 与点 A 关于 x 轴对称，∴ 点 C（1，-4）. 如图，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D，则 D（1，-2）, 于是△ABC 的高 BD＝|1-（-2）|＝3,AC＝|4-（-4）|＝8. ∴ 1 1 8 3 122 2ABCS AC BD     △ . 23.解：（1）因为 A（2，m），所以 ， . 所以 1 1 1• • 22 2 2AOBS OB AB m    △ ， 所以 2 1m .所以点 A 的坐标为 12 2      ， . 把 A 12 2      ， 代入 x ky  ，得 2 1 = 2 k ，所以 k=1. （2）因为当 时， ；当 时， 3 1 ， 又反比例函数 x 1 在 时， 随 的增大而减小， 所以当 时， 的取值范围为 3 1 . （3）如图，当直线过点（0,0）和（1,1）时线段 PQ 的长度最小，为 2 2 . 24. 解：（1）∵ 反比例函数 x ky  的图象经过点 A（2，3）， 把点 A 的坐标（2，3）代入解析式，得 2 3 k ,解得 k=6， ∴ 这个函数的解析式为 xy 6 . （2）分别把点 B，C 的坐标代入 xy 6 ， 第 22 题答图 第 23 题答图 可知点 B 的坐标不满足函数解析式，点 C 的坐标满足函数解析式， ∴ 点 B 不在这个函数的图象上，点 C 在这个函数的图象上. （3）∵ 当 x=-3 时，y=-2,当 x=-1 时，y=-6， 又由 k＞0 知，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当-3＜x＜-1 时，-6＜y＜-2. 25.解：∵ 实际距离=图上距离÷比例尺， ∴ 、 两地之间的实际距离 这个地区的实际边界长 26. 证明：（ 1 ）∵ ∴ ∠ ． ∵ ∥ ∴ ． ∴ ． ∵ ∴ △ ∽△ ． （ 2 ）由△ ∽△ 得 EF DE DE DB  ． ∴ EFDBDE 2 ． 由△ ∽△ 得 ． ∵∠ ∠ ∴ △ ∽△ ． ∴ DF DE DE DG  .∴ DFDGDE 2 .∴ EFDBDFDG  ． 27. 解：（1）当 时，为一次函数， 设一次函数关系式为 ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60）， 所以 15 60 5 b k b     ， ，解得 9 15. k b    ，所以 9 15y x  . 当 时，为反比例函数，设函数关系式为 ( 0)ky kx   ≠ ，由于图象过点（5，60）， 所以 k =300. 综上可知 y与 x 的函数关系式为 9 15(0 5) 300 ( 5). x x y xx      ， （2）当 时， 300 2015y   ，所以从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟.