海淀区2015届九年级数学上学期期中试题有答案

海淀区九年级第一学期期中练习 2014.11 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知: 1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程 正确写出即可. 2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B A C A D B D A 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 5 ； 10． 4 ； 11． > ； 12． 30°或 60°．（注：每个答案 2 分） 三、解答题（本题共 30 分,每小题 5 分） 13.（本小题满分 5 分） 解：∵ 1 3 1a ,b ,c    ， …………………………………………………………………1 分 ∴ 23 4 1 ( 1)=13>0      ． … ……………………………………………………2 分 ∴ 2 4 3 13 2 2 b b acx a       ． ∴ 1 2 3 13 3 13 2 2x ,x     ． ……………………………………………………5 分 14．（本小题满分 5 分） 证明：∵∠DAB=∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE． ∴∠DAE=∠BAC． ………………………………………………………………1 分 在△BAC 和△DAE 中， AB AD BAC DAE AC AE       ， ， ， ∴△BAC≌△DAE． ………………………………………………………………4 分 ∴BC=DE． ………………………………………………………………………5 分 15.（本小题满分 5 分） 解：设二次函数的解析式为  22 5y a x   ( 0)a  ．……………………………1 分 ∵二次函数的图象经过点 (0,1) ． ∴  21 0 2 5a   ．………………………………………………………………2 分 ∴ 1a   ． …………………………………………………………………………4 分 ∴二次函数的解析式为 2 4 1y x x    ．………………………………………5 分 16. （本小题满分 5 分） 解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC =180°． …………………………………………………………1 分 ∵∠ABC=130°， ∴∠ADC =180° ∠ABC=50°． …………………………………………………2 分 ∴∠AOC=2∠ADC =100°． ………………………………………………………3 分 ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA． ……………………………………………………………4 分 ∴∠OAC= 1 (180 ) 402 AOC   ． ……………………………………………… 5 分 17. （本小题满分 5 分） 解：依题意,得 21 4 2 0m m   . ……………………………………………………2 分 ∴ 22 4 1m m   ． ………………………………………………………………3 分 ∴    2 2 22 1 3 2 2 1 3 2 4 5 1 5 4+ =m m m m m           ． …………5 分 18. （本小题满分 5 分） 解：设每期减少的百分率为 x．…………………………………………………… ……1 分 由题意，得  2450 1 288x  ． ……………………………………………… ………2 分 解方程得 1 1 5x  ， 2 9 5x  ． ………………………………………………… ……3 分 经检验， 9 15x   不合题意，舍去； 1 5x  符合题意． ……………… …………4 分 答：每期减少的百分率为 20%． ……………………………………………… ………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. （本小题满分 5 分） 解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2 分 （2）小丁随机选择该月 1 日至 15 日中的某一天到达该市，则到达该市的 日期有 15 种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3 分 由图可知，其中有 9 天空气质量优良． ………………………………… ……4 分 所以，P（到达当天空气质量优良） 9 3 15 5   ． …………………… ………5 分 20. （本小题满分 5 分） 解：（1）∵ 0a  ， ∴原方程为一元二次方程． ∴  23 4 ( 3)a a       ………………………………………………1 分  23a  ． ∵ 23 0≥a  ． ∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2 分 （2）解原方程，得 1 1x   ， 2 3x a  . ……………………………………………3 分 ∵此方程有两个负整数根，且 a 为整数， ∴ 1a   或 3 ． …………………………………………………………………4 分 ∵ 1 2x x ， ∴ 3a   ． ∴ 1a   ． ………………………………………………………………………5 分 21. （本小题满分 5 分） （1）证明:连接 OC． ∵OC=OD，∠D=30°， ∴∠OCD=∠D= 30°．…………………………………1 分 ∵∠G=30°， ∴∠DCG=180° ∠D ∠G=120°． ∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°． ∴OC⊥CG． 又∵OC 是⊙O 的半径． ∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2 分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB， ∴ 1 32CE CD  . ………………………………………………………3 分 ∵在 Rt△OCE 中， ∠ CEO=90°，∠OCE =30°， ∴ 1 2OE OC ， 2 2 2OC OE CE  ． 设OE x ，则 2OC x . ∴ 2 2 22 3x x  . 解得 3x  （舍负值）． ∴ 2 3OC  ． ………………………………………………………………4 分 ∴ 2 3OF  ． 在△OCG 中，∵∠OCG=90°，∠G=30°， ∴ 2 4 3OG OC  ． ∴ 2 3GF GO OF   ． ……………………………………………………5 分 22. （本小题满分 5 分） 答：（1） 5 3 ． …………………………………………………………………………………1 分 （2） 1 2 ， ………………………………………………………………………………2 分 3,2, 4  或 2, 3, 4  ．（写出一个即可）…………………………………………3 分 （3）11或 4 ．（每个答案各 1 分） ……………………………………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. （本小题满分 7 分） 解：（1）∵ 抛物线 2 ( 1)y x m x m    ( 0)m  与 x 轴交于 A、B 两点， ∴ 令 0y  ，即 2 ( 1) 0x m x m    ． 解得 1 1x   ， 2x m ． …………………………………………………1 分 又∵ 点 A 在点 B 左侧，且 0m  ， ∴ 点 A 的坐标为 ( 1,0) ． …………………………………………………2 分 （2）由（1）可知点 B 的坐标为 ( 0)m， ． ∵抛物线与 y 轴交于点 C， ∴点 C 的坐标为 (0, )m ． ……………………………………………………3 分 ∵ 0m  ， ∴ 1AB m  ，OC m ． ∵ 15△ABCS  ， ∴ 1 ( 1) 152 m m  ． ∴ 6m   或 5m  ． ∵ 0m  ， ∴ 5m  ． ∴抛物线的表达式为 2 4 5y x x   ． ………………………4 分 （3）由（2）可知点 C 的坐标为 (0, 5) ． ∵直线 l： y kx b  ( 0)k  经过点 C， A B C D ∴ 5b   . ………………………………………5 分 ∴直线 l 的解析式为 5y kx  ( 0)k  ． ∵ 2 24 5 ( 2) 9y x x x      ， ∴当点 D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为 9 ，不符合题意． 当点 D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于 8 ． 令 8y   ，即 2 4 5 8x x    ． 解得 1 1x  （不合题意，舍去）， 2 3x  ． ∴抛物线经过点 (3, 8) ． 当直线 5y kx  ( 0)k  经过点 (3, 8) 时，可求得 1k   ．…………………6 分 由图象可知，当 1 0k   时新函数的最小值大于 8 ． ………………………7 分 24．（本小题满分 7 分） 解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1 分 ②不改变，∠BDC 的度数为 30 ． 方法一： 由题意知，AB=AC=AD． ∴点 B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2 分 ∴∠BDC= 1 2 ∠BAC= 30 ．……………………………………………………3 分 方法二： 由题意知，AB=AC=AD． ∵AC =AD，∠CAD = ， ∴ 180 1= 902 2ADC C      ∠ ∠ ．…………………………………2 分 ∵AB=AD，∠BAD = 60  ， ∴  180 60 120 1602 2 2ADB B              ∠ ∠ ． ∴ 1 1(90 ) (60 ) 302 2BDC ADC ADB          ∠ ∠ ∠ ．…………3 分 （2）过点 A 作 AM CD 于点 M，连接 EM． ∴ 90AMC   ． 在△AEB 与△AMC 中， AEB AMC B ACD AB AC         ， ， ， ∴△ AEB ≌△ AMC ． ………………………………………………………4 分 ∴ AE AM ， BAE CAM   ． ∴ 60EAM EAC CAM EAC BAE BAC             ． ∴△ AEM 是等边三角形． ∴ EM AM AE  ． …………………………………………………………5 分 ∵ AC AD ， AM CD ， ∴CM DM ． 又 90DEC   ， ∴ EM CM DM  ． ∴ AM CM DM  ． …………………………………………………………6 分 ∴点 A、C、D 在以 M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴ 90CAD     ． …………………………………………………………7 分 25. （本小题满分 8 分） 解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1 分 （2）连接 BP、OP，作 PH⊥OA 于点 H． ∵ 5,b  PH⊥OA， ∴ 1 52OH AH OA   ． ∵OQ=8， ∴ 3QH OQ OH   ． 在 Rt△QHP 中， 2 2 2 29PQ QH PH PH    ． 在 Rt PHO△ 中， 2 2 2 2 225PO OH PH PH BP     ． 在 Rt△BQP 中， 2 2 2 2 2(25 ) (9 ) 16BQ BP PQ PH PH       ． ∴ 4BQ  ．……………………………………………………………………3 分 （3）① 1≥a ．……………………………………………………………………………4 分 ② 10 ． ……………………………………………………………………………5 分 解：∵△BQP 是等腰直角三角形， 10PQ  ， ∴半径 2 5BP  ． 又∵ 2( , )P a a ， ∴ 2 2 4 2(2 5)OP a a   ． 即 4 2 20 0a a   ．解得 2a   ． ∵ 0a  ， ∴ 2a  ． ……………………………………………………………………………6 分 ∴ (2,4)P ． 如图，作 BM y 轴于点 M ，则△QBM ≌△PQH ． ∴ 2MQ PH  ， 2 2 6MB QH PQ PH    ． ∴ 1( 6,6 6)B  ． …………………………………7 分 若点Q在OH 上，由对称性可得 2 ( 6,2 6)B  ． ……………………………8 分 综上，当 10PQ  时， B点坐标为 ( 6,6 6) 或 ( 6,2 6) ．