2008年函数总复习分析【新课标人教版】

2008 年函数及其图象总复习教材教法分析 海淀区教师进修学校 方 菁 2008.3.25 一、中考要求：见中考说明 基本要求 略高要求 较高要求 平 面 直 角 坐 标 系 会建立直角坐标系（包 括在方格纸上）描述物体的 位置； 在给定的直角坐标系 中，会确定坐标与点之间的 对应关系； 了解特殊位置点的坐 标特征 由点的特殊位置，会求相 关字母的范围； 已知点坐标，会求出点到 轴的距离 在同一直角坐标系中， 感受图形变换后点的坐标变 化，会用点的坐标刻画点的 移动； 能灵活运用不同的方式 确定物体的位置 函 数 及 其 图 象 探索具体问题中的数 量关系，了解常量和变量的 意义； 结合实际问题了解函 数的概念和三种表示方法； 会确定简单的函数（整 式、分式和实际问题）中的 自变量取值范围，并会求函 数值； 会用描点法画出简单 函数的图像 探索具体问题中的数量关 系和变化规律，会用适当的方 法刻画某些实际问题中变量之 间的关系； 结合函数关系的分析，能 对变量的变化趋势进行初步预 测； 能结合图象对简单实际问 题中函数关系进行分析 一 次 函 数 能结合具体问题探索 一次函数的意义，会求它的 表达式； 会画图象 会用性质解决“数”、“形” 结合问题； 根据一次函数的解析式， 会求其图象与坐标轴的交点坐 标 能根据图象与解析式之 间的对应关系，解决相关问 题； 会解决与一次函数有关 的实际问题 反 比 例 函 数 能结合具体情景探索 反比例函数的意义，会求解 析式，会画图象 会用反比例函数的性质； 能用反比例函数的知识解 决相应的问题 能根据实际问题或图象 解决反比例函数的问题 二 次 函 数 能结合实际问题情景 确定二次函数的表达式； 会用描点法画二次函 数的图象 能从图象上认识二次函数 的性质； 会根据公式确定图象的顶 点、开口方向和对称轴； 会用二次函数的图象求一 元二次方程的近似解 能 解 决 简 单 的 实 际 问 题； 能解决与其他函数结合 的实际问题 二、学习的章节 第 17 章 函数及其图象，第 26 章 二次函数 三、复习的依据 以《课程标准》为纲，华东师范大学教材、海淀区中考说明为本，海淀教师进修复 习指导为依据，抓好三基（基础知识、基本技能、基本能力）、重点内容的落实. 注意《课程标准》与《教学大纲》的相同要求与不同点 降低要求之处： 1. 对《距离》只要求点到坐标轴的距离及同一坐标轴上两点间的距离公式(不能转 化为一元二次方程根系关系)，不在同一数轴上两点间的距离公式不要求, (可用勾股定理 转化为几何问题). 2. 二次函数交点式不要求. 3. 用待定系数法求函数解析式时，回避三元一次方程组，二元二次方程组，回避一 元二次方程根与系数的关系. 提高要求之处： 1. 移动. 例 9，例 10，例 18，例 42，例 43，例 44 【图形的移动转化为点的移动】 例 10 ★★ (海口市课改实验区 2007) (1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC 向上平移 3 格，再向右平移 6 格，得△ 111 CBA ，再将△ 111 CBA 绕点 1B 按顺时针方向旋转 90 ，得 △ 212 CBA ，最后将△ 212 CBA 以点 2C 为位似中心放大到 2 倍，得△ 233 CBA ； (2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为 1 个单位长度)，在你 所建立的直角坐标系中，点 C、 1C 、 2C 的坐标分别为：点 C(_____)、点 1C (_____)、 点 2C (_____)． 2. 估算 利用函数图象交点求近似值，预测. 例 17，例 32（2） 例 17 新课程标准 P36 例 11 填表并观察下列两个函数的变化情况： X 1 2 3 4 5 … Y1 = 50 + 2x Y2 = 5x （1） 在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同； （2） 当 x 从 1 开始增大时，预测哪一个函数的值先到达 100. 3. 直角坐标系 坐标轴的选取，图形变换. 例 10 4. 应用. 多道例题 5. 直线与几何的结合（比例、勾股、面积等等）. 例 25，例 31，例 44，例 47，例 49，例 50，例 51，例 52 等等 6. 解题方法成为重点 多道例题 四、教材教法分析 （一）对直角坐标系的理解【数形结合】 【知识要点】 1. 特殊位置的点的坐标特点 各象限内的点, 坐标轴上的点 例 1，例 2，例 3，例 4 【点所在区域决定点坐标的正、负、零, 点到轴的距离决定点坐标的绝对值】 公式: 点到 x 轴的距离 = | y | 点到 y 轴的距离 = | x | (垂线段的长) = （点坐标的绝对值） 几何（线段） 函数（坐标） 【转化为线段长用几何知识；转化为点的坐标用函数知识】 例 25 象限角平分线上的点【利用坐标间的数量关系构造方程】 例 5，例 7（2） 第 1、3 象限角平分线上的点（ x、y ） x = y 第 2、4 象限角平分线上的点（ x、y ） x = - y 2. 两个具有特殊位置的点的坐标间的数量关系 例 6 （1）对称性 （2）平行 【利用坐标间的数量关系构造方程】 【基本题型，基本方法】 1. 已知点的坐标 ★ 会求点到坐标轴的距离, 会求同一坐标轴上两点间的距离. 会求两坐标轴上两点间的距离, 会求点到原点的距离，会求仅有一点在坐标轴上的 两点间的距离 （用勾股定理） ★ 由已知点的坐标求有关对称点的坐标 例 6 ★ 求图形变换后点的坐标，会用点的坐标刻化点的移动. 例 10 2. 画点的坐标：（略) 3. 求点的坐标： （1）定域定量法： 例 7（1） （2）构造方程法： 例 5，例 7（2） （3）图象交点法： （4） 观察图象法（含估算） 1）观察点的坐标： 例 16，例 28（2），例 38 等等 2）观察已知点有关对称点的坐标： 例 6 3）观察函数图象与坐标轴交点的坐标：例 16（1），例 38，例 39 4）观察两个函数图象交点的坐标： 例 32（2） 5）观察点的坐标，求函数解析式： 例 28（2） （二）对函数有关概念的理解 【知识要点】 1. 函数定义 2. 函数的图象 【基本题型，基本方法】 1. 函数自变量取值范围 （1）解析式（使解析式有意义） 例 11， （2）图象（图象端点向 x 轴引垂线，由垂足对应的数看 x 的取值范围）例 16（1） ★★（3）列表（表中自变量取值） ★★（4）应用（使实际问题有意义） 2. 函数值（实质是求代数式的值）： 例 12（1） 3. 已知函数值，求自变量取值（实质是解方程）： 例 12（2） 4. 会画函数图象： 例 17 会画直角坐标系（三要素：方向、原点、单位长度） 会画函数图象： 一列表（不能取到的值加括号） 二描点（注意实心点与空心点） 三连线 （注意直线、射线、线段的区别；曲线、曲线段的区别） 四标解析式 （含自变量取值范围） 5. 会求函数图象上的特殊点的坐标：（并到三类函数） （1）求与 y 轴的交点坐标， ( 0, c ) （看出来的） （2）求与 x 轴的交点坐标， （算出来的） 1） ( x1,0 ),( x2,0 ) 令 y = 0 解方程解出来的，（Δ ≥ 0） 2） 已知( x1,0 )及对称轴，由对称性得( x2,0 ) （推出来的） （三）对三类函数的理解（数形结合） 【知识要点】 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 解析式 y = kx + b (k ≠o) x ky  (k ≠o) y = ax2 + bx+c ( a ≠ 0 ) 结构 结构 形 状 结构 直线 结构 双曲线 结构 抛物线 形状 加条件 结 构 不平行于坐标 轴的直线 结构 加条件 结构 对称轴平行 y 轴 结构 系数 定 向 k 定向 k 定位置 a 符号 开口方向 |a| 开口大小 定 轴 —— —— ab 符号 对称轴位置 定 点 （1）与 y 轴的交 点(交点恰在 y 轴上) （2）抛物线 的顶点 b 定点 (0, b) 常数项= 与 y 轴交点纵坐标 ( 常 数 项 1 = 常数项 2) —— c 定点 (0, c) 常数项= 与 y 轴交点 纵坐标 ( 常数项 1 = 常数项 2 ) a、b、c 定点 （- 2 b a ， 24 4 ac b a  ） 定增减性 k ＞ 0,y 随 x 增大而增大 k ＜ 0,y 随 x 增大而减小 k ＞ 0,y 随 x 增大而减小 k ＜ 0,y 随 x 增大而增大 略 令 y = 0 的根 x 定 点 与 x 轴的交点 令 y = 0 的根 x 定点 （x ，0） —— 令 y = 0 的两根 x1,x2 定点 （x1，0），（x2，0） 一次函数 【基本题型，基本方法】 1. 一次函数的解析式与它图象上的点【用方程思想】 1）求函数解析式 例 15（1）（3）（4）（6） 【将点的坐标代入解析式，是构造关于“系数”方程的主要方法】 【转化点的坐标是求函数解析式的重要方法】 求函数解析式的步骤： 一设 （优选函数解析式，尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好） 二构 （将点的坐标代入解析式，构造待定系数的方程或方程组，） （用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组） 三解 （解方程或方程组） 四回代（将解出来的系数代入所设的函数解析式） 例 15（3） 若一次函数图象过 A (2, -1)和 B 两点，其中点 B 是另一条直线 y =﹣ 1 2 x + 3 与 y 轴的交点，求这个一次函数的解析式. （定 b 待 k） 2）求点的坐标 例 15（2）（4）（5）（6）（7） 例 15（7） 已知 y = 3x – 2 的图象经过点（ a，b ），且 a + b = 6，求 a、b 的值. 2. 一次函数中的数形结合【用数形结合的思想】（依形判数，由数思形） 看一次函数的图象 一看与 y 轴交点 ( 0, b )， 定常数项 b。 例 16（1） 二看图象的走向定 k 的符号：左低右高 k ＞ 0 左高右低 k ＜ 0 同步练习册 八册下 P17.3 三看图象的走向定函数的增减性： 例 16（2） 左低右高 y 随 x 增大而增大, 左高右低 y 随 x 增大而减小 四看图象所在象限定 k, b 符号：（略） 同步练习册 八册下 P17.1（2） 画一次函数的图象 例 17 新课程标准 P36 例 11 填表并观察下列两个函数的变化情况： x 1 2 3 4 5 … Y1 = 50 + 2x Y2 = 5x （3） 在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同； （4） 当 x 从 1 开始增大时，预测哪一个函数的值先到达 100. 3．图形的移动（翻转，平移，旋转） 例 19 （河南省 2007）如图甲，边长为 2 的正方形 ABCD 中，顶点 A 的坐标是(0，2)．一 次函数 y = x + t 的图像 l 随 t 的不同取值变化时，位于 l 的右下方由 l 和正方形的边围成 的图像面积为 S（阴影部分） （1） 当 t 取何值时，S=3 （2） 在平面直角坐标系下（如图乙），画出 S 与 t 的图像。 4. 与一次函数有关的实际问题 例 20——例 24 例 21 甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的关系如图所示（实线为甲的路程与 时间的关系图像，虚线为乙），小王根据图像得到如下四个信息，其中错误．．的是： （ ） (A) 这是一次 1500 米的赛跑 (B) 甲、乙两人中先到达终点的是乙 (C) 甲、乙同时起跑 (D) 甲在这次赛跑中的速度为 5m/s 反比例函数 【基本题型，基本方法】 1. 反比例函数的解析式与它的图象上的点 例 26，例 27 例 27 （1）（安徽省 2007 年） 近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例. 已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25 米，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关 系式是 . （优选 y = x k ） （2） 已知 y = ( 2 - m )x m - 4 是反比例函数，则 m = , 此函数图象在 第 象限. （优选 y = kx - 1 ） （3）（北京市海淀区 2007 年）已知反比例函数 x ky  的图象经过 点（1，2），则函数 y = - kx 可确定为（ ）. （ 优选 k = xy ） （A）y = - 2x （B） y = x2 1 （C） xy 2 1 （D）y = 2x 2. 反比例函数中的数形结合（依形判数、由数思形） 看反比例函数图象： 例 28——例 30 一看图象的位置定 k 的符号： 一、三象限 k ＞ 0 二、四象限 k ＜ 0 二看图象的位置定函数的增减性： 一、三象限的每个象限内， y 随 x 增大而减小 二、四象限的每个象限内， y 随 x 增大而增大 例 30（2）（山东省潍坊课改实验区 2007）若 M（ 2 1 ，y1）、N（ 4 1 ，y2）、P（ 2 1 ，y3） 三点都在函数 y= x k （k < 0）的图像上，则 y1 、y2 、y3 的大小关系为 （ ） （A）y2 >y3 >y1 （B）y2 >y1 >y3 （C）y3 >y1 >y2 （D）y3 >y2 >y1 3. 反比例函数的应用 例 31 4. 相关的综合题 例 32 例 32 （2）（贵阳市课改实验区）如图，一次 函数 y= ax + b 的图像与反比例函数 y= x k 的图象交 于 M、N 两点 1）求反比例函数和一次函数的解析式； 2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次 函数的值的 x 的取值范围。 二次函数 【基本题型，基本方法】 1. 二次函数解析式与它图象上的点【用方程思想】 例 33——例 36 二次函数解析式的两种形式（注意隐含条件、优选解析式）： y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) y = a(x – h)2 + k ( a ≠ 0 ) （已知对称轴、顶点） 例 33 （4） 抛物线 y = 2x2 + bx – 5 过点 A ( - 2, yA )，则 yA = （6） 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A ( - 3, 0 )， 对称轴 x = -1，顶点 C 到 x 轴的距离为 2，则设 y = , 得方程为 ，解得 ， 此函数解析式为 . （优选顶点式） 2. 二次函数中的数形结合【用数形结合思想】（依形判数，由数思形） 看二次函数的图象： 一看与 y 轴交点 ( 0, c )， 定常数项 c. 例 38 二看图象的开口方向定 a 的符号： 例 37（1）（2） 开口向上 a ＞ 0 开口向下 a ＜ 0 三看抛物线与 x 轴的相对位置： 例 37（4） 例 41 抛物线与 x 轴有两个交点，⊿ ＞ 0； 抛物线与 x 轴有一个交点，⊿ ＝ 0； 抛物线与 x 轴无交点， ⊿ ＜ 0. 四看抛物线对称轴与 y 轴的相对位置： 例 40（1） 对称轴在 y 轴的左侧，a 、b 同号： 对称轴在 y 轴的右侧，a 、b 异号. 五看图象的走向定函数的增减性：（以对称轴为界） 左低右高 y 随 x 增大而增大, 左高右低 y 随 x 增大而减小 六看部分图象对应的取值范围： 例 37（3） （图象端点向 x 轴引垂线，由垂足对应的数看 x 的取值范围） （图象端点向 y 轴引垂线，由垂足对应的数看 y 的取值范围） 例 38（沈阳市 2007）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图 象经过 A、B、C 三点. （1）观察图象写出 A、B、C 三点的坐标，并求出 此二次函数的解析式； （2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。 画二次函数图象 （略） 3．图形的移动（翻转，平移，旋转） 例 42——例 44 例 42（1）（山东省潍坊课改实验区 2007）抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则它关 于 y 轴对称的抛物线的解析式为 。 4. 二次函数的应用 例 45，例 46 例 45 （吉林省 2007）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距 离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数. 下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距 d（cm） 20 21 22 23 身高 h（cm） 160 169 178 187 （1） 求出 h 与 d 之间的函数关系式（不要求写出自变量 d 的取值范围）： （2） 某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是多少？ 5 B -1 4 A C O x y 5. 相关的综合题 例 47——例 52 例 51 下列图中阴影部分的面积与算式| 4 3 |+（ 2 1 ）2 + 2-1 的结果相同的是 （ ） (四) 对“点的坐标代入函数解析式”的认识 1. 将已知点的坐标代入函数解析式，构造有关系数的方程； 例 33（1）（2） 2. 已知函数解析式及其图象上一点的某坐标，求这点的坐标 例 33（3） 【将点的坐标代入函数解析式，构造这点另一坐标的方程】 3. 已知函数解析式及图象上一点（a，b），但 a，b 未知，求点坐标 例 15（7） 【将点的坐标代入函数解析式，构造关于 a，b 的方程】 【还须一个条件，构造关于 a，b 的另一个方程】 4. 函数解析式中有待定系数 k，点的某坐标 a 不知道，求函数解析式及点的坐标 【将点的坐标代入函数解析式，构造关于 a，k 的方程】 例 33（4） 5. 用函数解析式中待定系数 a、b 表示点的坐标，将点的坐标代入另一函数解析式， 构造关于 a，b 的方程 6. 求两个已知函数图象的交点坐标. 【解这两个函数解析式联立的二元一次方程组】 (五) 构造函数解析式中待定系数的方程的方法： 1. 利用函数的定义（隐含它们最高项的系数 ≠ 0） — 一次函数 x 的最高指数 = 1 函数定义 —— 二次函数 x 的最高指数 = 2 — 反比例函数 x 的指数 = - 1 2. 函数图象上一点坐标满足函数解析式（注意转化点的坐标） 【待定系数法构造关于“系数”方程的主要方法】 3. 利用题目的条件直接构造方程 【用含有待定系数的代数式表示点的坐标】 如，二次函数图象的顶点在 x 轴上（令 y = 0，Δ ≥ 0 ） 例 35 4. 利用几何中公式、定理做为等量关系构造方程 例 49 【用含有待定系数的代数式表示线段长】 如，面积公式、勾股定理、相似三角形对应边成比例 等 5. 利用图形中的等量关系构造方程 如， 线段和差 等 例 25 (六) 学会分析方法： 如，函数中的待定系数 已知 转化点 文字——符号 的坐标 几何条件 点的坐标 已知的等量关系 代入函数 用系数的代数 解析式 式表示 … 构造关于系数 ( 如，a、b ) 的方程 (如， 定 c 待 a 、b ) 待定的系数越少越好 定系数 ( 如，a、b、c ) 的值 求函数解析式（如，y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) ）