2011东城区高三一模数学试卷及答案理科

东城区 2010-2011 学年度综合练习（一） 高三数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）“ 2x  ”是“ 2 4x  ”的 （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （2）已知数列 na 为等差数列，且 1 2a  ， 2 3 13a a  ，那么则 4 5 6a a a  等于 （A） 40 （B） 42 （C） 43 （D） 45 （3）已知函数 ( )f x 对任意的 x R 有 ( ) ( ) 0f x f x   ，且当 0x  时， ( ) ln( 1)f x x  ， 则函数 ( )f x 的大致图像为 （A） （B） （C） （D） （ 4 ） 已 知 平 面 上 不 重 合 的 四 点 P ， A ， B ， C 满 足 0PA PB PC     ， 且 O x y O x y O y x O x y AB AC mAP    ，那么实数 m 的值为 （A） 2 （B）3 （C） 4 （D）5 （5）若右边的程序框图输出的 S 是126，则条件①可为 A． 5n  B． 6n  C． 7n  D． 8n  （6）已知 ( , )2    , 1tan( )4 7    ,那么  cossin  的值为 （A） 5 1 （B） 5 7 （C） 5 7 （D） 4 3 （7）已知函数 3 1 )2 1()( xxf x  ，那么在下列区间中含有函数 )(xf 零点的是 （A） )3 1,0( （B） )2 1,3 1( （C） )3 2,2 1( （D） )1,3 2( （8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离 叫做这个点到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 A ∈ ，点 A 到  ， 的距离都是 3 ，点 P 是 上的动点，满足 P 到  的距离是到 P 到点 A距离的 2 倍， 则点 P 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 （A） 33  （B） 323  （C） 36  （D） 3 40 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率 组距 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 0.015 0.025 O A D B C 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）如果 2( i)(1 i)m m  是实数,那么实数 m  ． （10）已知曲线 C 的参数方程为 2 cos , sin x y       （ 为参数），则曲线上 C 的点到直线 3 4 4 0x y   的距离的最大值为 ． （11）从某地高中男生中随机抽取 100 名同学， 将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频 率分布直方图（如图）．由图中数据可知 体重的平均值为 kg；若要从体 重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内 的男生中，用分层抽样的方法选取 12 人 参加一项活动，再从这 12 人选两人当正 负队长，则这两人身高不在同一组内的概 率为 ． （12）如图，已知圆 O 的半径为 3 ，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC ，圆心O 到 AC 的距离为 22 ， 3AB  ，则切线 AD 的长为 ． （13）过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点作倾斜角为 60 的直线，与抛物线分别交于 A ，B 两 点（点 A 在 x 轴上方）， AF BF  ． （14）已知数列 { }na 满足： 1 1a  ， 2 2a  ， 3 3a  ， 4 4a  ， 5 5a  ，且当 n≥5 时， 1 1 2 1n na a a a   ， 若 数 列 { }nb 满 足 对 任 意 *Nn ， 有 2 2 2 1 2 1 2n n nb a a a a a a      ， 则 b5= ； 当 n ≥ 5 时 ， nb ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c 分，且满足 2 cos cos c b B a A   ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 2 5a  ，求△ ABC 面积的最大值． （16）（本小题共 14 分） 已 知 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 是 菱 形 ． 60BCD   ， 2AB PB PD   ， 3PC  ， AC 与 BD 交于O 点， E ， H 分别为 PA ，OC 的中点． （Ⅰ）求证： EC ∥平面 BDE ； （Ⅱ）求证： PH  平面 ABCD ； （Ⅲ）求直线CE 与平面 PAB 所成角的正弦值． （17）（本小题共 13 分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面 试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合 格的概率为 ，乙、丙面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响． （Ⅰ）求至少有 1 人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数 的分布列和数学期望． （18）（本小题共 13 分） O E C A B D P H 已知函数 2( ) ln , ( ) x xf x x x g x e e    ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意 , (0, )m n  ，都有 ( ) ( )f m g n 成立． (19) （本小题共 13 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     的离心率为 2 2 ，且两个焦点和短轴的一个端点是 一个等腰三角形的顶点．斜率为 ( 0)k k  的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P ，Q 两 点，线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 (0, )M m ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求 的取值范围； （Ⅲ）试用 表示△ MPQ 的面积，并求面积的最大值． (20) （本小题共 14 分） 对于 )2(  nn *N ，定义一个如下数阵：              nnnn n n nn aaa aaa aaa A     21 22221 11211 其中对任意的 ni 1 ， nj 1 ，当i 能整除 j 时， 1ija ；当 i 不能整除 j 时， 0ija ．设 njjj n i ij aaaajt    21 1 )( ． （Ⅰ）当 6n 时，试写出数阵 66A 并计算   6 1 )( j jt ； （Ⅱ）若 ][x 表示不超过 x 的最大整数，求证：   n j jt 1 )(    n i i n 1 ][ ； （Ⅲ）若    n j jtnnf 1 )(1)( ， dxxng n  1 1)( ，求证： ( ) 1 ( ) ( ) 1g n f n g n    ． 东城区 2010-2011 学年度综合练习（一） 高三数学参考答案 （理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （2）B （3）A （4）C （5）C （6）B （7）B （8）C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 1 （10）3 （11） 5.64 3 2 （12） 15 （13）3 （14） 65 n70 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）因为 2 cos cos c b B a A   ， 所以 (2 ) cos cosc b A a B    由正弦定理，得 (2sin sin ) cos sin cosC B A A B    ． 整理得 2sin cos sin cos sin cosC A B A A B     ． 所以 2sin cos sin( ) sinC A A B C    ． 在△ ABC 中，sin 0C  ． 所以 1cos 2A  ， 3A   ． （Ⅱ）由余弦定理 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    ， 2 5a  ． 所以 2 2 20 2 20b c bc bc     所以 20bc  ，当且仅当b c 时取“=” ． 所以三角形的面积 1 sin 5 32S bc A  ． 所以三角形面积的最大值为 5 3 ． （16）（共 14 分） （Ⅰ）证明：因为 E ，O 分别为 PA ， AC 的中点， 所以 EO ∥ PC ． 又 EO  平面 BDE , PC  平面 BDE ． 所以 PC ∥平面 BDE ． （Ⅱ）证明：连结 OP ， 因为 PB PD ， 所以OP BD ． 在菱形 ABCD 中， BD AC ， 又因为OP AC O ， 所以 BD  平面 PAC ． 又 PH  平面 PAC ， 所以 BD  PH ． 在直角三角形 POB 中， 1OB  ， 2PB  ， 所以 3OP  ． 又 3PC  ， H 为OC 的中点， 所以 PH OC ． 又因为 BD OC O 所以 PH  平面 ABCD ． （Ⅲ）解：过点O 作 OZ ∥ PH ，所以OZ  平面 ABCD ． 如图，以O 为原点，OA ，OB ，OZ 所在直线为 , ,x y z 轴，建立空间直角坐标 系． 可得， ( 3,0,0)A ， (0,1,0)B ， ( 3,0,0)C  ， 3 3( ,0, )2 2P  ， 3 3( ,0, )4 4E ． 所以 ( 3,1,0)AB   ， 3 3 3( ,0, )2 2AP   ， 5 3 3( ,0, )4 4CE  ． 设 ( , , )x y zn 是平面 PAB 的一个法向量，则 0 0 AB AP        n n ，即 3 0 3 3 3 02 2 x y x z       ， O E CD BA P H 令 1x  ，则 (1, 3, 3)n ． 设直线CE 与平面 PAB 所成的角为 ， 可得 4sin cos , 7n CE  〈 〉 ． 所以直线CE 与平面 PAB 所成角的正弦值为 4 7 ． （17）（共 13 分） 解：（Ⅰ）用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立， 且 . 至少有1人面试合格的概率是 （Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3. ＝ ＝ = = ∴ 的分布列是 0 1 2 3 的期望 （18）（共 13 分） （Ⅰ）解：由 ( ) lnf x x x ，可得 ( ) ln 1f x x   ． 当 1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xe   单调递减， 当 1( , ), ( ) 0, ( )x f x f xe    单调递增. 所以函数 ( )f x 在区间[1,3]上单调递增， 又 (1) 0f  ， 所以函数 ( )f x 在区间[1,3]上的最小值为 0 ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 ( ) ln ( (0, ))f x x x x   在 1x e  时取得最小值， 又 1 1( )f e e   ， 可知 1( )f m e   ． 由 2( ) x xg x e e   ，可得 1'( ) x xg x e  ． 所以当 (0,1), '( ) 0, ( )x g x g x  单调递增， 当 (1, ), '( ) 0, ( )x g x g x   单调递减. 所以函数 ( )( 0)g x x  在 1x  时取得最大值， 又 1(1)g e   ， 可知 1( )g n e   ， 所以对任意 , (0, )m n  ，都有 ( ) ( )f m g n 成立． （19）（共 13 分） 解：（Ⅰ）依题意可得， 2 2 a c ， cb  ， 又 222 cba  ， 可得 1, 2b a  ． 所以椭圆方程为 2 2 12 y x  ． （Ⅱ）设直线l 的方程为 1y kx  ， 由 2 2 1, 1,2 y kx y x     可得 2 2( 2) 2 1 0k x kx    ． 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ， 则 1 2 2 2 2 kx x k    ， 1 2 2 1 2x x k    ． 可得 1 2 1 2 2 4( ) 2 2y y k x x k       ． 设线段 PQ 中点为 N ，则点 N 的坐标为 2 2 2( , )2 2 k k k    ， 由题意有 1 kkMN ， 可得 2 2 2 2 1 2 m k kk k       ． 可得 2 1 2m k   ， 又 0k  ， 所以 10 2m  ． （Ⅲ）设椭圆上焦点为 F ， 则 1 2 1 2MPQS FM x x     . 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8( 1)( ) 4 ( 2) kx x x x x x k       ， 由 2 1 2m k   ，可得 2 12k m   ． 所以 1 2 2 18( 1) 8 (1 )1 mx x m m m      ． 又 1FM m  ， 所以 32 (1 )MPQS m m   . 所以△ MPQ 的面积为 3)1(2 mm  （ 2 10  m ）． 设 3)1()( mmmf  ， 则 )41()1()(' 2 mmmf  ． 可知 )(mf 在区间 )4 1,0( 单调递增，在区间 )2 1,4 1( 单调递减． 所以，当 4 1m 时， )(mf 有最大值 64 27)4 1( f ． 所以，当 4 1m 时，△ MPQ 的面积有最大值 8 63 ． （20）（共 1４分） （Ⅰ）解：依题意可得，                    100000 010000 001000 100100 101010 111111 66A ． 14423221)( 6 1  j jt ． （Ⅱ）解：由题意可知， )( jt 是数阵 nnA 的第 j 列的和， 因此   n j jt 1 )( 是数阵 nnA 所有数的和． 而数阵 nnA 所有数的和也可以考虑按行相加． 对任意的 ni 1 ，不超过 n 的倍数有 i1 ， i2 ，…， ii n][ ． 因此数阵 nnA 的第i 行中有 ][ i n 个１，其余是 0 ，即第i 行的和为 ][ i n ． 所以   n j jt 1 )(    n i i n 1 ][ ． （Ⅲ）证明：由 ][x 的定义可知， i n i n i n  ][1 ， 所以    n i n i n i i n i nni n 111 ][ ． 所以    n i n i infi 11 1)(11 ． 考查定积分 dxx n 1 1 ， 将区间 ],1[ n 分成 1n 等分，则 dxx n 1 1 的不足近似值为   n i i2 1 ， dxx n 1 1 的过剩近似值为    1 1 1n i i ． 所以   n i i2 1 dxx n  1 1     1 1 1n i i ． 所以 11 1   n i i )(ng    n i i1 1 ． 所以 1)(ng    n i nfi1 )(11    n i i1 1 1)( ng ． 所以 ( ) 1 ( ) ( ) 1g n f n g n    ．