2011东城区高三一模文科数学试卷及答案

东城区 2010-2011 学年度综合练习（一） 高三数学 （文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知复数 z 满足 (1 i) 2z  ，则 z 等于 （A）1 i （B）1 i （C） 1 i  （D） 1 i  （2）命题“ 0x  R ， 2 0log 0x  ”的否定为 （A） 0x  R ， 2 0log 0x  （B） 0x  R ， 2 0log 0x  （C） x R ， 2log 0x  （D） x R ， 2log 0x  （3）已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 0x  时， ( ) ln( 1)f x x  ，则函数 ( )f x 的大致图像为 （A） （B） （C） （D） （4）给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行； ③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面； ④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是 （A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）②和④ （5）已知函数  siny x    ( 0, 0 )2      的部分图象如图所示，则点 P ,  的坐标 1 O 1 x y 1 x y O１ O x y O x y o 3  5 6  x y 1 1 为 （A） (2, )3  （B） (2, )6  （C） 1( , )2 3  （D） 1( , )2 6  （6）若右边的程序框图输出的 S 是126，则条件①可为 （A） 5n  （B） 6n  （C） 7n  （D） 8n  （7）已知函数 1 31( ) ( )2 xf x x  ，那么在下列区间中含有函数 ( )f x 零点的为 （A） 1(0, )3 （B） 1 1( , )3 2 （C） 1( ,1)2 （D） (1,2) （8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线， 该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面 ，  ， 两两互相垂直，点 A ，点 A 到  ， 的距离都是 3 ，点 P 是 上的动点，满足 P 到  的距离是到 P 到点 A 距离的 2 倍，则点 P 的轨迹上的点到 的距离的最小值为 （A） 3 （B） 323  （C） 36  （D） 33  第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）抛物线 2 8y x 的焦点坐标为 ． （10）在等差数列 na 中，若 1 2 32, 13a a a   ，则 4 5 6a a a   ． （11）已知向量 a ， b ， c 满足   2 0a b c ，且 a c ，| | 2a ，| | 1c ， 则| |b ． （12）已知 π( , π)2   , π 1tan( )4 7    ,则sin cos   ． （13）设 2 2 , 1,( ) log ( 1), 1, x a a xf x x x      且 (2 2) 1f  ，则 a  ； ( (2))f f  ． 75 80 85 90 95 100 分数 频率 组距 0.01 0.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05 （14）设不等式组       kkxy y x 4 ,0 ,0 在直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ，则当 1k  时， 1k kS 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ． 4cos 5C  ， 2 cosc b A ． （Ⅰ）求证： A B ； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 15 2S  ，求 c 的值． （16）（本小题共 13 分） 已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形．PB PD ，E 为 PA 的中点． （Ⅰ）求证： PC ∥平面 BDE ； （Ⅱ）求证：平面 PAC  平面 BDE ． （17）（本小题共 13 分） 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩 分组：第 1 组[75，80)，第 2 组[80，85)， 第 3 组[85，90)，第 4 组[90，95)，第 5 组 [95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第 3，4，5 组的频率； (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组 中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试，求第 3，4，5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率． (18)（本小题共 14 分） 已知函数 3 2( )f x x ax x c    ，且 2'( )3a f ． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求函数 )(xf 的单调区间； （Ⅲ）设函数 xexxfxg  ])([)( 3 ，若函数 )(xg 在 ]2,3[x 上单调递增，求实数 c 的 取值范围． （19）（本小题共 14 分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 1 2 ，椭圆C 上的点到焦点距 离的最大值为 3 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若过点 (0, )P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,A B ，且 3AP PB  ，求实数 m 的 取值范围． （20）(本小题共 13 分) 对于 )2(  nn *N ，定义一个如下数阵：              nnnn n n nn aaa aaa aaa A     21 22221 11211 其中对任意的 ni 1 ， nj 1 ，当i 能整除 j 时， 1ija ；当 i 不能整除 j 时， 0ija ． （Ⅰ）当 4n  时，试写出数阵 44A ； （Ⅱ）设 njjj n i ij aaaajt    21 1 )( ．若 ][x 表示不超过 x 的最大整数， 求证：   n j jt 1 )(    n i i n 1 ][ ． 北京市东城区 2010-2011 学年度第二学期综合练习（一） 高三数学参考答案 （文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）A （2）D （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） (2,0) （10） 42 （11） 2 2 （12） 5 1 （13） 7 ； 6 （14） 32 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） （Ⅰ）证明：因为 2 cosc b A ，由正弦定理得sin 2sin cosC B A  ， 所以sin( ) 2sin cosA B B A   ， sin( ) 0A B  ， 在△ ABC 中，因为 0 πA  ， 0 πB  ， 所以 π πA B    所以 A B ． ……………………6 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 a b ． 因为 4cos 5C  ，所以 3sin 5C  ． 因为△ ABC 的面积 15 2S  ，所以 1 15sin2 2S ab C  ， 5a b  ． 由余弦定理 2 2 2 2 cos 10c a b ab C    所以 10c  ． ……………………13 分 （16）（共 13 分） （Ⅰ）证明：因为 E ，O 分别为 PA ， AC 的中点， 所以 EO ∥ PC ． 因为 EO  平面 BDE PC  平面 BDE 所以 PC ∥平面 BDE ． ……………………6 分 （Ⅱ）证明：连结 OP 因为 PB PD ， 所以OP BD ． 在菱形 ABCD 中， BD AC 因为OP AC O 所以 BD  平面 PAC 因为 BD  平面 BDE 所以平面 PAC  平面 BDE ． ……………………13 分 （17）（共 13 分） 解：(Ⅰ)由题设可知，第3 组的频率为 0.06 5 0.3  ， 第 4 组的频率为 0.04 5 0.2  ， 第5 组的频率为 0.02 5 0.1  ． ……………………3 分 (Ⅱ)第3 组的人数为 0.3 100 30  ， 第 4 组的人数为 0.2 100 20  ， 第5 组的人数为 0.1 100 10  ． 因为第3 ， 4 ，5 组共有 60 名学生， 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组抽取的人数分别为： 第3 组： 30 6 360   ， 第 4 组： 20 6 260   ， 第5 组： 10 6 160   ． 所以第3 ， 4 ，5 组分别抽取3 人， 2 人，1人． ……………………8 分 (Ⅲ)设第3 组的3 位同学为 1A ， 2A ， 3A ， 第 4 组的 2 位同学为 1B ， 2B ， 第5 组的1位同学为 1C ． 则从六位同学中抽两位同学有： 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),A A A A A B A B A C 2 3 2 1 2 2 2 1( , ),( , ),( , ),( , ),A A A B A B A C 3 1 3 2 3 1( , ),( , ),( , ),A B A B A C 1 2 1 1 2 1( , ),( , ),( , ),B B B C B C 共15种可能． 其中第 4 组的 2 位同学为 1B ， 2B 至少有一位同学入选的有： 1 1 1 2 2 1 2 2( , ),( , ),( , ),( , ),A B A B A B A B 3 1 1 2 3 2 1 1 2 1( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),A B B B A B B C B C 共 9 种可能， 所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 9 3 15 5  ． ……………………13 分 （18）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由 3 2( )f x x ax x c    ，得 2'( ) 3 2 1f x x ax   ． 当 3 2x 时，得 22 2 2 2'( ) 3 ( ) 2 '( ) ( ) 13 3 3 3a f f      ， 解之，得 1a   ． ……………………4 分 （Ⅱ）因为 3 2( )f x x x x c    ． 从而 2 1'( ) 3 2 1 3( )( 1)3f x x x x x      ，列表如下： x )3 1 , (  3 1 )1 , 3 1( 1 ) , 1(  )(' xf ＋ 0 － 0 ＋ )(xf ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗ 所以 )(xf 的单调递增区间是 )3 1,(  和 ),1(  ； )(xf 的单调递减区间是 )1,3 1( ． ……………………9 分 （Ⅲ）函数 3 2( ) ( ( ) ) ( )x xg x f x x e x x c e        ， 有 2' ) ( 2 1) ( )x xg x x e x x c e      （ = 2( 3 1) xx x c e    ， 因为函数在区间 ]2,3[x 上单调递增， 等价于 2( ) 3 1 0h x x x c      在 ]2,3[x 上恒成立， 只要 0)2( h ，解得 11c  ， 所以 c 的取值范围是 11c  ． ……………………14 分 （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     由题意： 2 2 2 1 22 3 3 1 c aa a c b ca b c                 所求椭圆方程为： 2 2 14 3 x y  ． ……………………5 分 （Ⅱ）若过点 (0, )P m 的斜率不存在，则 3 2m   ． 若过点 (0, )P m 的直线斜率为 k ，即： 3 2m   时， 直线 AB 的方程为 y m kx  由 2 2 2 2 2 (3 4 ) 8 4 12 0 3 4 12 y kx m k x kmx m x y           2 2 2 264 4(3 4 )(4 12)m k k m     因为 AB 和椭圆C 交于不同两点 所以 0  ， 2 24 3 0k m   所以 2 24 3k m  ① 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由已知 3AP PB  ，则 2 1 2 1 22 2 8 4 12,3 4 3 4 km mx x x xk k      ② 1 1 2 2( , ), ( , )AP x m y PB x y m      1 23x x  ③ 将③代入②得： 2 2 2 2 4 4 123( )3 4 3 4 km m k k    整理得： 2 2 2 216 12 3 9 0m k k m    所以 2 2 2 9 3 16 12 mk m   代入①式得 2 2 2 2 9 34 34 3 mk mm    2 2 2 4 ( 3) 04 3 m m m   ，解得 23 34 m  ． 所以 33 2m    或 3 32 m  ． 综上可得，实数 m 的取值范围为： 3 3( 3, ] [ , 3)2 2    ． ……………………14 分 （20）(共 13 分) 解：（Ⅰ）依题意可得， 44 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 A             ……………………4 分 （Ⅱ）由题意可知， )( jt 是数阵 nnA 的第 j 列的和， 因此   n j jt 1 )( 是数阵 nnA 所有数的和． 而数阵 nnA 所有数的和也可以考虑按行相加． 对任意的 ni 1 ，不超过 n 的倍数有 i1 ， i2 ，…， ii n][ ． 因此数阵 nnA 的第i 行中有 ][ i n 个１，其余是 0 ，即第i 行的和为 ][ i n ． 所以   n j jt 1 )(    n i i n 1 ][ ． ……………………13 分