2011怀柔区高三一模数学试卷及答案理科

怀柔区 2010～2011 学年度第二学期高三适应性练习 数 学（理科） 2011.3 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项． 1．已知全集 RU  ， }21{  xxA ， }0{  xxB ，则 )( BACU  A． }20{  xx B． }0{ xx C． }1{ xx D． }1{ xx 2．复数   i i 1 1 A． i B． 1 C．i D．1 3．已知等比数列 }{ na 的公比为 2，且 531  aa ，则 42 aa  的值为 A．10 B．15 C．20 D．25 4．如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该 几何体的主视图为 A． B． C． D． 5．若 a ＝(1,2,－3)， b ＝(2,a－1,a2－ 3 1 )， 则“a＝1”是“ a  b ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．右图是计算函数 2 x , x 1 y 0 , 1 x 2 x , x 2          的值的程序框图，则 在①、②、③处应分别填入的是 A． y x  ， y 0 ， 2y x B． y x  ， 2y x ， y 0 C． y 0 ， 2y x ， y x  D． y 0 ， y x  ， 2y x 7．在极坐标系中，定点 1, 2A      ，动点 B 在直线 cos sin 0     上运动，当线段 AB 最短时，动点 B 的极坐标是 A． )4,2 2(  B． )4 3,2 2(  C． )4,2 3(  D． )4 3,2 3(  8．已知三棱锥 A BCO ，OA OB OC、 、 两两垂直且长度均为 6，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 棱OA 上运动，另一个端点 N 在 BCO 内运动（含边界），则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围 成的几何体的体积为 A． 6  B． 6  或 636  C．36 6  D． 6  或 36 6  开始 x输入 x 1  x 2 y输出 结束 ① ② ③ 否 是 否 是 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 9．命题： 0, 2  xRx 的否定是 ． 10．函数 1cos2)( 2  xxf 的最小正周期为 ；单调递减区间为 ． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ； 若从乙班身高不低于 170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为 173cm 的同学被抽中的概率 为 ． 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 12．已知 PA 是圆O 的切线，切点为 A ， 2PA ． AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点 B ， 1PB ， 则圆O 的半径 R ． 13．已知抛物线 )0(22  ppxy 与双曲线 12 2 2 2  b y a x 有相同的焦点 F ，点 A 是两曲线的一个交点， 且 AF ⊥ x 轴，则双曲线的离心率为 ． 14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息： 时间 油耗（升/100 公里） 可继续行驶距离（公里） 10：00 9.5 300 11：00 9.6 220 注： 加满油后已行驶距离 加满油后已用油量油耗  ， 当前油耗 汽车剩余油量可继续行驶距离  ， 指定时间内的行驶距离 指定时间内的用油量平均油耗  ． 从以上信息可以推断在 10：00—11：00 这一小时内 （填上所有正确判断的序号）． 1 行驶了 80 公里； 2 行驶不足 80 公里； 3 平均油耗超过 9.6 升/100 公里； 4 平均油耗恰为 9.6 升/100 公里； 5 平均车速超过 80 公里/小时． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分） 在 ABC 中， cba 、、 分别为角 CBA 、、 所对的三边，已知 2 2 2+cb a bc  ． （Ⅰ）求角 A 的值； （Ⅱ）若 3a  ， 3cos 3C  ，求 c 的长． 16．（本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA  底面 ABCD ，且 2PA AD  ， , ,E F H 分别是线段 , ,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证： PB //平面 EFH ； （Ⅱ）求证： PD  平面 AHF ； （Ⅲ）求二面角 H EF A  的大小． 17．（本小题满分 13 分） 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队，队员来源人数如下 表： 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 （Ⅰ）从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的 人数为 ，求随机变量 的分布列，及数学期望 E ． 18．（本题满分 13 分） 已知函数 2( ) lnf x x ax b x   （ 0x  ，实数 a ，b 为常数）． （Ⅰ）若 1, 1a b   ，求 )(xf 在 1x 处的切线方程； （Ⅱ）若 2a b   ，讨论函数 ( )f x 的单调性． 19．（本小题满分 14 分） 已知点 )2,1(A 是离心率为 2 2 的椭圆C ： )0(12 2 2 2  baa y b x 上的一点．斜率为 2 的直线 BD 交椭圆C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ） ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值． 20．(本小题满分 13 分) 已知集合 },,,,{ 321 naaaaA  ，其中 )2,1(  nniRai ， )(Al 表示和 )1( njiaa ji  中所有不同值的个数． （Ⅰ）设集合 }8,6,4,2{P ， }16,8,4,2{Q ，分别求 )(Pl 和 )(Ql ； （Ⅱ）若集合 }2,,8,4,2{ nA  ，求证： 2 )1()(  nnAl ； （Ⅲ） )(Al 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 参考答案及评分标准(理科) 2011.3 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. Rx  , 02 x 10.  ； )](2,[ Zkkk   11. 169； 3 1 12. 3 13. 12  14. ② ③ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分 13 分） 在 ABC 中， cba 、、 分别为角 CBA 、、 所对的三边，已知 2 2 2+cb a bc  ． （Ⅰ）求角 A 的值； （Ⅱ）若 3a  ， 3cos 3C  ，求 c 的长． 解：（Ⅰ） 2 2 2+cb a bc  ， 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    -------------------------4 分   A0 3  A -----------------------------------------------------------------------------6 分 （Ⅱ）在 ABC 中， 3 A ， 3a  ， 3cos 3C  2 1 6sin 1 cos 1 3 3C C      ------------------------------------------8 分 由正弦定理知： ,sin sin a C A C   A Cac sin sin 63 2 63 33 2    ．-----------------------------------------------12 分  3 62c -------------------------------------------------------------------------------13 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B A B B D 16．（本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA  底面 ABCD ，且 2PA AD  ， , ,E F H 分别是线段 , ,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证： PB //平面 EFH ； （Ⅱ）求证： PD  平面 AHF ； （Ⅲ）求二面角 H EF A  的大小． 解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， (0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0)A B C D , )2,0,0(P ， )1,0,0(E ， )1,1,0(F ， (1,0,0)H ．----------------------------1 分 （Ⅰ）证明：∵ (2,0, 2)PB   ， (1,0, 1)EH   ， ∴ 2PB EH  , ∵ PB 平面 EFH ，且 EH  平面 EFH ， ∴ PB //平面 EFH ．-------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）解： (0,2, 2)PD   ， (1,0,0)AH  ， (0,1,1)AF  ， 0 0 2 1 ( 2) 1 0, 0 1 2 0 ( 2) 0 0. PD AF PD AH                       ,PD AF PD AH   ， 又 AF AH A  ， PD  平面 AHF ． -----------------------------------------------------9 分 （Ⅲ）设平面 HEF 的法向量为 ),,( zyxn  , 因为 (0,1,0)EF  ， (1,0, 1)EH   ， 则 0, 0, n EF y n EH x z             取 ).1,0,1(n 又因为平面 AEF 的法向量为 ),0,0,1(m 所以 1 0 0 1 2cos , ,2| || | 2 1 2 m nm n m n              -------------------------12 分 , 45 ,m n    所以二面角 H EF A  的大小为 45 ．-------------------------------------------------14 分 17．（本小题满分 13 分） 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队，队员来源人数如下 表： 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 (Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； (Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数 为 ，求随机变量 的分布列，及数学期望 E ． 解：(Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件 A， 则 2 2 2 2 4 6 3 5 2 18 2( ) 9 C C C CP A C     . ------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ) 的所有可能取值为 0，1，2. -----------------------------------------------------------------2 分 ∵ 2 14 2 18 91( 0) 153 CP C     ， 1 1 4 14 2 18 56( 1) 153 C CP C     ， 2 4 2 18 6( 2) 153 CP C     ， ∴ 的分布列为：  0 1 2 P 91 153 56 153 6 153 --------------------------------10 分 ∴ 91 56 6 4( ) 0 1 2153 153 153 9E         . -------------------------------------------------------13 分 18．（本题满分 13 分） 已知函数 2( ) lnf x x ax b x   （ 0x  ，实数 a ，b 为常数）． （Ⅰ）若 1, 1a b   ，求 )(xf 在 1x 处的切线方程； （Ⅱ）若 2a b   ，讨论函数 ( )f x 的单调性． 解：（Ⅰ）因为 1, 1a b   ，所以函数 2( ) lnf x x x x   ， 2)1( f 又 1( ) 2 1f x x x     ， 2)1(' f -------------------------------------------------------------2 分 所以 )1(22  xy 即 )(xf 在 1x 处的切线方程为 02  yx -------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）因为 2a b   ，所以 2( ) (2 ) lnf x x b x b x    ，则 (2 )( 1)( ) 2 (2 ) b x b xf x x b x x        )0( x 令 ( ) 0f x  ，得 1 2 bx  ， 2 1x  ．----------------------------------------------------------------7 分 （1）当 02 b  ，即 0b 时，函数 ( )f x 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ) ； -------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分 （2）当 0 12 b  ，即 0 2b  时， )(xf  ， )(xf 的变化情况如下表： x (0, )2 b ( ,1)2 b (1, ) ( )f x    ( )f x    所以，函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, )2 b ， (1, ) ，单调递减区间为 ( ,1)2 b ；-------9 分 （3）当 12 b  ，即 2b  时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) ；-----------------------------10 分 （4）当 12 b  ，即 2b  时， )(xf  ， )(xf 的变化情况如下表： x (0,1) (1, )2 b ( , )2 b  ( )f x    ( )f x    所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0,1) ， ( , )2 b  ，单调递减区间为 (1, )2 b ；--------------12 分 综上，当 0b 时，函数 ( )f x 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ) ；当 0 2b  时， 函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, )2 b ，(1, ) ，单调递减区间为 ( ,1)2 b ；当 2b  时，函数 ( )f x 的单 调递增区间为 (0, ) ；当 2b  时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0,1) ， ( , )2 b  ，单调递减区间 为 (1, )2 b ．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13 分 19．（本小题满分 14 分） 已知点 )2,1(A 是离心率为 2 2 的椭圆C ： )0(12 2 2 2  baa y b x 上的一点．斜率为 2 的直线 BD 交椭圆C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ） ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值． 解：（Ⅰ） a ce  2 2 ， 121 22  ab ， 222 cba  X Y O D B A  2a ， 2b ， 2c  142 22  yx --------------------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）设直线 BD 的方程为 bxy  2       42 2 22 yx bxy 04224 22  bbxx  0648 2  b 2222  b ,2 2 21 bxx  ----① 4 42 21  bxx -----② 2 2 21 2 82 6 4 864343)2(1 bbxxBD  ， 设 d 为点 A 到直线 BD： bxy  2 的距离，  3 bd   2)8(4 2 2 1 22  bbdBDS ABD ，当且仅当 2b 时取等号. 因为 2 )22,22( ，所以当 2b 时， ABD 的面积最大，最大值为 2 --------10 分 （Ⅲ）设 ),( 11 yxD ， ),( 22 yxB ，直线 AB 、 AD 的斜率分别为： ABk 、 ADk ，则  ABAD kk 1 22 1 22 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1      x bx x bx x y x y = ]1)( 2[22 2121 21   xxxx xxb ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得 ]1)( 2[22 2121 21   xxxx xxb =0， 即  ABAD kk 0----------------------------------------------------------------------------------------------14 分 20．(本小题满分 13 分) 已知集合 },,,,{ 321 naaaaA  ，其中 )2,1(  nniRai ， )(Al 表示和 )1( njiaa ji  中所有不同值的个数． （Ⅰ）设集合 }8,6,4,2{P ， }16,8,4,2{Q ，分别求 )(Pl 和 )(Ql ； （Ⅱ）若集合 }2,,8,4,2{ nA  ，求证： 2 )1()(  nnAl ； （Ⅲ） )(Al 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由 ,1486,1284,1064,1082,862,642  得 5)( Pl . 由 ,24168,20164,1284,18162,1082,642  得 6)( Ql .----------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）证明：因为 )1( njiaa ji  最多有 2 )1(2  nnCn 个值，所以 .2 )1()(  nnAl 又集合 }2,,8,4,2{ nA  ， 任取 ),1,1(, nlknjiaaaa lkji  当 lj  时,不妨设 lj  ，则 lkl j jji aaaaaa  122 ， 即 lkji aaaa  . 当 kilj  , 时， lkji aaaa  . 因此，当且仅当 ljki  , 时， lkji aaaa  . 即所有 )1( njiaa ji  的值两两不同， 所以 .2 )1()(  nnAl -----------------------------------------------------------------------------------------9 分 （Ⅲ） )(Al 存在最小值，且最小值为 32 n ． 不妨设 ,321 naaaa   可得 ,1213121 nnnn aaaaaaaaaa   所以 )1( njiaa ji  中至少有 32 n 个不同的数，即 .32)(  nAl 事实上，设 naaaa ,,,, 321  成等差数列， 考虑 )1( njiaa ji  ，根据等差数列的性质， 当 nji  时， 11  jiji aaaa ； 当 nji  时， nnjiji aaaa   ； 因 此 每 个 和 )1( njiaa ji  等 于 )2(1 nkaa k  中 的 一 个 ， 或 者 等 于 )12(  nlaa nl 中的一个. 所以对这样的 32)(,  nAlA ,所以 )(Al 的最小值为 32 n . --------------------------------------13 分