2011怀柔区高三一模文科数学试卷及答案

怀柔区 2010～2011 学年度第二学期高三适应性练习 数 学（文科） 2011.3 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项． 1．已知集合 }20|{},1|{  xxBxxA ，则 BA  A． }2|{ xx B． }20|{  xx C． }10|{  xx D． }21|{  xx 2．复数  1)1( ii A．i B． i C．1 D． 1 3．已知等差数列{ }na 中， 1 1a   ， 2 2a  ，则  54 aa A．3 B．8 C．14 D．19 4．如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该 几何体的主视图为 A． B． C． D． 5．若 a ＝(a  2,－5)， b ＝(a－2,－ 5 3 )，则“a＝1”是“ a  b ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．右图是计算函数 2 x , x 1 y 0 , 1 x 2 x , x 2          的值的程序框图，则 在①、②、③处应分别填入的是 A． y x  ， y 0 ， 2y x B． y x  ， 2y x ， y 0 C． y 0 ， 2y x ， y x  D． y 0 ， y x  ， 2y x 7．函数 2 3cos3cossin)( 2  xxxxf 的一个单调 递减区间是 A． ]3 2,3[  B． ]12 7,12[  C． ]12 7,12[  D． 2[ , ]6 3   8．四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，且侧面 PAD  底面 ABCD ，点 M 在 底面正方形 ABCD 内（含边界）运动，且满足 MP MC ，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是 A． B． C． D． 开始 x输入 x 1  x 2 y输出 结束 ① ② ③ 否 是 否 是 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 9．命题： 0, 2  xRx 的否定是 ． 10．函数 xxf 2)(  的最小值为 ；图象的对称轴方程为 ． 11．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界），则这个不等式组 是 ． 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 12．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ； 甲、乙两班平均身高较高的班级为 ． 13．已知双曲线 )0(12 2 22  b b yx 的左、右焦点分别是 1F 、 2F ，其一条渐近线方程为 xy  ，则 b ；若点 ),3( 0yP 在双曲线上，则 1PF · 2PF ＝ ． 14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息： 时间 油耗（升/100 公里） 可继续行驶距离（公里） 10：00 9.5 300 11：00 9.6 220 注： 加满油后已行驶距离 加满油后已用油量油耗  ， 当前油耗 汽车剩余油量可继续行驶距离  ， 指定时间内的行驶距离 指定时间内的用油量平均油耗  ． 从以上信息可以推断在 10：00—11：00 这一小时内 （填上所有正确判断的序号）． 1 行驶了 80 公里； 2 行驶不足 80 公里； 3 平均油耗超过 9.6 升/100 公里； 4 平均油耗恰为 9.6 升/100 公里； 5 平均车速超过 80 公里/小时． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分） 已知 5 1sin , 0, ,tan5 2 3          ． （Ⅰ）求 tan 的值； （Ⅱ）求  tan 2  的值． 16．（本小题共 14 分） 在三棱锥 P ABC 中， PAC 和 PBC 都是边长为 2 的等边三角形， 2AB  ， ,O D 分别是 ,AB PB 的中点． （Ⅰ）求证：OD ∥平面 PAC ； （Ⅱ）求证： PO ⊥平面 ABC ； （Ⅲ）求三棱锥 P ABC 的体积． 17．（本小题满分 13 分） 某网站就观众对 2011 年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表： 喜爱程度 喜欢 一般 不喜欢 人数 560 240 200 （Ⅰ）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为 n 的样本，已知从不喜欢小 品的观众中抽取的人数为 5 人，则 n 的值为多少？ （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若抽取到的 5 名不喜欢小品的观众中有 2 名为女性，现将抽取到的 5 名不喜 欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率． 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 )0(1ln2)( 2  axaxxf ． （Ⅰ）当 2a 时，求 )(xf 在 1x 处的切线方程； （Ⅱ）求 )(xf 的极值． 19．（本小题满分 14 分） 已知点 )2,1(A 是离心率为 2 2 的椭圆C ： )0(12 2 2 2  baa y b x 上的一点．斜率为 2 的直线 BD 交椭圆C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ） ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 20．(本小题满分 13 分) 已知集合 },,,,{ 321 naaaaA  ，其中 )2,1(  nniRai ， )(Al 表示和 )1( njiaa ji  中所有不同值的个数． （Ⅰ）设集合 }8,6,4,2{P ， }16,8,4,2{Q ，分别求 )(Pl 和 )(Ql ； （Ⅱ）对于集合 },,,,{ 321 naaaaA  ，猜测 )1( njiaa ji  的值最多有多少个； （Ⅲ）若集合 }2,,8,4,2{ nA  ，试求 )(Al ． 参考答案及评分标准(文科) 2011.3 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. Rx  ， 02 x 10. 1； 0x 11.       .022 ,1 ,0 yx y x 12. 169；乙班 13. 2 ； 0 14. ② ③ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分 13 分） 已知 5 1sin , 0, ,tan5 2 3          ． （Ⅰ）求 tan 的值; （Ⅱ） 求  tan 2  的值． 解：（Ⅰ）∵ 5sin , 0, ,5 2         ∴ 2 1 2 5cos 1 sin 1 5 5       . --------------------------------4 分 ∴ 5 sin 15tan cos 22 5 5     . -------------------------------------------6 分 （Ⅱ） ∵ 1tan 3  , ∴ 2 2tantan 2 1 tan    ------------------------------------------------------8 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B A B C B 2 12 3 11 3        3 4  . ------------------------------------------------------------10 分 ∴   tan tan 2tan 2 1 tan tan 2         1 3 2 4 1 31 2 4     2 . -----------------------------------------------------------13 分 16．（本小题共 14 分） 在三棱锥 P ABC 中， PAC 和 PBC 都是边长为 2 的等边三角形， 2AB  ， ,O D 分别是 ,AB PB 的中点． （Ⅰ）求证：OD ∥平面 PAC ； （Ⅱ）求证： PO ⊥平面 ABC ； （Ⅲ）求三棱锥 P ABC 的体积． 解：（Ⅰ） ,O D 分别为 ,AB PB 的中点，  OD ∥ PA 又 PA  平面 PAC ，OD  平面 PAC OD ∥平面 PAC ．----------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）如图，连结OC 2AC CB  ，O 为 AB 中点， 2AB  , OC ⊥ AB ， 1OC  ． 同理, PO ⊥ AB ， 1PO  ． 又 2PC  , 2 2 2 2PC OC PO    , 90POC   ． PO ⊥OC ．  PO ⊥OC , PO ⊥ AB , AB OC O  , PO ⊥平面 ABC ．------------------------------------------------------10 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知 OP 垂直平面 ABC  OP 为三棱锥 P ABC 的高，且 1OP  1 1 1 12 1 13 3 2 3P ABC ABCV S OP         ．------------------------------14 分 17．（本小题满分 13 分） 某网站就观众对 2011 年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表： 喜爱程度 喜欢 一般 不喜欢 人数 560 240 200 （Ⅰ）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为 n 的样本，已知从不喜欢小 品的观众中抽取的人数为 5 人，则 n 的值为多少？ （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若抽取到的 5 名不喜欢小品的观众中有 2 名为女性，现将抽取到的 5 名不喜 欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率. 解：（Ⅰ）采用分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为 :1000n 则不喜爱小品观众应抽取 200 51000 n   人 25.n  ------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）由题意得，女性观众抽取 2 人，男性观众抽取 3 人， 设女性观众为 1 2,a a ，男性观众为 1 2 3, ,b b b 则从 5 位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有 10 种可能： 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),a a a b a b a b a b 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),a b a b b b b b b b -------------8 分 其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有 7 种可能： 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),a a a b a b a b a b 2 2 2 3( , ),( , ),a b a b 所以从 5 位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，至少有一名为女性观众的概率为 7 10 ---------13 分 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 )0(1ln2)( 2  axaxxf ． （Ⅰ）当 2a 时，求 )(xf 在 1x 处的切线方程； （Ⅱ）求 )(xf 的极值． 解：（Ⅰ）当 2a 时， 1ln4)( 2  xxxf ， 0)1( f 又 x x xxxf )2(242)( 2  ， 2)1(' f 所以 )1(20  xy 即 )(xf 在 1x 处的切线方程为 022  yx ---------------------------------------------5 分 （II）因为 )0(1ln2)( 2  axaxxf 所以 x ax x axxf )(222)( 2  （x>0）-----------------------------------------------------6 分 （1）当 0a 时， 因为 0x ，且 ,02  ax 所以 0)(  xf 对 0x 恒成立， 所以 )(xf 在 ),0(  上单调递增， )(xf 无极值---------------------------------------------8 分 （2）当 0a 时， 令 0)(  xf ，解得 1 2,x a x a   （舍）---------------------------------------------10 分 所以当 0x  时， )(xf  ， )(xf 的变化情况如下表： x ),0( a a ( , )a  )(xf   0 + )(xf  极小值  ------------------------------------------------12 分 所以当 ax  时， )(xf 取得极小值，且 1ln)(  aaaxf 极小值 ． 综上，当 0a 时，函数 )(xf 在 ),0(  上无极值；当 0a 时，函数 )(xf 在 ax  处取得极小值 1ln)(  aaaxf 极小值 ．----------------------------------------------------------------------------------13 分 19．（本小题满分 14 分） 已知点 )2,1(A 是离心率为 2 2 的椭圆C ： )0(12 2 2 2  baa y b x 上的一点．斜率为 2 的直线 BD 交椭圆C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ） ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ） a ce  2 2 ， 121 22  ab ， 222 cba   2a ， 2b ， 2c X Y O D B A  142 22  yx ．-----------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）设直线 BD 的方程为 bxy  2       42 2 22 yx bxy 04224 22  bbxx  0648 2  b 2222  b ,2 2 21 bxx  ----① 4 42 21  bxx -----② 2 2 21 2 82 6 4 864343)2(1 bbxxBD  ， 设 d 为点 A 到直线 BD： bxy  2 的距离，  3 bd   2)8(4 2 2 1 22  bbdBDS ABD ，当且仅当 2b )22,22( 时， ABD 的面 积最大，最大值为 2 ．------------------------------------------------------------------------------------14 分 20．(本小题满分 13 分) 已知集合 },,,,{ 321 naaaaA  ，其中 )2,1(  nniRai ， )(Al 表示和 )1( njiaa ji  中所有不同值的个数． （Ⅰ）设集合 }8,6,4,2{P ， }16,8,4,2{Q ，分别求 )(Pl 和 )(Ql ； （Ⅱ）对于集合 },,,,{ 321 naaaaA  ，猜测 )1( njiaa ji  的值最多有多少个； （Ⅲ）若集合 }2,,8,4,2{ nA  ，试求 )(Al ． 解：（Ⅰ）由 ,1486,1284,1064,1082,862,642  得 5)( Pl . 由 ,24168,20164,1284,18162,1082,642  得 6)( Ql .------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）对于集合 },,,,{ 321 naaaaA  ， )1( njiaa ji  的值最多有 2 )1( nn 个． 因为在集合 A 的 n 个元素中任取一个元素，共有 n 种，再从余下的 1n 个元素中任取一个元素， 共有 1n 种．把取出的元素两两作和共有 )1( nn 个，考虑到 nji 1 ，及 jiij aaaa  等情况，所以对于集合 },,,,{ 321 naaaaA  ， )1( njiaa ji  的值最多有 2 )1( nn 个． ------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 （注：本问只要回答正确，就得本问的满分。当然最好能有理由简述，如上。） （Ⅲ） 因为集合 },,,,{ 321 naaaaA  最多有 2 )1( nn 个 )1( njiaa ji  的值， 所以 .2 )1()(  nnAl 又集合 }2,,8,4,2{ nA  ，任取 ),1,1(, nlknjiaaaa lkji  当 lj  时,不妨设 lj  ，则 lkl j jji aaaaaa  122 ，即 lkji aaaa  . 当 kilj  , 时， lkji aaaa  . 因此，当且仅当 ljki  , 时， lkji aaaa  . 即所有 )1( njiaa ji  的值两两不同， 所以 .2 )1()(  nnAl ----------------------------------------------------------------------------------------13 分