2011石家庄市一模文科数学试卷及答案

试卷类型：A 2011 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数 学(文科) 说明： 1．本试卷共 4 页，包括三道大题，22 道小题，共 150 分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 P n (k)=C k n p k (1-p) kn (k=0，l，2，…，n) 球的表面积公式 S=4 R 2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V= 3 4  R 3 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的． 1．设 M＝{ 9| xx }, N＝{ 9| 2 xx },则 A．M  N B．N  M C．M  RC N D．N  RC M 2．抛物线 y 2 =4x 的焦点坐标为 A．(2，0) B．(1，0) C．(0，-4) D． (-2，0) 新课标第一网 3．已知直线 012:1  yaxl 与直线 0)3(:2  ayxal ，若 1l  2l ，则实数 a 的值为 A． 1 B．2 C．6 D． 1 或 2 4．右图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量  ba A． 21 3ee  B． 21 3ee  C． 21 3ee  D． 21 3ee  5．已知 ),,0(   且 2 2cossin   ，则  cossin  的值为 A． 2 B． 2 6 C． 2 D． 2 6 6．已知椭圆 16 2x + 25 2y =1 的焦点分别是 1F 、 2F ， P 是椭圆上一点，若连结 1F 、 2F 、 P 三点 恰好能构成直角三角形，则点 P 到 y 轴的距离是 A． 5 16 B．3 C． 3 16 D． 3 25 7．若多项式 x 10 = a 0 + a 1 （x-1）+ a 2 （x-1） 2 +…+ a 10 （x-1） 10 ，则 a 8 的值为 A．10 B．45 C．-9 D． -45 8．设 x，y 满足约束条件           0 0 044 02 y x yx yx ，若目标函数 )0,0(  babyaxz 的最大值为 6，则 a 1 + b 2 的最小值为 A．1 B．3 C．2 D． 4 9．用直线 y=m 和直线 y=x 将区域 x 2 +y 2 6 分成若干块。现在用 5 种不同的颜色给这若干块 染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有 120 种不同的染色方法，则实数 m 的 取值范围是 A． )3,3( B． )2,3( C． )2,2( D． )3,2( 10．对于非空数集 A，若实数 M 满足对任意的 Aa  恒有 M，a  则 M 为 A 的上界．．；若 A 的所 有上界．．中存在最小值，则称此最小值为 A 的上确界．．．，那么下列函数的值域中具有上确界．．．的是 A．y= 2x B．y= x)2 1( C．y= x2 1 D．y= xln 11．已知数列{a n } 满足{a n }=       .8, ,8,2)3 1( 7 na nna n 若对于任意的 *Nn 都有 a n a 1n ， 则实数 a 的取值范围是 A．(0， 3 1 ) B．(0， 2 1 ) C．( 3 1 ， 2 1 ) D． ( 2 1 ，1) 12．在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中， FDAAACABBAC 和,1,2 1   分别为棱 AC、AB 上的动点（不包括端点），若 FC1  ,1DB 则线段 DF 长度的取值范围为 A． ]2 3,2 2[ B． )1,3 3[ C． )1,2 2[ D． ]2 2,3 2[ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分；共 20 分． 13.不等式 03 1   x x 的解集为 ． 14．在三棱锥 P-ABC 中，   PBABC ,90 平面 ABC，AB=BC=2 2 ，PB=2，则点 B 到平面 PAC 的距离是 ． 15．已知 a、b、c 成等差数列，则直线 0 cbyax 被曲线 02222  yxyx 截得的弦 长的最小值为 ． 16．在  ABC 中，AB=2AC=2， AB · AC =-1，若  ACABAO xx 21 （O 是  ABC 的外心），则 21 xx  的值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 l0 分) 在  ABC 中，角 A、B、C 的对边长分别是 a、b、c，若 .0cos)2(cos  BcaCb (I)求内角 B 的大小； (Ⅱ)若 b=2，求 ABC 面积的最大值． 18．（本小题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列{ na }的前 6 项和为 60，且 6a 为 1a 和 21a 的等比中项． (I)求数列 na 的通项公式； (Ⅱ)若数列{ nb }满足  ,1    Nnabb nnn 且 31 b ，求数列{ nb 1 }的前 n 项和 nT ． 19．(本小题满分 12 分) 如图所示，五面体 ABCDE 中，正 ABC 的边长为 1，AE  平面 ABC，CD∥AE，且 CD= 2 1 AE． (I)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 ，AE= ),0( kk 若 ],4,6[   求 k 的取值范围； (Ⅱ)在(I)和条件下，当 k 取得最大值时，求平面 BDE 与平面 ABC 所成角的大小． 20．(本小题满分 l2 分) 在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有 A、B、C 三道必答题，分值依 次为 20 分、30 分、50 分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为 零分；否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答 A、B、C 三道题正确的概率分别为 2 1 、 3 1 、 4 1 ，且回答各题时相互之间没有影响． (I)若此选手按 A、B、C 的顺序答题，求其必答题总分不小于 80 分的概率； (Ⅱ)若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为 50 分的概率． 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 )(24 1)( 24 Raxaxxxf  ． (I)若 2 3a ，求函数 )(xf 极值； (II)设 F(x)= 2)12()( 22'  xaxaxf ，若函数 F(x)在[0，1]上单调递增，求 a 的取值 范围． 22．(本小题满分 l2 分) 已知椭圆 13 2 2  yx 的上、下顶点分别为 ),(),(, 11121 yxNyxMAA 和和 是椭圆上两个不同 的动点． (I)求直线 MA1 与 NA2 交点的轨迹 C 的方程； (Ⅱ)若过点 F(0，2)的动直线 z 与曲线 C 交于 A、B 两点， , FBAF  问在 y 轴上 是否存在定点 E，使得 )(  EBEAOF  ?若存在，求出 E 点的坐标；若不存在， 说明理由． 2010-2011 年度石家庄市第一次模拟考试 文科数学答案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. (A 卷答案):1-5 BBDDD 6-10ABBAB 11-12 DC (B 卷答案):1-5 AADDD 6-10BAABA 11-12 DC 二、填空题: 本大题共 4 个小题，每小题5 分，共 20 分. 13． | 3 1x x   14. 2 15. 2 16. 13 6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 解：（I）解法一： ∵ 0cos)2(cos  BcaCb ，由正弦定理得： BABCCB cossin2cossincossin  ， 即 BACB cossin2)sin(  .………………2 分 在 ABC△ 中， ACB  π ， ∴ BAA cossin2sin  ， 0sin A ………………3 分 ∴ 2 1cos B ，∴ 3 π2B .………………5 分 解法二： 因为 0cos)2(cos  BcaCb ，由余弦定理 2 2 2 2 2 2 (2 ) 02 2 a b c a c bb a cab ac       ， 化简得 2 2 2a ac c b   ，……………2 分 又余弦定理 2 2 22 cosa c ac B b   ,……………3 分 所以 1cos 2B   ,又 (0, )B   ,有 2 3B   .……………5 分 （II）解法一： ∵ 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，∴ 2 24 a c ac   ，……………6 分 2 3ac ac ac   . ∴ 4 3ac  ，………………8 分 ∴ 1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3ABCS ac B      ．………………9 分 当且仅当 2 3 3a c  时取得等号．……………………10 分 解法二： 由正弦定理知： B b C c sinsin  ， )3 πsin(3 34 3 π2sin )3 πsin(2 sin sin A A B Cbc    .………………6 分 ∴ ABCS△  Abcsin2 1 )3 π0(sin)3 πsin(3 34  AAA , AAA sin)sin2 1cos2 3(3 34  AAA 2sin3 32cossin2  )2cos1(3 32sin AA  3 32cos3 32sin  AA 3 3)6 π2sin(3 32  A ，………………8 分 ∵ 3 π0  A ，∴ 6 π5 6 π26 π  A ， ∴ 12 πsin)6 π2sin( A ，………………9 分 ∴ 3 3 3 3)6 π2sin(3 32 A ， 即 ABC△ 的面积 ABCS△ 的最大值是 3 3 .………………10 分 18.(本小题满分 12 分) 解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d ( 0d  )， 则     1 2 1 1 1 6 15 60, 20 5 , a d a a d a d      ………………2 分 解得 1 2, 5, d a    …………………4 分 ∴ 2 3na n  ．………………5 分 （Ⅱ）由 1n n nb b a   ， ∴ 1 1n n nb b a    *2,n n  N ，………………6 分      1 1 2 2 1 1n n n n nb b b b b b b b          1 2 1 1n na a a b          1 1 4 3 2n n n n       ． ∴  2nb n n   *nN ．…………………8 分 ∴   1 1 1 1 1 2 2 2nb n n n n        ………………10 分 1 1 1 1 1 112 3 2 4 2nT n n              21 3 1 1 3 5 2 2 1 2 4 1 2 n n n n n n           ．………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解：方法一： （Ⅰ）取 AB 中点 M ,连结 CM 、 EM , 由 ABC 为正三角形，得 CM AB ，又 AE ABC 面 ， 则 AE CM ， 可 知 CM ABE 面 ，所以 MEC 为CE 与平 面 ABE 所成角．……………2 分 2 3 2tan 1 4 CM EM k     ，……………4 分 因为 [ , ]6 4    ，得 3tan [ ,1]3   ，得 2 22 k  .……………6 分 （Ⅱ）延长 AC ED、 交于点Ｓ，连 BS ， 可知平面 BDE  平面 ABC = BS .………………………7 分 由 / /CD AE ，且 1 2CD AE ，又因为 AC CS BC  =1，从而 AB BS ，………………… 8 分 又 AE  面 ABC ，由三垂线定理可知 BE BS ，即 EBA 为平面 BDE 与平面 ABC 所成的 角；……………………10 分 则 tan 2AEEBA AB    ， 从而平面 BDE 与面 ABC 所成的角的大小为 arc tan 2 .………………12 分 方法二： 解： （Ⅰ）如图以 C 为坐标原点，CA、CD 为 y、z 轴， 垂直于 CA、CD 的直线 CT 为 x 轴，建立空间直 角坐标系（如图），则 设 (0,1,0)A ， (0,0, )2 kD ， (0,1, )E k ， 3 1( , ,0)2 2B .……………2 分 取 AB 的中点 M，则 3 3( , ,0)4 4M ， 易知,ABE 的一个法向量为 3 3( , ,0)4 4CM  , 由题意 2 2 3 34sin | | | | 3 9 2 11 16 16 CE CM CE CM kk             .………………4 分 由 [ , ]6 4    ，则 1 2 2 3 2sin 22 1 k     ， 得 2 22 k  .…………………6 分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知 k 最大值为 2 ，则当 2k  时，设平面 BDE 法向量为 x,y,z）n = ( ，则 2 0,2 3 2 0.2 2 2 DE y z yBE x z              n n 取 n = (- 3,-1, 2），………………8 分 又平面 ABC 法向量为 m = (0,0,1），……………………10 分 所以 cos( , )n m = 2 3 32 3 1    ， 所以平面 BDE 与平面 ABC 所成角大小 3arccos .3 ……………………12 分  20.(本小题满分 12 分) 解：（I）若考生按 A，B，C 的顺序答题， 记该生最后得分不小于 80 分为事件 E .………………1 分.新 课 标 第 一网 则 1 1 1( ) 2 3 4P E    …………………2 分 1 1 1 1(1 )2 3 4 12      ，……………………4 分 所以若此选手按 A、B、C 的顺序答题， 求其必答题总分不小于 80 分的概率.…………………5 分 （II）考生自由选择答题顺序，记总分得 50 分为事件 D，记 D1 表示 A，B 答对，C 答错，D2 表 示 A，B 答错，C 答对，则 D=D1+D2，且 D1，D2 互斥.………………6 分 又 8 1)4 11(3 1 2 1)( 1 DP ，………………8 分 36 1 4 1)3 11(2 1)( 3 3 2 2 2  A ADP .…………………10 分 所以 72 11)()()()( 2121  DPDPDDPDP .………………12 分  21．(本小题满分 12 分) （Ⅰ）解：当 3 2a  时，      23 3 2 1 2 0f x x x x x        解得： 1x  或 2x   ．………………2 分 ∵当  , 2x   时，   0f x  ； 当  2,1x  时，   0f x  ； 当  1,x  时，   0f x  .……………………4 分 ∴  f x 的极小值为  2 6f    ．…………………5 分 （Ⅱ）解法一：      3 2 22 1 2F x x a x a a x     ， 即    2 23 4 2 2 0,F x x a x a a       在 0,1 上恒成立，……………7 分 即   2 22 1 ( 1)3( ) .3 3 a aF x x      （1）当对称轴 1 2 (0,1)3 ax   时， 只要 2( 1 03 a  ） ，即 a  ，…………………9 分 （2）当对称轴 1 2 13 ax   或 1 2 03 ax   时， 只要 (0) 0; (1) 0 F F      . 即 2 2 2 0; 3 2(2 1) 0 a a a a a        -2 . 得 1a   或 2a  .…………………11 分 综上所述， 1a   或 2a  .………………12 分 解法二：      3 2 22 1 2F x x a x a a x     ，         2 23 4 2 2 3 2F x x a x a a x a x a          .………………6 分 由已知得：     3 2 0F x x a x a      在 0,1 上恒成立，………………8 分 新 课 标 第一网 当 2 3 a a   时，即 1a   时，符合题意；………………9 分 当 2 3 a a   时，即 1a   时，只须 1a  或 2 03 a  ， ∴ 1a   或 2a  ，∴ 2a  ；……………………10 分 当 2 3 a a   时，即 1a   时，只须 0a  或 2 13 a  ， ∴ 0a  或 1a   ，∴ 1a   ．………………11 分 综上所述， 1a   或 2a  ．…………………12 分 22．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）方法一：设直线 MA1 与 NA2 的交点为 ),( yxP ， ∵ 21 AA， 是椭圆 13 2 2  yx 的上、下顶点， ∴ 1 2(0 3) (0 3)A A， ， ，- …………………1 分 1 1 1 33 yA M y xx  ： ， 1 2 1 33 yA N y xx    ： ， 两式相乘得 2 2 1 2 12 33 xx yy   .………………………3 分 而 ),( 11 yxM 在椭圆 13 2 2  yx （ 1 0x  ）上， 所以 13 2 12 1  yx ，即 33 2 1 2 1   x y ，所以 22 33 xy  .……………4 分 又当 0x  时，不合题意，去掉顶点. ∴直线 MA1 与 NA2 的交点的轨迹C 的方程是 2 2 1( 0)3 y x x   ；……………5 分 方法二：设直线 MA1 与 NA2 的交点为 ),( yxP ， ∵ 21 AA， 是椭圆 13 2 2  yx 的上、下顶点， ∴ 1 2(0 3) (0 3)A A， ， ，- …………………1 分 ∵ PMA 、、1 共线， PNA 、、2 共线， ∴ x y x y 33 1 1  …………① x y x y 33 1 1   …………②…………………3 分 ①②得 2 2 2 1 2 1 33 x y x y   ， 又∵ 13 2 12 1  yx 即 33 2 1 2 1   x y ， ∴ 33 2 2  x y ，即 2 2 1( 0)3 y x x   ， ∴直线 MA1 与 NA2 的交点的轨迹C 的方程是 13 2 2  xy ；（ 0x  ）……………5 分 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为 k ， 设 )( 11 yxA ， ， )( 22 yxB ， ， )0( 0yE ， ， 由 2 2 2 1.3 y kx y x     ， 得 )3(014)3( 222  kk ， 3 1 3 4 221221   k kxx ， .…………………6 分 1 1( 2 )AF x y   ， ， 2 2( 2)FB x y  ， ， ∵ AF FB  ，∴ 21 xx  ， ∵ 02 x ，∴ 2 1 x x ， ∵ (0 2)OF  ，， 1 1 0( )EA x y y  ， ， 2 2 0( )EB x y y  ， ， 1 2 1 0 2 0( )EA EB x x y y y y          ， ，， 又∵ ( )OF EA EB    ，∴ ( ) 0OF EA EB     ， ∴ 0)2(0 020121  yyyyxx  （） ， 即 00201  yyyy  .………………………8 分 将 211  kxy ， 222 kxy ， 2 1 x x 代入上式并整理得 0212121 )()(22 yxxxx  ，…………………9 分 当 021  xx 时， 2 32 3 4 3 2 22 2 2 21 21 0     k k k k xx xkxy ， 当 021  xx 时， 0k ， 0212121 )()(22 yxxxx  恒成立， …………………11 分 所以， 在 y 轴上存在定点 E ，使得 ( )OF EA EB    ，点 E 的坐标为 )2 30( ， ．………12 分