2011石景山区高三一模数学试题及答案（理科）

北京石景山区 2011 年高三统一测试 数学试题（理科） 考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟． 2．本试卷共 6 页，各题答案均答在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．设 2{ | 4}, { | 4}M x x N x x    ，则 （ ） A．M N B．N M C． RM C N D． RN C M 2．若1 7 ( , ),2 i a bi a b R ii     是虚数单位，则乘积 ab 的值是 （ ） A．-15 B．3 C．-3 D．5 3．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 4 5 818 ,a a S  则 （ ） A．72 B．68 C．54 D．90 4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位： cm），则这个几何体的体积是 （ ） A． 33cm B． 35 2 cm C．2 3cm D． 33 2 cm 5．已知 O 是 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2 0OA OB OC      ，那么 （ ） A． AO OD  B． 2AO OD  C． 3AO OD  D． 2AO OD  6．某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起， 则不同的停放方法的种数为 （ ） A．16 B．18 C．24 D．32 7．已知椭圆 2 2 14 x y  的焦点为 1 2,F F ，在长轴 A1A2 上任取一点 M，过 M 作垂直于 A1A2 的直线交椭圆 于点 P，则使得 1 2 0PF PF   的点 M 的概率为 （ ） A． 2 3 B． 6 3 C． 2 6 3 D． 1 2 8．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 (4) 1, ( ) ( )f f x f x 为 的导函数，已知 ( )y f x 的图象如图所示，若两 个正数 ,a b 满足 1(2 ) 1, 1 bf a b a    则 的取值范围是 （ ） A． 1 1( , )5 3 B． 1( , ) (5, )3    C． 1( ,5)3 D． ( ,3) 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 9 ． 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 应 的 边 分 别 为 2 2 2, , ,a b c b c bc a  且 ，则角 A 的大小为 ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的 k 的值 是 ． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 5cos 1: 5sin 2 xC y        （ 为 参 数）和直线 4 6: 3 2 x tl y t       （ t 为参数），则圆 C 的普通方 程 为 ，直线l 与圆 C 的位置关系是 。 12．如图，圆 O 的直径 AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，过 C 作圆的 切线l ， 过 A 作直线l 的垂线 AD，D 为垂足，AD 与圆 O 交于点 E，则线 段 AE 的长为 。 13 ． 已 知 两 定 点 ( 1,0), (1,0)M N ， 若 直 线 上 存 在 点 P ， 使 得 | | | | 4PM PN  ，则该直线为“A 型直线”。给出下列直线， 其 中 是 “A 型直线”的是 。 ① 1y x  ② 2y  ③ 3y x   ④ 2 3y x   14 ． 函 数 2 ( 0)y x x  的 图 象 在 点 2( , )n na a 处 的 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 1na  ， * 1 3 5, 16,n N a a a   若 则 ，数列{ }na 的通项公式为 ． 三、解答题：本磊题共 6 小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 2 7, , , 4sin cos2 .2 2 A Ba b c C  且 （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求 sin sinA B 的最大值． 16．（本小题满分 13 分） 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机 抽样 100 名志原者的年龄情况如下表所示。 （Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据 频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35) 岁的人数； （Ⅱ）在抽出的 100 名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望。 17．（本小题满分 14 分） 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点． （Ⅰ）求证：EF//平面 ACD1； （Ⅱ）求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值； （Ⅲ）在棱 BB1 上是否存在一点 P，使得二面角 P—AC— B 的 大小为 30°？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明 理由． 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 21( ) ( ) ln ,( ).2f x a x x a R    （Ⅰ）当 1 , ( )a f x 时 求 在区间[1, ]e 上的最大值和最小值； （Ⅱ）若在区间 (1, ) 上，函数 ( )f x 的图象恒在直线 2y ax 下方，求 a 的取值范围． 19．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 经过点 6 1( , )2 2P ，离心率为 2 2 ，动点 (2, )( 0).M t t  （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求以 OM 为直径且被直线3 4 5 0x y   截得的弦长为 2 的圆的方程； （Ⅲ）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线段 ON 的长 为定值，并求出这个定值． 20．（本小题满分 14 分） 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x 和 数 列 1 2 1{ }, ,na a a a a  ， 当 * 2n N n 且 时 ， 1 1 1( ), ( ) ( ) ( )n n n n n na f a f a f a k a a     且 ，其中 ,a k 均为非零常数． （Ⅰ）若数列{ }na 是等差数列，求 k 的值； （Ⅱ）令 * 1 1( ), 1n n nb a a n N b   若 ，求数列{ }nb 的通项公式； （Ⅲ）若数列{ }na 为等比数列，求函数 ( )f x 的解析式．