北京石景山区
2011 年高三统一测试
数学试题（文科）
考生须知：
1．本试卷为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．
2．本试卷共 6 页，各题答案均答在答题卡上．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．设 2{ | 4}, { | 4}M x x N x x ，则 （ ）
A．M N B．N M C． RM C N D． RN C M
2．若1 7 ( , ),2
i a bi a b R ii
是虚数单位，则乘积 ab 的值是 （ ）
A．-15 B．3 C．-3 D．5
3．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 4 5 818 ,a a S 则 （ ）
A．54 B．68 C．90 D．72
4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm）， 则 这
个几何的表面积是 （ ）
A． 29 cm B．12 2cm
C．15 2cm D．24 2cm
5．已知 O 是 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且
2 0OA OB OC ，那么 （ ）
A． AO OD
B． 2AO OD
C． 3AO OD
D． 2AO OD
6．已知 是第二象限角，且 3sin( ) , tan 25
则 的值为 （ ）
A． 4
5 B． 23
7
C． 24
7
D． 8
3
7．已知椭圆
2
2 14
x y 的焦点为 1 2,F F ，在长轴 A1A2 上任取一点 M，过 M 作垂直于 A1A2 的直线交椭圆
于点 P，则使得 1 2 0PF PF 的点 M 的概率为 （ ）
A． 2
3 B． 6
3 C． 2 6
3 D． 1
2
8．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 (4) 1, ( ) ( )f f x f x 为 的导函数，已知 ( )y f x 的图象如图所示，若两
个正数 ,a b 满足 1(2 ) 1, 1
bf a b a
则 的取值范围是 （ ）
A． 1 1( , )5 3
B． 1( , ) (5, )3
C． 1( ,5)3
D． ( ,3)
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．
9 ． 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 应 的 边 分 别 为
2 2 2, , ,a b c b c bc a 且 ，则角 A 的大小为 ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的 k 的值 是
．
11．已知命题 2: , 2 0p x R x ax a ，则命题 p 的否定 是
；若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
12 ． 已 知 向 量 (1, ), ( 1, ), 2a n b n a b b 若 与 垂 直 ， 则 n
．
13 ． 已 知 函 数
2
2 , ( ,1)( )
, [1, )
x xf x
x x
， 那 么
( 1)f ，若 ( ) 4f x 则 x 的取值范围是 ．
14 ． 函 数 2 ( 0)y x x 的 图 象 在 点 2( , )n na a 处 的 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 1na ，
*
1 3 5, 16,n N a a a 若 则 ，数列{ }na 的通项公式为 ．
三、解答题：本磊题共 6 小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 2 7, , , 4sin cos2 .2 2
A Ba b c C 且
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）求 sin sinA B 的最大值．
16．（本小题满分 13 分）
为预防 H1N1 病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有
效的概率小于 90%，则认为测试没有通过），公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A 组 B 组 C 组
疫苗有效 673 x y
疫苗无效 77 90 z
已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33．
（Ⅰ）求 x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取多少个？
（Ⅲ）已知 465, 30y z ，求不能通过测试的概率．
17．（本小题满分 14 分）
在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 BB1，DD1 和 CC1 的中点．
（Ⅰ）求证：C1F//平面 DEG；
（Ⅱ）求三棱锥 D1—A1AE 的体积；
（Ⅲ）试在棱 CD 上求一点 M，使 1D M 平面 DEG．
18．（本小题满分 13 分）
已知函数 ( ) 2ln .kf x kx xx
（Ⅰ）若 (2) 0, ( )f y f x 求函数 的解析式；
（Ⅱ）若函数 ( )f x 在其定义域内为增函数，求实数 k 的取值范围．
19．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 经过点 6 1( , )2 2P ，离心率为 2
2
，动点 (2, )( 0).M t t
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以 OM 为直径且被直线3 4 5 0x y 截得的弦长为 2 的圆的方程；
（Ⅲ）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线段 ON 的长
为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分 14 分）
已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x 和 数 列 1 2 1{ }, ,na a a a a ， 当 * 2n N n 且 时 ，
1 1 1( ), ( ) ( ) ( )n n n n n na f a f a f a k a a 且 ，其中 ,a k 均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{ }na 是等差数列，求 k 的值；
（Ⅱ）令 *
1 1( ), 1n n nb a a n N b 若 ，求数列{ }nb 的通项公式；
（Ⅲ）若数列{ }na 为等比数列，求函数 ( )f x 的解析式．
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