江苏省南通市 2011 届高三第二次模拟考试数学试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1． 曲线 3 2y x x 在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ．
2． 若 1 5i i3 i a b
（ a b， R，i 为虚数单位），则 ab= ▲ ．
3．命题“若实数 a 满足 2a≤ ，则 2 4a ”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．
4． 把一个体积为 27cm3 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm3 的 27 个小正方
体，现
从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．
5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题 1 分，全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生所
占比例
分别为 30％、50％、10％和 10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．
6．设 (2 0) (0 1)M m m R， ， ，a a 和 (1 1) (1 1)N n n R， ， ，b b 都是元素为向量
的集
合，则 M∩N= ▲ ．
7． 在如图所示的算法流程图中，若输入 m = 4，n = 3，则输出的
a= ▲ ．
8．设等差数列 na 的公差为正数，若 1 2 3 1 2 315 80a a a a a a ， ，
则 11 12 13a a a ▲ ．
9．设 ， 是空间两个不同的平面，m，n 是平面 及 外的两条不
同直线．从“①m⊥n；② ⊥ ；③n⊥ ；④m⊥ ”中选
取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号
表示）．
10．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足： ( ) ( 2)f x f x= + ，当 3 5x ， 时， ( ) 2 4f x x= - - ．下列
四个
不 等 关 系 ： ( ) ( )sin cos6
π
6
πf f< ； (sin1) (cos1)f f> ； ( ) ( )cos sin3 3
2π 2πf f< ；
(cos2) (sin 2)f f> ．
其中正确的个数是 ▲ ．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是双曲线
2
2 13
yx 的左、右焦点，△ABC 的
顶点
C 在双曲线的右支上，则 sin sin
sin
A B
C
的值是 ▲ ．
12 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 设 点 ( )1 1P x y， 、 ( )2 2Q x y， ， 定 义 ：
1 2 1 2( )d P Q x x y y= - + -， ． 已
知点 ( )1 0B ， ，点 M 为直线 2 2 0x y- + = 上的动点，则使 ( )d B M， 取最小值时点 M 的坐
标是
▲ ．
13．若实数 x，y，z，t 满足1 10 000x y z t≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ，则 x z
y t 的最小值为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，设 A、B、C 是圆 x2+y2=1 上相异三点，若存在正实数 ， ，
使得
OC
= OA OB ，则 22 3 的取值范围是 ▲ ．
【填空题答案】
1. x－y－2=0 2. 8
25 3. 真 4. 26
27
5. 2 6. 2 0， 7. 12 8. 105
9. ①③④ ②（或②③④ ①） 10. 1 11. 2
1
12. 31 2
， 13. 1
50 14. 2 ，
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
如图，平面 PAC 平面 ABC ，点 E、F、O 分别为线段 PA、PB、AC 的中点，点 G 是线段
CO
的中点， 4AB BC AC ， 2 2PA PC ．求证：
（1） PA 平面 EBO ；
（2） FG ∥平面 EBO ．
【证明】由题意可知， PAC 为等腰直角三角形，
ABC 为等边三角形． …………………2 分
（1）因为 O 为边 AC 的中点，所以 BO AC ，
P
A
B
CO
E
F
G
(第 15 题)
因为平面 PAC 平面 ABC ，平面 PAC 平面 ABC AC ，
BO 平面 ABC ，所以 BO 面 PAC ． …………………5 分
因为 PA 平面 PAC ，所以 BO PA ，
在等腰三角形 PAC 内， O ， E 为所在边的中点，所以 OE PA ，
又 BO OE O ，所以 PA 平面 EBO ；…………………8 分
（2）连 AF 交 BE 于 Q，连 QO．
因为 E、F、O 分别为边 PA、PB、PC 的中点，
所以 2AO
OG ，且 Q 是△PAB 的重心，…………………10 分
于是 2AQ AO
QF OG ，所以 FG//QO. …………………12 分
因为 FG 平面 EB O，QO 平面 EBO，所以 FG ∥平面 EBO ． …………………
14 分
【注】第（2）小题亦可通过取 PE 中点 H，利用平面 FGH//平面 EBO 证得.
16．（本小题满分 14 分）
已知函数 ( ) 2cos 3cos sin2 2 2
x x xf x ．
（1）设 π π
2 2 ， ，且 ( ) 3 1f ，求 的值；
（2）在△ABC 中，AB=1， ( ) 3 1f C ，且△ABC 的面积为 3
2
，求 sinA+sinB 的值．
【解】（1） 2( ) 2 3cos 2sin cos2 2 2
x x xf x = 3(1 cos ) sinx x = π2cos 36x ．……3
分
由 π2cos 3 3 16x ， 得
π 1cos 6 2x ， ………………5 分
于是 π π2 π ( )6 3x k k Z ，因为 π π
2 2x ， ，所以 π π
2 6x 或 ． ………………7
分
（2）因为 (0 π)C ， ，由（1）知 π
6C ． ………………9
分
因为△ABC 的面积为 3
2
，所以 3 1 πsin2 2 6ab ，于是 2 3ab . ①
在△ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b.
P
A
B
CO
E
F
G
Q
O
A1 A2
B1
B2
x
y
(第 17 题)
由余弦定理得 2 2 2 2π1 2 cos 66a b ab a b ，所以 2 2 7a b ． ②
由 ① ② 可 得 2
3
a
b
，
或 3
2.
a
b
， 于 是
2 3a b ． ………………12 分
由正弦定理得 sin sin sin 1
1 2
A B C
a b ，
所 以
31sin sin 12 2A B a b ． ………………14 分
17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 E： 22
2 2 1( 0)yx a ba b
的左、右顶点分别为 1A 、
2A ，
上、下顶点分别为 1B 、 2B ．设直线 1 1A B 的倾斜角的正弦值为 1
3
，圆 C 与以线段 2OA 为直
径的圆
关于直线 1 1A B 对称．
（1）求椭圆 E 的离心率；
（2）判断直线 1 1A B 与圆 C 的位置关系，并说明理由；
（3）若圆 C 的面积为 ，求圆C 的方程．
【解】（1）设椭圆 E 的焦距为 2c（c>0），
因为直线 1 1A B 的倾斜角的正弦值为 1
3
，所以
2 2
1
3
b
a b
，
于是 2 28a b ，即 2 2 28( )a a c ，所以椭圆 E 的离心率 2
2
147 .8 4
ce a
…………
4 分
（2）由 14
4e 可设 4 0a k k ， 14c k ，则 2b k ，
于是 1 1A B 的方程为： 2 2 4 0x y k ，
故 2OA 的 中 点 2 0k, 到 1 1A B 的 距 离
d 2 4 23
k k k
， …………………………6 分
又以 2OA 为直径的圆的半径 2r k ，即有 d r ，
所 以 直 线 1 1A B 与 圆 C 相
切． …………………………8 分
（3）由圆C 的面积为 知圆半径为 1，从而 1
2k ， …………………………
10 分
设 2OA 的中点 1 0, 关于直线 1 1A B ： 2 2 2 0x y 的对称点为 m n, ，
则
2 1,1 4
1 2 2 2 02 2
n
m
m n
．
…………………………12 分
解得 4 21
3 3m n , ．所以，圆C 的方程为 22 4 21 13 3x y ．…………………14
分
18．（本小题满分 16 分）
如图，实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆 P 和
圆 Q 的
半径都是 2km，点 P 在圆 Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形 ABCD，求场地的最大面积．
【解】（1）如右图，过 S 作 SH⊥RT 于 H，
S△RST= RTSH
2
1 ． ……………………2 分
由题意，△RST 在月牙形公园里，
RT 与 圆 Q 只 能 相 切 或 相
离； ……………………4 分
RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有 RT≤4，SH≤2，
当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
（第 17 题甲）
D
A
C
B
QP
N
MR
S
M
N
P Q
T
（第 17 题乙）
此时，场地面积的最大值为 S△RST= 1 4 22
=4（km2）． ……………………6
分
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD 必须切圆 Q 于 P，再设∠BPA= ，则有
1 1 π2 2 sin 2 2 2 sin(π 2 ) 4(sin sin cos ) 02 2 2ABCDS 四边形 ．
……………………8 分
令 cossinsin y ，则
)sin(sincoscoscos y 1coscos2 2 ． …………………
11 分
若 0y ， 1 πcos 2 3 ， ，
又 π0 3 ， 时， 0y ， π π
3 2 ， 时， 0y ， …………………14
分
函数 cossinsin y 在 π
3 处取到极大值也是最大值，
故 π
3 时，场地面积取得最大值为3 3（km2）． …………………16
分
19． （本小题满分 16 分）
设定义在区间[x1， x2]上的函数 y=f(x)的图象为 C，M 是 C 上的任意一点，O 为坐标原点，
设向
量OA
= 1 1x f x， ， 2 2OB x f x ， ，OM
=(x，y)，当实数λ满足 x=λ x1+(1－λ) x2 时，记
向
量ON
=λOA
+(1－λ) OB
．定义“函数 y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准 k 下线性近似”是指
“ MN
≤ k 恒成立”，其中 k 是一个确定的正数．
（1）设函数 f(x)=x2 在区间[0，1]上可在标准 k 下线性近似，求 k 的取值范围；
（2）求证：函数 ( ) lng x x 在区间 1e e ( )m m m R， 上可在标准 k= 1
8
下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）
【解】（1）由 ON
=λ OA
+(1－λ)OB
得到 BN
=λ BA
，
所以 B，N，A 三点共线， ……………………2
分
又由 x=λ x1+(1－λ) x2 与向量ON
=λ OA
+(1－λ) OB
，得 N 与 M 的横坐标相同．……………4
分
对于 [0，1]上的函数 y=x2，A(0，0)，B(1，1)，
则有 2
2 1 1
2 4MN x x x ，故 10 4MN ， ；
所 以 k 的 取 值 范 围 是
1
4
， ． ……………………6 分
（2）对于 1e em m ， 上的函数 lny x ，
A( em m， ) ，
B( 1e 1m m ， )， ……………………8 分
则 直 线 AB 的 方 程
1
1 ( e )e e
m
m my m x
， ……………………10 分
令 1
1( ) ln ( e )e e
m
m mh x x m x
，其中 1e em mx m R， ，
于 是
1
1 1( ) e em mh x x
， ……………………13 分
列表如下：
x em (em，em+1－em) em+1－em (em+1－em，em+1) em+1
( )h' x + 0 －
( )h x 0 增 1(e e )m mh 减 0
则 MN h x ，且在 1e em mx 处取得最大值，
又 1 e 2(e e ) ln e 1 e 1
m mh 0.123 1
8
，从而命题成立． ……………………16
分
20．(本小题满分 16 分)
已知数列{ }na 满足 2 *
1 2 ( )na a a n n N ．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）对任意给定的 *k N ，是否存在 *p r N， （ k p r ）使 1 1 1
k p ra a a
， ， 成等差数列？
若存
在，用 k 分别表示 p 和 r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为
1 2 3
, ,n n na a a ．
【解】（1）当 1n 时， 1 1a ；
当 *2n n N≥ ， 时， 2
1 2 1 ( 1)na a a n ，
所以 2 2( 1) 2 1na n n n ；
综上所述， *2 1 ( )na n n N ． ……………………3
分
（2）当 1k 时，若存在 p，r 使 1 1 1
k p ra a a
， ， 成等差数列，则 1 2 1 3 2
2 1r p k
p
a a a p
，
因为 2p≥ ，所以 0ra ，与数列{ }na 为正数相矛盾，因此，当 1k 时不存在； …………5
分
当 2k≥ 时，设 k p ra x a y a z ， ， ，则 1 1 2
x z y
，所以
2
xyz x y
， ……………………7
分
令 2 1y x ，得 (2 1)z xy x x ，此时 2 1ka x k ， 2 1 2(2 1) 1pa y x k ，
所以 2 1p k ， 2(2 1)(4 3) 2(4 5 2) 1ra z k k k k ，
所以 24 5 2r k k ；
综上所述，当 1k 时，不存在 p，r；当 2k≥ 时，存在 22 1, 4 5 2p k r k k 满足题设.
……………………10 分
（3）作如下构造：
1 2 3
2 2(2 3) (2 3)(2 5) (2 5)n n na k a k k a k ， ， ，其中 *k N ，
它们依次为数列{ }na 中的第 22 6 5k k 项，第 22 8 8k k 项，第 22 10 13k k 项，……12
分
显然它们成等比数列，且
1 2 3n n na a a ，
1 2 3n n na a a ，所以它们能组成三角形．
由 *k N 的任意性，这样的三角形有无穷多
个． ……………………14 分
下面用反证法证明其中任意两个三角形 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 不相似：
若三角形 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 相似，且 1 2k k ，则 1 1 2 2
2 2
1 2
(2 3)(2 5) (2 3)(2 5)
(2 3) (2 3)
k k k k
k k
，
整理得 1 2
1 2
2 5 2 5
2 3 2 3
k k
k k
，所以 1 2k k ，这与条件 1 2k k 相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似．
故命题成
立． ……………………16 分
【注】1．第（2）小题当 ak 不是质数时，p，r 的解不唯一；
2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设 1 2 3n n n ，且
1 2 3n n na a a， ， 符合题意，
则公比 q >1，因
1 2 3n n na a a ，又
1 2 3n n na a a ，则 21 q q ，所以 5 11 2q ，
因为三项均为整数，所以 q 为 5 11 2
， 内的既约分数且
1na 含平方数因子，
经验证，仅含 21 或 23 时不合，所以
1
2 *(2 3) ( )na k p k p N， ；
3．第（3）小题的构造形式不唯一．
数学 II（附加题）
21．【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题 10 分，共计 20
分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—1：几何证明选讲
自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA，切点为 A，M 为 PA 的中点，
过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点，且∠BMP=100°，
∠BPC=40°，求∠MPB 的大小．
【解】因为 MA 为圆 O 的切线，所以 2MA MB MC ．
又 M 为 PA 的中点，所以 2MP MB MC ．
因为 BMP PMC ，所以 BMP PMC ∽ ． ………………5
分
于是 MPB MCP ．
在△MCP 中，由 180MPB MCP BPC BMP ，得∠MPB=20°．………………10
分
B．选修 4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵 A
a b
c d
，矩阵 A 属于特征值 1 1 的一个特征向量为 1
1
1
，属于
特征值
2 4 的一个特征向量为 2
3
2
．求矩阵 A．
【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1 1 1 ，
即 1 111 1
a b
c d
， 得 1
1.
a b
c d
，
……………………5 分
同 理 可 得 3 2 12
3 2 8
a b
c d
，
， 解 得 2 3 2 1， ， ， a b c d ． 因 此 矩 阵
A 2 3
2 1
． …………10 分
C．选修 4—4：坐标系与参数方程
（第 21—A 题）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 2cos
sin
， 为参数x
y
．以直角坐标
系原
点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
πcos 2 24 ．点
P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值．
【解】 πcos 2 24 化简为 cos sin 4 ，
则 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为
4x y ． …………………4 分
设点 P 的坐标为 2cos sin， ，得 P 到直线 l 的距离 2cos sin 4
2
d
，
即
5sin 4
2
d
， 其 中
1 2cos , sin
5 5
． …………………8 分
当 sin 1 - 时 ，
max
102 2 2d ． ………………10 分
D．选修 4—5：不等式选讲
若正数 a，b，c 满足 a+b+c=1，求 1 1 1
3 2 3 2 3 2a b c
的最小值．
【解】因为正数 a，b，c 满足 a+b+c=1，
所以， 21 1 1 3 2 3 2 3 2 1 1 13 2 3 2 3 2 a b ca b c ≥ ，………………5
分
即 1 1 1 13 2 3 2 3 2
≥
a b c
，
当且仅当3 2 3 2 3 2a b c ，即 1
3a b c 时，原式取最小值 1． ………………10
分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分． 解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 D1E＝λEO.
A
1
B
A
D
C
O
（第 22 题）
E
B
B1C
BA
A1C
BA
C
B
C1D1
（1）若λ=1，求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值；
（2）若平面 CDE⊥平面 CD1O，求λ的值.
【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1，以 1, ,DA DC DD
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ．
则 A(1，0，0)， 1 1 02 2O ， ， ， 0 1 0C ，， ，D1(0，0，1)，
E 1 1 1
4 4 2
， ， ，
于是 1 1 1
4 4 2DE ， ， ， 1 0 1 1CD ， ， .
由 cos 1DE CD ， ＝ 1
1| | | |
DE CD
DE CD
＝ 3
6
.
所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为 3
6
. ……………………5
分
（2）设平面 CD1O 的向量为 m=(x1，y1，z1)，由 m·CO
＝0，m· 1CD
＝0
得 1 1
1 1
1 1 02 2
0
x y
y z
，
，
取 x1＝1，得 y1＝z1＝1，即 m=(1，1，1) . ……………………7
分
由 D1E＝λEO，则 E 1
2(1 ) 2(1 ) 1
， ， ， DE
= 1
2(1 ) 2(1 ) 1
， ， .
又设平面 CDE 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，由 n·CD
＝0，n· DE
＝0.
得
2
2 2 2
0
02(1 ) 2(1 ) 1
y
x y z
，
，取 x2=2，得 z2＝－λ，即 n＝(－2，0，λ) .
因为平面 CDE⊥平面 CD1F，所以 m·n＝0，得λ＝2． ……………………10
分
23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分.
（1）设抛掷 5 次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 E ；
（2）求恰好得到 n *( )nN 分的概率．
【解】（1）所抛 5 次得分 的概率为 P( ＝i)= 5
5
5
1C 2
i (i=5，6，7，8，9，10)，
其分布列如下：
E = 510
5
5
5
1C 2
i
i
i
= 15
2 (分) . ……………………5 分
（2）令 pn 表示恰好得到 n 分的概率. 不出现 n 分的唯一情况是得到 n－1 分以后再掷出
一次反面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1－pn，“恰好得到 n－1 分”的概率是 pn－1，
因为“掷一次出现反面”的概率是 1
2
，所以有 1－pn= 1
2
pn－1， ……………………7 分
即 pn－ 2
3 =－ 1
2 1
2
3np .
于是 2
3np 是以 p1－ 2
3 = 1
2
－ 2
3 =－ 1
6
为首项，以－ 1
2
为公比的等比数列.
所以 pn－ 2
3 =－ 1
6 11
2
n
，即 pn＝ 1 123 2
n .
答：恰好得到 n 分的概率是 1 123 2
n . …………………10 分
5 6 7 8 9 10
P 1
32
5
32
5
16
5
16
5
32
1
32
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