2011届高三一轮测试（理）3数列(2)（通用版）

数 列 ————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题 后直接作答，共 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1．设数列{an}的通项公式 an＝f(n)是一个函数，则它的定义域是 ( ) A．非负整数 B．N*的子集 C．N* D．N*或{1,2,3，…，n} 2．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于 1 的正整数 n，点(an，an－1)在直线 x－y－6＝0 上，则 a3－ a5＋a7 的值为 ( ) A．27 B．6 C．81 D．9 3．设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，且 S1，S2，S4 成等比数列，则a2 a1 等于 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n(n－1)，则该数列是 ( ) A．公比为 2 的等比数列 B．公比为1 2 的等比数列 C．公差为 2 的等差数列 D．公差为 4 的等差数列 5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为 2 km，以后 每秒钟通过的路程增加 2 km，在到达离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间 是 ( ) A．10 秒钟 B．13 秒钟 C．15 秒钟 D．20 秒钟 6．数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n－c，则“c＝1”是“数列{an}为等比数列”的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d.若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k＝ ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 8．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1＋an 1－an ，则 a2 010＝ ( ) A．－2 B．－1 3 C．－1 2 D．3 9．在函数 y＝f(x)的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数 y ＝f(x)的解析式可能为 ( ) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2 C．f(x)＝log3x D．f(x)＝ 3 4 x 10．若数列{an}的通项公式为 an＝1＋ 2 2n－7 (n∈N*)，{an}的最大项为第 x 项，最小项为第 y 项，则 x ＋y 的值为 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 11．在等差数列{an}中，a11 a10 ＜－1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，则下列各数中是 Sn 的最小正数的是 ( ) A．S17 B．S18 C．S19 D．S20 12．已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数，数列{bn}满足 bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn} 前 n 项和的最大值等于 ( ) A．126 B．130 C．132 D．134 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总 分二 17 18 19 20 21 22 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________. 14．设数列{an}的通项为 an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 15．若数列{an}满足 1 an＋1 － 1 an ＝d(n∈N*，d 为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知数列{1 xn }为“调 和数列”，且 x1＋x2＋…＋x20＝200，则 x3x18 的最大值是________． 16．已知 Sn 是公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和，且 S6＞S7＞S5，则下列四个命题：①d＜0；②S11 ＞0；③S12＜0；④S13＞0 中真命题的序号为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知等差数列{an}中，a2＝9，a5＝21. (1)求{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 18．(本小题满分 12 分)已知数列{an}，an∈N*，前 n 项和 Sn＝1 8(aa＋2)2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝1 2an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值． 19.(本小题满分 12 分)某市 2008 年 11 月份曾发生流感，据统计，11 月 1 日该市流感病毒新感染者有 20 人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人，由于该市医疗部门采取措施，使该种 病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人，到 11 月 30 日为 止，该市在这 30 日内该病毒新感染者共有 8 670 人，问 11 月几日，该市新感染此病毒的人数最多？并求 这一天的新感染人数． 20．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn}，其中 An(n，an)、Bn(n， bn)、Cn(n－1,0)满足：向量 AnAn＋1 与共线，且点列{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上，a1＝a，b1＝－a. (1)试用 a 与 n 表示 an(n≥2)； (2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值，试求 a 的取值范围． 21.(本小题满分 12 分)已知数列{an}，a1＝1，an＝λan－1＋λ－2(n≥2)． (1)当λ为何值时，数列{an}可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式； (2)若λ＝3，令 bn＝an＋1 2 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 22．(本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差 中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝anlog1 2 an，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，对任意正整数 n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0 恒成立，试求 m 的 取值范围． 答案： 一、选择题 1．D 2．A 由题意得 an－an－1－6＝0，即 an－an－1＝6，得数列{an}是等差数列，且首项 a1＝3，公差 d＝6， 而 a3－a5＋a7＝a7－2d＝a5＝a1＋4d＝3＋4×6＝27. 3．C 由 S1，S2，S4 成等比数列， ∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)． ∵d≠0，∴d＝2a1. ∴a2 a1 ＝a1＋d a1 ＝3a1 a1 ＝3. 4．D 由条件可得 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝2n(n－1)－2(n－1)(n－2)＝4(n－1)， 当 n＝1 时，a1＝S1＝0， 代入适合，故 an＝4(n－1)， 故数列{an}表示公差为 4 的等差数列． 5．C 设每一秒钟通过的路程依次为 a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项 a1＝2，公差 d＝2 的等 差数列，由求和公式有 na1＋nn－1d 2 ＝240， 即 2n＋n(n－1)＝240， 解得 n＝15，故选 C. 6．C 数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n－c，且 c＝1，则 an＝2×3n－1(n≥1)，从而可知 c＝1 是数列{an}为 等比数列的充要条件，故选 C 项． 7．B 因为 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项， 则 a2k＝a1a2k，[9d＋(k－1)d]2＝9d·[9d＋(2k－1)d]， 又 d≠0，则 k2－2k－8＝0，k＝4 或 k＝－2(舍去)． 8．B 由条件可得：a1＝－2， a2＝－1 3 ，a3＝1 2 ， a4＝3，a5＝－2，…， 即{an}是以 4 为周期的周期数列， 所以 a2 010＝a2＝－1 3 ，故选 B. 9．D 结合选项，对于函数 f(x)＝ 3 4 x 上的点列{xn，yn}，有 yn＝ 3 4 xn.由于{xn}是等差数列，所以 xn＋1 －xn＝d，因此yn＋1 yn ＝ 3 4 xn＋1 3 4 xn ＝ 3 4 xn＋1－xn＝ 3 4 d，这是一个与 n 无关的常数，故{yn}是等比数列． 10．C 由函数 f(n)＝1＋ 2 2n－7(n∈N*)的单调性知，a1＞a2＞a3，且 a4＞a5＞a6＞…＞0，又 a1＝3 5 ，a2 ＝1 3 ，a3＝－1，a4＝3，故 a3 为最小项，a4 为最大项，x＋y 的值为 7. 11．C ∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值， ∴a1＞0，且 d＜0，由a11 a10 ＜－1 得 a10＞0，a11＜－a10， 即 a10＋a11＜0， ∴S20＝10(a1＋a20)＜0， S19＝19a10＞0， 又由题意知当 n≥11 时， an＜0， ∴n≥11 时，Sn 递减，故 S19 是最小的正数． 12．C 由题意可知， lga3＝b3，lga6＝b6. 又∵b3＝18，b6＝12，则 a1q2＝1018，a1q5＝1012， ∴q3＝10－6. 即 q＝10－2，∴a1＝1022. 又∵{an}为正项等比数列， ∴{bn}为等差数列， 且 d＝－2，b1＝22. 故 bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24. ∴Sn＝22n＋nn－1 2 ×(－2) ＝－n2＋23n＝－ n－23 2 2＋529 4 .又∵n∈N*，故 n＝11 或 12 时，(Sn)max＝132. 二、填空题 13．【解析】 设等比数列的公比为 q，则由 S6＝4S3 知 q≠1， ∴S6＝1－q6 1－q ＝41－q3 1－q . ∴q3＝3.∴a1q3＝3. 【答案】 3 14．【解析】 |a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153. 【答案】 153 15．【解析】 因为数列{1 xn }为“调和数列”，所以 xn＋1－xn＝d(n∈N*，d 为常数)，即数列{xn}为等差 数列，由 x1＋x2＋…＋x20＝200 得20x1＋x20 2 ＝20x3＋x18 2 ＝200，即 x3＋x18＝20，易知 x3、x18 都为正数时， x3x18 取得最大值，所以 x3x18≤(x3＋x18 2 )2＝100，即 x3x18 的最大值为 100. 【答案】 100 16．【解析】 解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件 S6＞S7⇒S6＞S6＋a7⇒a7＜0 S7＞S5⇒S5＋a6＋a7＞S5⇒a6＋a7＞0， S6＞S5⇒S5＋a6＞S5⇒a6＞0 即 a6＞0，a7＜0，a6＋a7＞0， 因此 d＜0，①正确； S11＝11a6＞0②正确； S12＝12a1＋a12 2 ＝12a6＋a7 2 ＞0，故③错误； S13＝12a1＋a13 2 ＝12a7＜0， 故④错误， 故真命题的序号是①②. 【答案】 ①② 三、解答题 17．【解析】 (1)设数列{an}的公差为 d，由题意得 a＋d＝9 a1＋4d＝21， 解得 a1＝5，d＝4， ∴{an}的通项公式为 an＝4n＋1. (2)由 an＝4n＋1 得 bn＝24n＋1， ∴{bn}是首项为 b1＝25，公比 q＝24 的等比数列． ∴Sn＝2524n－1 24－1 ＝32×24n－1 15 . 18．【解析】 (1)证明：∵an＋1 ＝Sn＋1－Sn ＝1 8(an＋1＋2)2－1 8(an＋2)2， ∴8an＋1＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2， ∴(an＋1－2)2－(an＋2)2＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0. ∵an∈N*，∴an＋1＋an≠0， ∴an＋1－an－4＝0. 即 an＋1－an＝4，∴数列{an}是等差数列． (2)由(1)知 a1＝S1＝1 8(a1＋2)，解得 a1＝2.∴an＝4n－2， bn＝1 2an－30＝2n－31， 由 2n－31≤0 2n＋1－31≥0 得 29 2 ≤n＜31 2 .∵n∈N*，∴n＝15， ∴{an}前 15 项为负值，以后各项均 为正值． ∴S5 最小．又 b1＝－29， ∴S15＝15－29＋2×15－31 2 ＝－225 19．【解析】 设第 n 天新感染人数最多，则从第 n＋1 天起该市医疗部门采取措施，于是，前 n 天流 感病毒新感染者的人数，构成一个首项为 20，公差为 50 的等差数列，其前 n 项和 Sn＝20n＋nn－1 2 ×50 ＝25n2－5n(1≤n＜30，n∈N)，而后 30－n 天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为 20＋(n－1)× 50－30＝50n－60，公差为－30，项数为 30－n 的等差数列，其前 30－n 项的和 T30－n＝(30－n)(50n－60) ＋30－n29－n 2 ×(－30)＝－65n2＋2 445n－14 850，依题设构建方程有，Sn＋T30－n＝8 670，∴25n2－5n ＋(－65n2＋2 445n－14 850)＝8 670，化简得 n2－61n＋588＝0，∴n＝12 或 n＝49(舍去)，第 12 天的新感 染人数为 20＋(12－1)·50＝570 人．故 11 月 12 日，该市新感染此病毒的人数最多，新感染人数为 570 人． 20．【解析】 (1)AnAn＋1 ＝(1，an＋1－an)， ＝(－1，－bn)． 因为向量 AnAn＋1 与向量共线， 则an＋1－an －bn ＝ 1 －1 ， 即 an＋1－an＝bn. 又{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上， 有bn＋1－bn n＋1－n ＝6， 即 bn＋1－bn＝6. 所以 bn＝－a＋6(n－1)， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1 ＝a＋3(n－1)(n－2)－a(n－1) ＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(n≥2)． (2)二次函数 f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a 的图象是开口向上，对称轴为 x＝a＋9 6 拋物线． 又∵在 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值，故对称轴 x＝a＋9 6 在 11 2 ，15 2 内， 即11 2 ＜a＋9 6 ＜15 2 ， ∴24＜a＜36. 21．【解析】 (1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2， a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2， ∵a1＋a3＝2a2， ∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得 2λ2－5λ＋3＝0， 解得λ＝1 或λ＝3 2. 当λ＝3 2 时， a2＝2×3 2 －2＝1，a1＝a2， 故λ＝3 2 不合题意舍去； 当λ＝1 时，代入 an＝λan－1＋λ－2 可得 an－an－1＝－1， ∴数列{an}构成首项为 a1＝1，公差为－1 的等差数列， ∴an＝－n＋2. (2)由λ＝3 可得，an＝3an－1＋3－2，即 an＝3an－1＋1. ∴an＋1 2 ＝3an－1＋3 2 ， ∴an＋1 2 ＝3 an－1＋1 2 ， 即 bn＝3bn－1(n≥2)，又 b1＝a1＋1 2 ＝3 2 ， ∴数列{bn}构成首项为 b1＝3 2 ，公比为 3 的等比数列， ∴bn＝3 2 ×3n－1＝3n 2 ， ∴Sn＝ 3 2 1－3n 1－3 ＝3 4(3n－1)． 22．【解析】 (1)设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q. 依题意， 有 2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入 a2＋a3＋a4＝28， 得 a3＝8. ∴a2＋a4＝20. ∴ a1q＋a1q3＝20， a3＝a1q2＝8， 解之得 q＝2 a1＝2 ，或 q＝1 2 ， a1＝32. 又{an}单调递增， ∴q＝2，a1＝2，∴an＝2n， (2)bn＝2n·log1 22n＝－n·2n， ∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n① －2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1② ①－②得，Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝21－2n 1－2 －n·2n＋1 ＝2n＋1－2－n·2n＋1 由 Sn＋(n＋m)an＋1＜0， 即 2n＋1－2－n·2n＋1＋n·2n＋1＋m·2n＋1＜0 对任意正整数 n 恒成立， ∴m·2n＋1＜2－2n＋1. 对任意正整数 n， m＜ 1 2n －1 恒成立． ∵ 1 2n －1＞－1，∴m≤－1. 即 m 的取值范围是(－∞，－1]．