2011届高三一轮测试（文）11导数（通用版）

导 数 ——————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题 后直接作答，共 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1．若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0 的值是 ( ) A．1 B．－1 C．±1 D．3 3 2．函数 f(x)＝x3＋3x2＋3x－a 的极值个数是 ( ) A．2 B．1 C．0 D．与 a 值有关 3．曲线 y＝x2－3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为 ( ) A. －3 2 ，9 4 B. 3 2 ，－9 4 C. －3 2 ，－9 4 D. 3 2 ，9 4 4．函数 y＝x3－3x2－9x＋14 的单调区间为 ( ) A．在(－∞，－1)和(－1,3)内单调递增，在(3，＋∞)内单调递减 B．在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,3)和(3，＋∞)内单调递减 C．在(－∞，－1)和(3，＋∞)内单调递增，在(－1,3)内单调递减 D．以上都不对 5．若曲线 C：y＝x3－2ax2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数 a 的值等于 ( ) A．－2 B．0 C．1 D．－1 6．函数 f(x)＝ax2－b 在(－∞，0)内是减函数，则 a、b 应满足 ( ) A．a＜0 且 b＝0 B．a＞0 且 b∈R C．a＜0 且 b≠0 D．a＜0 且 b∈R 7．设 a∈R，函数 f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x 的导函数是 f′(x)，若 f′(x)是偶函数，则曲线 y＝f(x)在原点 处的切线方程为 ( ) A．y＝－3x B．y＝－2x C．y＝3x D．y＝2x 8．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M、N，则 M－N 的值为 ( ) A．2 B．4 C．18 D．20 9．若函数 f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且 f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则在[a，b]上有 ( ) A．f(x)＜g(x) B．f(x)＞g(x) C．f(x)≥g(x) D．f(x)≤g(x) 10．已知函数 f(x)＝1 2x4－2x3＋3m，x∈R，若 f(x)＋9≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A．m≥3 2 B．m＞3 2 C．m≤3 2 D．m＜3 2 11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为( ) A. 3 3 B.10 3 3 C.16 3 3 D.20 3 3 12．已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数，如果函数 f(x)在 R 上的导函数 f′(x)的图象如图，则有以下几 个命题： (1)f(x)的单调递减区间是(－2,0)、(2，＋∞)，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)、(0,2)； (2)f(x)只在 x＝－2 处取得极大值； (3)f(x)在 x＝－2 与 x＝2 处取得极大值； (4)f(x)在 x＝0 处取得极小值． 其中正确命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总 分二 17 18 19 20 21 22 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 13．已知拋物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(1,1)，且在点(2，－1)处的切线的斜率为 1，则 a，b，c 的值分 别为________． 14．若函数 f(x)＝x3－mx2＋2m2－5 的单调递减区间为(－9,0)，则 m＝________. 15．已知实数 a≠0，函数 f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值 32，则实数 a 的值为________． 16．已知点 P(2,2)在曲线 y＝ax3＋bx 上，如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9，则函数 f(x)＝ax3＋bx， x∈ －3 2 ，3 的值域为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)＝1 3x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线 y＝f(x)的所有切线中，有 且仅有一条切线 l 与直线 y＝x 垂直． (1)求 a 的值和切线 l 的方程； (2)设曲线 y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围． 18．(本小题满分 12 分)已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞) 上是减函数，又 f′ 1 2 ＝3 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有 f(x)≤x 成立，求 m 的取值范围． 19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝1 3x3－a＋1 2 x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数 f′(x)的图象过原点． (1)若存在 x＜0，使得 f′(x)＝－9，求 a 的最大值； (2)当 a＞0 时，求函数 f(x)的极值． 20．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1 ＝0，当 x＝2 3 时，y＝f(x)有极值． (1)求 a、b、c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 21．(本小题满分 12 分)设 a 为实常数，函数 f(x)＝－x3＋ax2－4. (1)若函数 y＝f(x)的图象在点 P(1，f(1))处的切线的倾斜角为π 4 ，求函数 f(x)的单调区间； (2)若存在 x0∈(0，＋∞)，使 f(x0)＞0，求 a 的取值范围． 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1(a、b∈R)． (1)若 a＝1，b＝1，求 f(x)的极值和单调区间； (2)已知 x1，x2 为 f(x)的极值点，且|f(x1)－f(x2)|＝2 9|x1－x2|，若当 x∈[－1,1]时，函数 y＝f(x)的图象上任 意一点的切线斜率恒小于 m，求 m 的取值范围． 卷(十一) 一、选择题 1．C 由于 f′(x)|x＝x0＝3x20＝3， ∴x0＝±1. 2．C 因 f′(x)＝3x2＋6x＋3 ＝3(x＋1)2≥0， ∴f(x)为增函数，无极值点． 3．B y′＝2x－3，令 y′＝0. 即 2x－3＝0，得 x＝3 2. 代入曲线方程 y＝x2－3x， 得 y＝－9 4. 4．C y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)， 令 y′＞0 得 x＜－1 或 x＞3， 故增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． 令 y′＜0 得－1＜x＜3， 故减区间为(－1,3)． 5．C k＝y′＝3x2－4ax＋2a. 由题设 3x2－4ax＋2a＞0 恒成立， ∴Δ＝16a2－24a＜0， ∴0＜a＜3 2 ，又 a 为整数， ∴a＝1.故选 C. 6．B f′(x)＝2ax，x＜0 且 f′(x)＜0， ∴a＞0 且 b∈R. 7．A f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)， ∵f′(x)是偶函数， ∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)， 解得 a＝0，那么 k＝f′(0) ＝－3， 切线方程为 y＝－3x.故选 A. 8．D f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0 得 x＝±1. 当 0≤x＜1 时，f′(x)＜0；当 1≤x≤3 时，f′(x)＞0. 则 f(1)最小，又 f(0)＝－a，f(3)＝18－a， 又 f(3)＞f(0)，∴最大值为 f(3)，即 M＝f(3)， N＝f(1)⇒M－N＝f(3)－f(1) ＝(18－a)－(－2－a)＝20. 9．C 设 F(x)＝f(x)－g(x)，则 F(a)＝f(a)－g(a)＝0. F′(x)＝f′(x)－g′(x)＞0， ∴F(x)在给定的区间[a，b]上是增函数． ∴当 x≥a 时，F(x)≥F(a)， 即 f(x)－g(x)≥0，f(x) ≥g(x)． 10．A 因为函数 f(x)＝1 2x4－2x3＋3m，所以 f′(x)＝2x3－6x2.令 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝3，经检验知 x ＝3 是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为 f(3)＝3m－27 2 .不等式 f(x)＋9≥0 恒成立，即 f(x)≥－9 恒 成立，所以 3m－27 2 ≥－9，解得 m≥3 2. 11．D 设圆锥的高为 x， 则底面半径为 202－x2， 其体积为 V＝1 3πx(202－x2)(0＜x＜20)， V′＝1 3π(400－3x2)，令 V′＝0， 解得 x1＝20 3 3 ，x2＝－20 3 3 (舍去)． 当 0＜x＜20 3 3 时，V′＞0； 当20 3 3 ＜x＜20 时，V′＜0； ∴当 x＝20 3 3 时，V 取最大值． 12．C 由图知，当 x＜－2 或 0＜x＜2 时，f′(x)＞0； 当－2＜x＜0 或 x＞2 时，f′(x)＜0，所以(1)、(3)、(4)正确． 二、填空题 13．【解析】 因为 y＝ax2＋bx＋c 分别过点(1,1)和点(2，－1)， 所以 a＋b＋c＝1，① 4a＋2b＋c＝－1，② 又 y′＝2ax＋b， 所以 y′|x＝2＝4a＋b＝1，③ 由①②③可得 a＝3，b＝－11，c＝9. 【答案】 3，－11,9 14．【解析】 f′(x)＝3x2－2mx. 令 f′(x)＜0，则 3x2－2mx＜0， 由题意得，不等式解集为(－9,0)， ∴－9,0 是方程 3x2－2mx＝0 的两个根． ∴－9＋0＝－－2m 3 ， ∴m＝－27 2 . 【答案】 －27 2 15．【解析】 f(x)＝ax3－4ax2＋4ax， 所以 f′(x)＝3ax2－8ax＋4a ＝a(3x－2)(x－2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝2 3 或 x＝2. 因为 f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值 32. 而当 x＝2 时，f(2)＝0， 所以当 x＝2 3 时，f(x)有极大值 32. 即 2 3a 2 3 －2 2＝32，a＝27. 【答案】 27 16．【解析】 依题意，y′＝3ax2＋b， 则 8a＋2b＝2 12a＋b＝9 ，解得 a＝1，b＝－3. 所以 f′(x)＝3x2－3，x∈ －3 2 ，3 ，由 f′(x)＝3x2－3＞0 解得 x＜－1 或 x＞1，所以 f(x)在 －3 2 ，－1 上 单调递增， 在[－1,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， 所以[f(x)]max＝f(3)＝18，[f(x)]min＝f(1)＝－2， 所以 f(x)的值域为[－2,18]． 【答案】 [－2,18] 三、解答题 17．【解析】 (1)由题设知 kl＝－1，所以方程 f′(x)＝x2－4x＋a＝－1 有两个等根，即Δ＝16－4(a＋1) ＝0.解得 a＝3. 此时，由方程 x2－4x＋4＝0，结合已知解得切点为 2，2 3 . 所以切线 l 的方程为 y－2 3 ＝－(x－2)，即 3x＋3y－8＝0. (2)设曲线 y＝f(x)上任一点(x，y)处的切线的斜率为 k(由题意知 k 存在)，则由(1)， 知 k＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1. 由正切函数的单调性，知θ的取值范围为 0，π 2 ∪ 3π 4 ，π . 18．【解析】 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由已知 f′(0)＝f′(1)＝0，即 c＝0， 3a＋2b＋c＝0， 解得 c＝0， b＝－3 2a. ∴f′(x)＝3ax2－3ax， ∴f′ 1 2 ＝3a 4 －3a 2 ＝3 2 ， ∴a＝－2， ∴f(x)＝－2x3＋3x2. (2)令 f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0， ∴x(2x－1)(x－1)≥0， ∴0≤x≤1 2 或 x≥1. 又 f(x)≤x 在区间[0，m]上恒成立， ∴0＜m≤1 2. 19．【解析】 f(x)＝1 3x3－a＋1 2 x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b 由 f′(0)＝0 得 b＝0，f′(x) ＝x(x－a－1)． (1)存在 x＜0，使得 f′(x) ＝x(x－a－1)＝－9， －a－1＝－x－9 x ＝(－x)＋ －9 x ≥2 －x· －9 x ＝6， ∴a≤－7， 当且仅当 x＝－3 时，a＝－7.所以 a 的最大值为－7. (2)当 a＞0 时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0， a＋1) a＋1 (a＋1， ＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 f(x)的极大值 f(0)＝a＞0， f(x)的极小值 f(a＋1) ＝a－1 6(a＋1)3 20．【解析】 (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当 x＝1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a＋b＝0.① 当 x＝2 3 时，y＝f(x)有极值，则 f′ 2 3 ＝0， 可得 4a＋3b＋4＝0.② 由①、②解得 a＝2，b＝－4. 由于 l 上的切点的横坐标为 x＝1， ∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4. ∴c＝5. (2)由(1)可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令 f′(x)＝0，得 x＝－2，或 x＝2 3. x [－3， －2) －2 －2，2 3 2 3 2 3 ，1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝13. 在 x＝2 3 处取得极小值 f 2 3 ＝95 27. 又 f(－3)＝8，f(1)＝4. ∴f(x)在[－3,1]上的最大值为 13，最小值为95 27. 21．【解析】 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax.根据题意 f′(1)＝tanπ 4 ＝1， ∴－3＋2a＝1， 即 a＝2.∴f′(x)＝－3x2＋4x＝－3x x－4 3 . 故 f′(x)＞0，得 x x－4 3 ＜0，即 0＜x＜4 3 ；故 f′(x)＜0，得 x x－4 3 ＞0，即 x＜0 或 x＞4 3. ∴f′(x)的单调递增区间是 0，4 3 ，单调递减区间是(－∞，0)， 4 3 ，＋∞ . (2)f′(x)＝－3x x－2a 3 .①若 a≤0，当 x＞0 时，f′(x)＜0， 从而 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又 f(0)＝－4，则当 x＞0 时，f(x)＜－4.∴当 a≤0 时，不存在 x0＞0， 使 f(x0)＞0. ②当 a＞0，则当 0＜x＜2a 3 时，f′(x)＞0，当 x＞2a 3 时，f′(x)＜0. 从而 f(x)在 0，2a 3 上单调递增，在 2a 3 ，＋∞ 上单调递减．∴当 x∈(0，＋∞)时， f(x)max＝f 2a 3 ＝－8a3 27 ＋4a3 9 －4＝4a3 27 －4.据题意，4a3 27 －4＞0，即 a3＞27，∴a＞3.故 a 的取值范围是(3， ＋∞)． 22．【解析】 (1)f(x)＝－x3－x2＋x＋1，f′(x)＝－3x2－2x＋1 ＝－(3x－1)(x＋1). x (－∞，－1) －1 (－1，1 3) 1 3 (1 3 ，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 减 极小 值 0 增 极大 值32 27 减 f(x)的极大值为32 27 ，极小值为 0. f(x)的单调增区间为 －1，1 3 ，单调减区间为(－∞，－1)， 1 3 ，＋∞ . (2)∵f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1， ∴f′(x)＝－3x2－2ax＋b2，又 x1，x2 为 f(x)的极值点， ∴x1，x2 为方程－3x2－2ax＋b2＝0 的两根， x1＋x2＝－2a 3 ，x1x2＝－b2 3 ， ∵|f(x1)－f(x2)|＝2 9|x1－x2|， ∴|－x31－ax21＋b2x1＋1＋x32＋ax22－b2x2－1|＝2 9|x1－x2|， 整理得|x21＋x1x2＋x22＋a(x1＋x2)－b2|＝2 9 ， 即|4a2 9 ＋b2 3 －2a2 3 －b2|＝2 9 ， ∴a2＋3b2＝1，∴a2≤1. ∵k＝f′(x)＝－3x2－2ax＋b2＝－3x2－2ax＋1－a2 3 ， f′(x)max＝f′ －a 3 ＝1 3 ， ∴m＞1 3.