2011年高考一轮课时训练（理）6.5数列的求和 （通用版）

第五节 数列的求和 题号 1 2 3 4 5 答案 一、选择题 1．数列{an}中，a1＝－60，且 an＋1＝an＋3，则这个数列的前 30 项的绝对值之和为( ) A．495 B．765 C．3105 D．120 2．化简 Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－1＋2n－1 的结果是( ) A．2n－2n＋1 B．2n＋1－n＋2 C．2n＋n－2 D．2n＋1－n－2 3．在项数为 2n＋1 且中间项不为零的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为( ) A.n＋1 n B.n＋1 2n C.2n＋1 n D．1 4．数列{an}的通项公式是 an＝ 1 n＋ n＋1 ，若前 n 项和为 10，则项数 n 为( ) A．11 B．99 C．120 D．121 5．设 Sn 和 Tn 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和，若对任意 n∈N，都有Sn Tn ＝ 7n＋1 4n＋27 ，则数列 {an}的第 11 项与数列{bn}的第 11 项的比是( ) A．4∶3 B．3∶2 C．7∶4 D．78∶71 二、填空题 6．对于每个正整数 n，抛物线 y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1 与 x 轴交于两点 an、Bn，则|a1B1|＋|A2B2|＋… ＋|A2010B2010|的值为______． 7．(2010 年汕头测试)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示．若按照这种规 律依次增加一定数量的宝石，则第 5 件工艺品所用的宝石数为________颗；第 n 件工艺品所用的宝石数为 ________颗(结果用 n 表示)． 8．(2010 年广州一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2 3an－1 3 ，且 1＜Sk＜9，则 a1 的值为：________； k 的值为：________. 三、解答题 9．设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且 a5＝14，a7＝20. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝an·bn，n＝1,2,3，…，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，求证：Tn＜7 2. 10．(2010 年广东卷)已知点 1，1 3 是函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)－c，数列{bn}(bn＞0)的首项为 c，且前 n 项和 Sn 满足 Sn－Sn－1＝ Sn＋ Sn－1(n≥2)． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列{ 1 bnbn＋1 }前 n 项和为 Tn，问 Tn＞1000 2009 的最小正整数 n 是多少？ 参考答案 1．解析：数列{an}是首项 a1＝－60，公差 d＝3 的等差数列， ∴an＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 当 an≤0 时，3n－63≤0⇒1≤n≤21；当 n≥22 时，an＞0. ∴前 30 项的绝对值之和 S30＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＋|a22|＋…＋|a30| ＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋…＋a30＝630＋135＝765. 答案：B 2．解析：由 Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋1×2n－1 ⇒2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋1×2n 相式相减得：Sn＝2＋22＋…＋2n－1＋2n－n＝2(2n－1)－n＝2n＋1－n－2.选 D. 答案：D 3．解析：奇数项之和 S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1 2 ×(n＋1)＝(n＋1)an＋1， 偶数项之和 S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2＋a2n 2 ×n＝nan＋1 ∵中间项不为零，∴an＋1≠0 即S1 S2 ＝n＋1 n .选 A. 答案：A 4．解析：由 an＝ 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n得：a1＝ 2－1， a2＝ 3－ 2，…，an＝ n＋1－ n， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ n＋1－1 令 n＋1－1＝10⇒n＝120.选 C. 答案：C 5．解析：因为an bn ＝ 1 2 a1＋a2n－1 1 2 b1＋b2n－1 ＝ 1 2 a1＋a2n－12n－1 1 2 b1＋b2n－12n－1 ＝S2n－1 T2n－1 ，所以a11 b11 ＝S2×11－1 T2×11－1 ＝S21 T21 ＝ 7×21＋1 4×21＋27 ＝4 3.故 选 A. 答案：A 6．解析：令 y＝0⇒(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0⇒ (nx－1)[(n＋1)x－1]＝0 解得 x1＝1 n ，x2＝ 1 n＋1 ， ∴|AnBn|＝|x1－x2|＝1 n － 1 n＋1 . ∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2010B2010| ＝ 1－1 2 ＋ 1 2 －1 3 ＋…＋ 1 2010 － 1 2011 ＝1－ 1 2011 ＝2010 2011. 答案：2010 2011 7．解析：设第 n 件工艺品所用的宝石数为 an，则 a1＝4×(1＋2)－3×2＝6，a2＝4×(1＋2＋3)－3×3＝15， a3＝4×(1＋2＋3＋4)－3×4＝28， a4＝4×(1＋2＋3＋4＋5)－3×5＝45， a5＝4×(1＋2＋3＋4＋5＋6)－3×6＝66.依此规律， an＝4×[1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)]－3×(n＋1) ＝4×n＋2n＋1 2 －3(n＋1)＝(2n＋1)(n＋1)． 答案：66 2n2＋3n＋1 8．解析：令 n＝1，得 a1＝S1＝2 3a1－1 3 ⇒a1＝－1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1. ∴Sn＝2 3(Sn－Sn－1)－1 3 ⇒Sn＝－2Sn－1－1， ∴Sn＋1 3 ＝－2 Sn－1＋1 3 . ∴Sn＋1 3 ＝－2 3 ×(－2)n－1， ∴Sn＝－1 3 －2 3 ×(－2)n－1＝1 3[(－2)n－1] 由 1＜Sk＜9⇒1＜1 3[(－2)k－1]＜9⇒3＜(－2)k－1＜27， ∴k＝4. 答案：－1 4 9．解析：(1)由 bn＝2－2Sn，令 n＝1，则 b1＝2－2S1，又 S1＝b1，所以 b1＝2 3.b2＝2－2(b1＋b2)，则 b2 ＝2 9. 当 n≥2 时，由 bn＝2－2Sn，可得 bn－bn－1＝－2(Sn－Sn－1)＝－2bn，即 bn bn－1 ＝1 3. 所以{bn}是以 b1＝2 3 为首项，1 3 为公比的等比数列， 于是 bn＝2· 1 3n. 当 n＝1 时，b1＝2 3 也适合上式，∴bn＝2· 1 3n(n∈N*) (2)证明：数列{an}为等差数列，公差 d＝1 2(a7－a5)＝3，a1＝2，可得 an＝3n－1. 从而 cn＝an·bn＝2(3n－1)· 1 3n. ∴Tn＝2 2 3 ＋ 5 32 ＋ 8 33 ＋…＋3n－1 3n ， 1 3Tn＝2 2 32 ＋ 5 33 ＋…＋3n－4 3n ＋3n－1 3n＋1 ， ∴2 3Tn＝2 3·1 3 ＋3· 1 32 ＋3· 1 33 ＋…＋3· 1 3n －1 3 －(3n－1)· 1 3n＋1 . 从而 Tn＝7 2 －7 2· 1 3n － n 3n－1 ＜7 2. 10．解析：(1)∵f(1)＝a＝1 3 ，∴f(x)＝ 1 3 x， a1＝f(1)－c＝1 3 －c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－2 9 ， a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－ 2 27. 又数列{an}成等比数列，a1＝a22 a3 ＝ 4 81 － 2 27 ＝－2 3 ＝1 3 －c， 所以 c＝1；又公比 q＝a2 a1 ＝1 3 ， 所以 an＝－2 3 1 3 n－1＝－2 1 3 n(n∈N*)； ∵Sn－Sn－1＝( Sn－ Sn－1 Sn＋ Sn－1)＝ Sn＋ Sn－1(n≥2) 又 bn＞0， Sn＞0，∴ Sn－ Sn－1＝1； 数列{ Sn}构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列， Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2， 当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又∵当 n＝1 时，b1＝1 满足上式． ∴bn＝2n－1(n∈N*)； (2)Tn＝ 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋ 1 b3b4 ＋…＋ 1 bnbn＋1 ＝ 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋ 1 5×7 ＋…＋ 1 2n－1×2n＋1 ＝1 2 1－1 3 ＋1 2 1 3 －1 5 ＋1 2 1 5 －1 7 ＋…＋ 1 2 1 2n－1 － 1 2n＋1 ＝1 2 1－ 1 2n＋1 ＝ n 2n＋1 . 由 Tn＝ n 2n＋1 ＞1000 2009 得 n＞1000 9 ， ∴满足 Tn＞1000 2009 的最小正整数为 112.