第三节 对称问题
题号 1 2 3 4 5
答案
一、选择题
1．直线 2x－y＋3＝0 关于定点 M(－1,2)对称的直线方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y＋5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y－5＝0
2．已知直线 l1：x＋my＋5＝0 和直线 l2: x＋ny＋p＝0，则 l1 、l2 关于 y 轴对称的充要条件是( )
A.5
m
＝p
n B．p＝－5
C．m＝－n 且 p＝ －5 D.1
m
＝－1
n
且 p＝－5
3．曲线 y2＝4x 关于直线 x＝2 对称的曲线方程是( )
A．y2＝8－4x B．y2＝4x－8
C．y2＝16－4x D．y2＝4x－16
4．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则圆 C 的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
5．如下图所示，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上，最
后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )
A．2 10 B．6
C．3 3 D．2 5
二、填空题
6．直线 y＝1
2x 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________．
7．点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(－2,7)，则 l 的方程为________．
8．两直线 y＝ 3
3 x 和 x＝1 关于直线 l 对称，直线 l 的方程是________．
三、解答题
9．已知△ABC 的一个顶点 A(－1，－4)，∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y＋1＝0，l2：
x＋y＋1＝0，求边 BC 所在直线的方程．
10.
在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边
分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合如右图所示．将矩形折
叠，使 A 点落在线段 DC 上．
若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程．
参考答案
1．解析：设已知直线 2x－y＋3＝0 上的任一点为 P(x′，y′)，
P(x′，y′)关于点(－1,2)的对称点为 Q(x，y)，
则 x′＝－2－x, y′＝4－y.
代入已知直线的方程，得：2(－2－x)－(4－y)＋3＝0
即 2x－y＋5＝0.故选 B.
答案：B
2．解析：将直线 l1 中的 x→－x，y→y
得－x＋my＋5＝0 即 x－my－5＝0
它与 l2 表示同一条直线，∴－m＝n，且 p＝－5，选 C.
答案：C
3．解析：设曲线 y2＝4x 关于直线 x＝2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P(x，y)，则 P(x，y)关
于直线 x＝2 的对称点为 Q(4－x，y)．因为 Q(4－x，y)在曲线 y2＝4x 上，
所以 y2＝4(4－x)，即 y2＝16－4x.
答案：C
4．解析：要求圆 C 的方程，只需求圆 C 的圆心坐标，圆 C 的半径与已知圆的半径相等．
由点 M(x，y)关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)知，圆心(1,0)关于 y＝－x 的对称点为(0，－1)，
∴圆 C 的方程为：x2＋(y＋1)2＝1.
答案：C
5．解析：设点
P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 M，关于 y 轴的对称点为 N，则线段 MN 的长即为光线所走的路程，易
求得点 N 坐标为(－2,0)，直线 AB 的方程为 x＋y＝4，设点 M 的坐标为 M(m，n)，则
n
m－2
＝1
m＋2
2
＋n＋0
2
＝4
⇒
m－n＝2
m＋n＝6
⇒m＝4，n＝2.∴M 的坐标为(4,2)
由两点间的距离公式得|MN|＝ 40＝2 10，故选 A.
答案：A
6．解析：设所求曲线上任一点坐标为(x，y)，则其关于 x＝1 的对称点为(2－x，y)，代入 y＝1
2x，得 y
＝1
2(2－x)，即 x＋2y－2＝0.
答案：x＋2y－2＝0
7．解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线．
答案：3x－y＋3＝0
8．解析：l 上的点为到两直线 y＝ 3
3 x 与 x＝1 距离相等的点的集合，即 |x－ 3y|
1＋ 32
＝|x－1|，化简得 x
＋ 3y－2＝0 或 3x－ 3y－2＝0.
答案：x＋ 3y－2＝0 或 3x－ 3y－2＝0
9．解析：设点 A(－1，－4)关于直线 y＋1＝0 的对称点为 A′(x1，y1)，则 x1＝－1，y1＝2×(－1)－(－
4)＝2，
即 A′(－1,2)．
在直线 BC 上，再设点 A(－1，－4)关于 l2：x＋y＋1＝0 的对称点为 A″(x2，y2)，则有
y2＋4
x2＋1
×－1＝－1，
x2－1
2
＋y2－4
2
＋1＝0.
解得 x2＝3，
y2＝0，
即 A″(3,0)也在直线 BC 上，由直线方程的两点式得y－2
0－2
＝x＋1
3＋1
，即 x＋2y－3＝0 为边 BC 所在直线的
方程．
10．解析：①当 k＝0 时，此时 A 点与 D 点重合，
折痕所在的直线方程 y＝1
2
，
②当 k≠0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为
G(a,1)，所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，
有 kOG·k＝－1，1
ak＝－1⇒a＝－k，
故 G 点坐标为 G(－k,1)，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M
－k
2
，1
2 ，
折痕所在的直线方程 y－1
2
＝k x＋k
2 ，
即 y＝kx＋k2
2
＋k
2
由①②得折痕所在的直线方程为：
k＝0 时，y＝1
2
；k≠0 时 y＝kx＋k2
2
＋k
2.
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