第四节 圆的方程
题号 1 2 3 4 5
答案
一、选择题
1．以两点 A(－3，－1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
2．(2009 年上海卷)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
3．(2009 年福州模拟)圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 与圆 x2＋y2＝20 关于直线 y＝kx＋b 对称，则 k 与 b 的值分
别等于( )
A．k＝－2，b＝5 B．k＝2，b＝5
C．k＝2，b＝－5 D．k＝－2，b＝－5
4．(2009 年临沂模拟)已知点 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB 是圆 C：x2＋y2－2y
＝0 的两条切线，A、B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
A. 6 B. 21
2
C．2 2 D．2
5．(2009 年上海卷)过圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的圆心，作直线分别交 x、y 正半
轴于点 A、B，△AOB 被圆分成四部分(如右图所示)，若这四部分图形面积满足 SⅠ＋SⅣ
＝SⅡ＋SⅢ，则直线 AB 有( )
A．0 条 B．1 条
C．2 条 D．3 条
二、填空题
6．(2009 年广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线 x＋y＝6 相切的圆的方程是________．
7．(2009 年安徽模拟)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最小距离的
差为________．
8．若两直线y＝x＋2a和y＝2x＋a＋1的交点为P，P在圆x2＋y2＝4的内部，则a的取值范围是________．
三、解答题
9．求过两点 A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线 y＝0 上的圆的标准方程．并判断点 M1(2,3)，M2(2,4)与圆
的位置关系．
10．(2009 年杭州调研)设 O 为坐标原点，曲线 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 上有两点 P、Q，满足关于直线 x
＋my＋4＝0 对称，又满足OP→ ·OQ→ ＝0.
(1)求 m 的值；
(2)求直线 PQ 的方程．
参考答案
1．解析：设 P(x，y)是所求圆上任一点，∵A、B 是直径的端点，
∴PA→·PB→＝0，又PA→＝(－3－x，－1－y)，PB→＝(5－x,5－y)
由PA→·PB→＝0⇒(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0
⇒x2－2x＋y2－4y－20＝0⇒(x－1)2＋(y－2)2＝25.
答案：C
2．解析：设圆上任一点为 Q(s，t)，PQ 的中点为 A(x，y)，则
x＝4＋s
2
y＝－2＋t
2
，解得：s＝2x－4
t＝2y＋2
，
代入圆方程，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
整理得：(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
3 ． 解 析 ： 因 两 圆 相 交 ， 且 两 圆 的 半 径 相 等 ， 故 相 交 弦 所 在 的 直 线 方 程 即 为 对 称 轴 ， 由
x2＋y2＋8x－4y＝0
x2＋y2＝20
⇒8x－4y＋20＝0 即 2x－y＋5＝0，∴k＝2，b＝5.选 B.
答案：B
4．解析：如右图所示
第 4 题图
，
S 四边形 PACB＝2S△APC＝2×1
2
×|PA|×|AC|＝|PA|.
四边形 PACB 的最小面积为 2，即
|PA|min＝2.∴|PC|min＝ 5.
即 5
k2＋1
＝ 5⇒k2＝4.∵k＞0，
∴k＝2.故选 D.
答案：D
5．解析：由已
第 5 题图
知，得：SⅣ－SⅡ＝SⅢ－SⅠ，第Ⅱ、Ⅳ部分的面积是定值，所以，SⅣ－SⅡ为定值，即 SⅢ－SⅠ为定值，当
直线 AB 绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选 B.
答案：B
6．解析：将直线 x＋y＝6 化为 x＋y－6＝0，圆的半径 r＝|2－1－6|
1＋1
＝ 5
2
，所以圆的方程为(x－2)2＋(y
＋1)2＝25
2 .
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝25
2
7．解析：圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 的圆心为(2,2)，半径为 3 2，圆心到直线 x＋y－14＝0 的距离为
|2＋2－14|
2
＝5 2＞3 2.故圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是直径 2R＝6 2.
答案：6 2
8．解析：由 y＝x＋2a，
y＝2x＋a＋1，
得 P(a－1,3a－1)．
∴(a－1)2＋(3a－1)2
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