2011年高考一轮课时训练（理）10.1椭圆 （通用版）

第十章 圆锥曲线与方程 第一节 椭圆 题号 1 2 3 4 5 答案 一、选择题 1．(2009 年全国卷)已知椭圆 C：x2 2 ＋y2＝1 的右焦点为 F，右准线 l，点 A∈l，线段 AF 交 C 于点 B. 若FA→＝3FB→，则|AF→|＝( ) A. 2 B．2 C. 3 D．3 2．直线 l：y＝kx＋1(k≠0)，椭圆 E：x2 m ＋y2 4 ＝1.若直线 l 被椭圆 E 所截弦长为 d，则下列直线中被椭圆 E 所截弦长不是 d 的直线是( ) A．kx＋y＋1＝0 B．kx－y－1＝0 C．kx＋y－1＝0 D．kx＋y＝0 3．在椭圆上一点 A 看两焦点 F1、F2 的视角为直角，设 AF1 的延长线交椭圆于点 B，又|AB|＝|AF2|，则 椭圆的离心率 e 可能为( ) A．2－2 2 B. 6－ 3 C. 2－1 D. 3－ 2 4．B1、B2 是椭圆短轴的两个端点，O 为椭圆的中心，过左焦点 F1 作长轴的垂线交椭圆于 P，若|F1B2| 是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则|PF1| |OB2| 的值是( ) A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 3 5.(2009 年湖北卷)如右图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月 球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行， 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终 卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 2c1 和 2c2 分 别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长， 给出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2 ②a1－c1＝a2－c2 ③c1a2>a1c2 ④c1 a1 ＜c2 a2 . 其中正确式子的序号是( ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 二、填空题 6．(2009 年上海卷)已知 F1、F2是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF1 → ⊥PF2 → . 若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________. 7．如果方程 x2＋ky2＝2 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是__________． 8．如果椭圆x2 36 ＋y2 9 ＝1 上的弦被点 A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是____________． 三、解答题 9．(2009 年广东卷)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 2 ，两个焦点分别为 F1 和 F2，椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点 Ak. (1)求椭圆 G 的方程； (2)求△AkF1F2 的面积； (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G？请说明理由． 10．(2009 年江西卷)如右图所示，已知圆 G：(x－2)2＋y2＝r2 是椭 圆x2 16 ＋y2＝1 的内接△ABC 的内切圆，其中 A 为椭圆的左顶点． (1)求圆 G 的半径 r； (2)过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E、F 两点， 证明：直线 EF 与圆 G 相切． 参考答案 1．解析：过点 B 作 BM⊥l 于 M，设右准线 l 交 x 轴于点 N，易知 FN＝1，由题意FA→＝3FB→，故|BM| ＝2 3.又由椭圆的第二定义，得|BF|＝ 2 2 ·2 3 ＝ 2 3 ，∴|AF|＝ 2. 答案：A 2．解析：因为 A、B、C 三个选项分别是直线 l 关于 x 轴、原点、y 轴的对称直线，又椭圆 E 关于 x 轴、原点、y 轴都对称，所以 A、B、C 三个选项所表示的直线被椭圆 E 所截弦长都是 d.故选 D. 答案：D 3．解析：由题意知|AF1|≠|AF2|. ∴2(|AF1|2＋|AF2|2)＞(|AF1|＋|AF2|)2. ∴2×4c2＞4a2.∴e＝c a ＞ 2 2 ≈0.707.对照备选答案，只有 B 可能． 答案：B 4．解析：依题意 2bc＝a2＝b2＋c2，∴b＝c＝ 2 2 a， 设 P(x0，y0)，则 x0＝－c，|y0|＝|PF1|. ∵－c2 a2 ＋y20 b2 ＝1，∴y20 b2 ＝1－c2 a2 ＝b2 a2 ＝1 2 ， ∴|PF1| |OB2| ＝ 2 2 . 答案：B 5．解析：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选 B. 答案：B 6．解析：依题意，有 |PF1|＋|PF2|＝2a |PF1|·|PF2|＝18 |PF1|2＋|PF2|2＝4c2 ，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝3. 答案：3 7．解析：椭圆方程化为x2 2 ＋y2 2 k ＝1.焦点在 y 轴上，则 2 k>2，即 k＜1.又 k>0，∴0＜k＜1. 答案：0＜k＜1 8．x＋2y－8＝0 9．解析：(1)设椭圆 G 的方程为：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)半焦距为 c， 则 2a＝12 c a ＝ 3 2 ，解得 a＝6 c＝3 3 ，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9， 所求椭圆 G 的方程为：x2 36 ＋y2 9 ＝1. (2)点 Ak 的坐标为(－k,2) S△AkF1F2＝1 2 ×F1F2×2＝1 2 ×6 3×2＝6 3. (3)若 k≥0，由 62＋02＋12k－0－21＝15＋12k＞0 可知点(6,0)在圆 Ck 外， 若 k＜0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k＞0 可知点(－6,0)在圆 Ck 外； ∴不论 k 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G. 10．解析：(1)设 B(2＋r，y0)，过圆心 G 作 GD⊥AB 于 D，BC 交长轴于 H 由GD AD ＝HB AH 得 r 36－r2 ＝ y0 6＋r ， 即 y0＝r 6＋r 6－r ① 而点 B(2＋r，y0)在椭圆上， y20＝1－2＋r2 16 ＝12－4r－r2 16 ＝－r－2r＋6 16 ② 由①②式得 15r2＋8r－12＝0，解得 r＝2 3 或 r＝－6 5(舍去)． (2)设过点 M(0,1)与圆(x－2)2＋y2＝4 9 相切的直线方程为：y－1＝kx③ 则2 3 ＝|2k＋1| 1＋k2 ，即 32k2＋36k＋5＝0④ 解得 k1＝－9＋ 41 16 ，k2＝－9－ 41 16 将③代入x2 16 ＋y2＝1 得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为 x＝－ 32k 16k2＋1 ， 设 F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)， 则 x1＝－ 32k1 16k21＋1 ，x2＝－ 32k2 16k22＋1 则直线 FE 的斜率为：kEF＝k2x2－k1x1 x2－x1 ＝ k1＋k2 1－16k1k2 ＝3 4 于是直线 FE 的方程为： y＋ 32k21 16k21＋1 －1＝3 4 x＋ 32k1 16k21＋1 ， 即 y＝3 4x－7 3 ， 则圆心(2,0)到直线 FE 的距离 d＝ |3 2 －7 3| 1＋ 9 16 ＝2 3 ， 故结论成立．