第三节 组合
一、选择题
1．(2009 年江西卷)50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30
名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为( )
A．50 B．45
C．40 D．35
解析：仅参加了一项活动的学生人数＝50－(30＋25－50)＝45，故选 B.
答案：B
2．(2009 年辽宁卷)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医
生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70 种 B．80 种
C．100 种 D．140 种
解析：直接法：一男两女，有 C15C24＝5×6＝30 种，两男一女，有 C25C14＝10×4＝40 种，共计 70 种．间
接法：任意选取 C59＝84 种，其中都是男医生有 C35＝10 种，都是女医生有 C15＝4 种，于是符合条件的有 84
－10－4＝70 种．
答案：A
3．(2008 年福建卷)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1
名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14 B．24
C．28 D．48
解析：6 人中选 4 人的方案 C46＝15 种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有 14 种．
答案：A
4．将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数
不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10 种 B．20 种
C．36 种 D．52 种
解析：分情况讨论：①1 号盒子中放 1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 C14＝4 种方法；②1 号盒子
中放 2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 C24＝6 种方法；则不同的放球方法有 10 种，选 A.
答案：A
5．(2008 年湖南卷)某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目，
则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45
C．60 D．75
解析：用直接法：C13C15＋C13C25＋C23C15＝15＋30＋15＝60，
或用间接法：C24C26－C23C25＝90－30＝60，故选 C.
答案：C
二、填空题
6．从 0,1,2,3,4,5 中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被 5 整除的三位数共有________
个．(用数字作答)
解析：其中能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5.①末位为 0 的三位数其首次两位从 1～5 的 5 个数中
任取 2 个排列而成方法数为 A25＝20，②末位为 5 的三位数，首位从非 0,5 的 4 个数中选 1 个，有 C 14种挑
法，再挑十位，还有 C 14种挑法，
∴合要求的数有 C14·C14＝16 种．
∴共有 20＋16＝36 个合要求的数．
答案：36
7．(2008 年四川卷)从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参
加，则不同的挑选方法共有________种．
解析：∵从 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C 410种不同挑选方法；从甲、乙之外的 8 个同学
中挑选 4 名参加某项公益活动有 C 48种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共
有 C410－C48＝210－70＝140 种不同挑选方法．
答案：140
8．某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有
________种．(以数字作答)
解析：所有的选法数为 C47，两门都选的方法为 C22C25.
故共有选法数为 C47－C22C25＝35－10＝25.
答案：25
三、解答题
9．有 5 个男生和 3 个女生，从中选取 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法
数：
(1)有女生但人数必须少于男生．
(2)某女生一定要担任语文科代表．
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
解析：(1)先取后排，先取有 C35C23＋C45C 13种，后排有 A 55种，共有(C35C23＋C45C13)A55＝5400 种．
(2)除去该女生后先取后排：C47A44＝840 种．
(3)先取后排，但先安排该男生：C47C14A44＝3360 种．
(4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C 36种，再安排该男生有 C 13种，其余 3 人全排有 A 33种，
共 C36C13A33＝360 种．
10．一个口袋里有 4 个不同的红球，6 个不同的白球(球的大小均一样)
(1)从中任取 3 个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？
(2)取得一个红球记为 2 分，一个白球记为 1 分．从口袋中取出五个球，使总分不小于 7 分的不同取法
共有多少种？
解析：(1)任取三球恰好为红球的取法为 C34＝4 种，任取三球恰好为白球的取法为 C36＝20 种，
∴任取三球恰好为同色球的不同的 C34＋C36＝20 种．
(2)设五个球中有 x 个红球，y 的白球，则
x＋y＝5
2x＋y≥7
x，y∈N
∴ x＝2
y＝3
或 x＝3
y＝2
或 x＝4
y＝1
，
∴总分不小于 7 分的不同取法 C24C36＋C34C26＋C44C16＝120＋60＋6＝186 种．
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