高考试题--文数（全国卷2）解析版

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） 数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。 考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填 写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好 条形码。 2． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。 第Ⅰ卷 （选择题 共 50 分） 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在，每小题给出的四个选项中， 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P(A)+P(B) S=4πR2 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A-B）=P(A)-P(B) 一、选择题 （A） 1,4 （B） 1,5 （C） 2,4 （D） 2,5 【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ {1,3,5}A B  ，∴ ( ) {2,4}UC A B  故选 C . （2）不等式 3 2 x x   ＜0 的解集为 （A） 2 3x x   （B） 2x x   （C） 2 3x x x  或 （D） 3x x  【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ∵ 3 02 x x   ，∴ 2 3x   ，故选 A （3）已知 2sin 3   ，则 cos( 2 )x   （A） 5 3  （B） 1 9  （C） 1 9 （D） 5 3 【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴ 2 1cos( 2 ) cos2 (1 2sin ) 9            （4）函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A）y= 1xe  -1(x>0) (B) y= 1xe  +1(x>0) (C) y= 1xe  -1(x R) (D）y= 1xe  +1 (x R) 【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数 Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴ 1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e        (5)若变量 x,y 满足约束条件 1 3 2 5 x y x x y        则 z=2x+y 的最大值为 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 ∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y x 与3 2 5x y  的交点为最优解点， ∴即为（1，1），当 1, 1x y  时 max 3z  (6)如果等差数列 na 中， 3a + 4a + 5a =12，那么 1a + 2a +•••…+ 7a = （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析】C：本题考查了数列的基础知识。 ∵ 3 4 5 12a a a   ，∴ 4 4a  1 2 7 1 7 4 1 7 ( ) 7 282a a a a a a         （7）若曲线 2y x ax b   在点 (0, )b 处的切线方程是 1 0x y   ，则 （A） 1, 1a b  (B) 1, 1a b   (C) 1, 1a b   (D) 1, 1a b    【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵ 02 xy x a a    ，∴ 1a  ， (0, )b 在切线 1 0x y   ，∴ 1b  （8）已知三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面 ABC ， SA =3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （A） 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，∵正三角形 ABC，∴ E 为 BC 中点，∵ BC⊥AE，SA ⊥BC，∴ BC⊥面 SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面 SBC，∵∠ ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 3，∴ 3AE  ， AS=3，∴ SE= 2 3 ，AF= 3 2 ，∴ 3sin 4ABF  （9）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张， 其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种 【解析】B：本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信 封有 2 4 6C  ，余下放入最后一个信封，∴共有 2 43 18C  （10）△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若CB  = a , CA  = b , a = 1 ， b = 2, 则CD  = （A） 1 3 a + 2 3 b （B） 2 3 a + 1 3 b （C） 3 5 a + 4 5 b （D） 4 5 a + 3 5 b 【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识 ∵ CD 为 角 平 分 线 ， ∴ 1 2 BD BC AD AC   ， ∵ AB CB CA a b        ， ∴ 2 2 2 3 3 3AD AB a b      ，∴ 2 2 2 1 3 3 3 3CD CA AD b a b a b              （11）与正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【解析】D：本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上， ∴三个圆柱面有无数个交点， A B C S E F （12）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （a>b>0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k>0） 的直线于 C 相交于 A、B 两点，若 3AF FB  。则 k = （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 【解析】B： 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，∵ 3AF FB  ，∴ 1 23y y  ， ∵ 3 2e  ，设 2 , 3a t c t  ，b t ，∴ 2 2 24 4 0x y t   ，直线 AB 方程为 3x sy t  。代入消去 x ， ∴ 2 2 2( 4) 2 3 0s y sty t    ，∴ 2 1 2 1 22 2 2 3 ,4 4 st ty y y ys s       ， 2 2 2 22 2 2 32 , 34 4 st ty ys s        ，解得 2 1 2s  ， 2k  （13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则 cosα=__________ 【解析】 2 5 5  ：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵ 1tan 2    ，∴ 2 5cos 5    (14)(x+1/x)9 的展开式中，x3 的系数是_________ 【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识 ∵ 9 1 9 1( )r r r rT C x x    ，∴ 9 2 3, 3r r   ，∴ 3 9 84C  (15)已知抛物线 C：y2=2px（p>0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=_________ 【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质 设直线 AB： 3 3y x  ，代入 2 2y px 得 23 ( 6 2 ) 3 0x p x     ，又∵ AM MB  ， ∴ 1 22x p  ，解得 2 4 12 0p P   ，解得 2, 6p p   （舍去） （16）已知球O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆， AB 为圆 M 与圆 N 的公共 弦， 4AB  ，若 3OM ON  ，则两圆圆心的距离 MN  。 【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ∵ ON=3，球半径为 4，∴小圆 N 的半径为 7 ，∵小圆 N 中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB，∴ NE= 3 ，同理可得 3ME  ，在直角三角形 ONE 中，∵ NE= 3 ，ON=3，∴ 6EON   ，∴ 3MON   ， ∴ MN=3 三、解答题；本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 10 分） ABC 中，D 为边 BC 上的一点， 33BD  ， 5sin 13B  ， 3cos 5ADC  ，求 AD 。 【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ADC 与 B 的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦，在三角 形 ABD 中，由正弦定理可求得 AD。 （18）（本小题满分 12 分） 已知{ }na 是各项均为正数的等比数列，且 1 2 1 2 1 12( )a a a a    ， 3 4 5 3 4 5 1 1 164( )a a a a a a      （Ⅰ）求{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 21( )n n n b a a   ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT 。 【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于 1a 与 d 的方程求得 1a 与 d ，可求得数列的通项公式。 （2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分 O M N E A B 成两个等比数列分别求和即可求得。 （19）（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=BC， AA 1 =AB，D 为 BB 1 的中点，E 为 AB 1 上 的一点，AE=3 EB 1 （Ⅰ）证明：DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 AB 1 与 CD 的夹角为 45°, 求二面角 A 1 -AC 1 -B 1 的大小 【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识。 （1）要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线，即证明 DE 与它们都垂直，由 AE=3EB1，有 DE 与 BA1 平行，由 A1ABB1 为正方形，可证得，证明 CD 与 DE 垂直，取 AB 中点 F。连结 DF、FC，证 明 DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直。 （2）由条件将异面直线 AB1，CD 所成角找出即为  FDC，设出 AB 连长，求出所有能求出的 边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。 （20）（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T 1 ，T 2 ，T 3 ，T 4 ，电源能通过 T 1 ， T 2 ，T 3 的概率都是 P，电源能通过 T 4 的概率是 0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知 T 1 ，T 2 ，T 3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。 （Ⅰ）求 P； （Ⅱ）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。 【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率， （1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1，T2，T3 至少有一个能通过 电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P。 （2）将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=x 3 -3ax 2 +3x+1。 （Ⅰ）设 a=2，求 f（x）的单调期间； （Ⅱ）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、 极值及函数与方程的知识。 （1）求出函数的导数，由导数大于 0，可求得增区间，由导数小于 0，可求得减区间。 （2）求出函数的导数 ( )f x ，在（2，3）内有极值，即为 ( )f x 在（2，3）内有一个零点， 即可根据 (2) (3) 0f f   ，即可求出 A 的取值范围。 （22）（本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     相交于 B、D 两点，且 BD 的 中点为 M（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|·|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1， 3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 （2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含 A 的代数式表示，即可求得 A，则 A 点坐标可得 （1，0），由于 A 在 X 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得。