北师大版五年级数学下册期末复习要点

北师大版五年级数学下册期末复习要点 一 分数加减法 一、异分母分数的加法 异分母分数的加法的计算法则:先通分,将分母不同的分数化成分母 相同的分数,再按照同分母分数相加的方法进行计算。通分时,一般是用 分母的最小公倍数作公分母。 计算结果能约分的,要约成最简分数。 1 3 + 1 9 = 3 9 + 1 9 = 4 9 1 3 + 1 2 = 2 6 + 3 6 = 5 6二、异分母分数的减法 异分母分数的减法的计算法则:先通分,将分母不同的分数化成分母 相同的分数,再按照同分母分数相减的方法进行计算。计算结果能约分 的,一定要约分。 3 4 - 1 2 = 3 4 - 2 4 = 1 4 3 4 - 1 10 = 15 20 - 2 20 = 13 20 3 10 - 1 6 = 9 30 - 5 30 = 4 30 = 2 15三、分数加减混合运算的运算顺序 分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序 一样: (1)有括号的,要先算括号里面的。 (2)没有括号的,如果只有加减法,要按照从左往右的顺序进行算。 1 3 + 1 9 + 1 2 = 4 9 + 1 2 = 17 18 3 4 - 1 10 + 1 2 = 13 20 + 1 2 = 23 20 4 5 -( 1 2 - 1 3 )= 4 5 - 1 6 = 19 30四、分数加减法的简便算法 1. 分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序 相同,但为了计算简便,几个分数可以一次通分,然后按照顺序依次计算。 3 4 - 1 2 + 1 6 = 9 12 - 6 12 + 2 12 = 3 12 + 2 12 = 5 122. 整数加法的交换律、结合律和连减的性质对分数加法和分数 减法同样适用。 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加, 导学点睛 要注意: 两个分数的分母,如 果大数是小数的倍数,那么大 数就是这两个分数的公分 母。 易错点:认为分子和分子相减 的得数作分子,分母和分母相 减的得数作分母。如 3 4 - 1 2 = 3-1 4-2 = 2 2 =1。 易错点:认为只有加减法的算 式,先算加法,再算减法。如 3 4 - 1 10 + 1 2 = 3 4 - 3 5 = 3 20 。 小窍门:在计算过程中,一般先 把分母相同的分数结合在一 起进行计算。 和不变。 连减的性质:从一个数里连续减去两个数,等于减去这两个数的和。 3 4 + 4 5 + 1 4 = 4 5 +( 3 4 + 1 4 )= 9 52- 3 4 - 1 4 =2-( 3 4 + 1 4 )=2-1=1 五、分数与小数的互化 1. 根据分数与除法的关系,把分数化成小数。 分数的分子相当于除法中的被除数,分数的分数线相当于除法中的 除号,分数的分母相当于除法中的除数,用分子除以分母得出小数。除不 尽时,可按要求保留一定的位数。 4 5 =4÷5=0.8 1 4 =1÷4=0.25 1 6 =1÷6≈0.167 2. 根据小数的意义,可以把小数化成分数。 (1)小数的意义:像 0.1,0.23,0.059,…这样表示十分之几,百分之几,千 分之几……的数,叫作小数。一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之 几,三位小数表示千分之几…… (2)把小数化成分数的方法:原来有几位小数,就在 1 的后面写几个 0 作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。 0.5= 5 10 = 1 2 0.24= 24 100 = 6 25 要注意:正确使用括号,改变运 算的顺序。 要注意:把分数化成小数的方 法:用分子除以分母。不能化 成有限小数的,一般保留三位 小数。 牢记: 1 2 =0.5, 1 4 =0.25, 3 4 =0.75, 1 5 = 0.2, 1 8 =0.125,为以后进一步学 习分数、小数混合运算打下 坚实的基础。 二 长 方 体 (一) 一、长方体的认识 1. 长方体的特征:长方体有 6 个面,8 个顶点,12 条棱。长方体的 6 个 面是长方形(特殊情况下有两个相对的面是正方形),相对的面完全相同。 2. 如下图:相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的 长、宽、高。 二、正方体的认识 1. 正方体的特征:正方体有 6 个面,8 个顶点,12 条棱。正方体的 6 个 面是正方形,6 个面都相等,12 条棱都相等。 2. 如下图:正方体的每一条棱都叫作正方体的棱长。 三、正方体与长方体的关系 如下图:当长方体的长、宽、高都相等时,就是正方体。所以,正方体 可以看成是长、宽、高都相等的长方体。 长方体 正方体 正方体是特殊的长方体。 导学点睛 要注意: 当长方体有两个相对 的面是正方形时,另外 4 个面 是相同的长方形。 牢记:长方体的棱可以分为 3 组,互相平行的棱长度相等。 易错点:误认为有 2 个相对 的面是正方形的长方体就是 正体。 如下图就是有 2 个相对的面是 正方形的长方体。 长方体与正方体的关系图: 四、展开与折叠 长方体的展开图 正方体的展开图: 长方体和正方体的展开图的特点:相对的面完全相同,相邻的棱长 相等。 利用长方体或正方体展开图的特点,把相等的邻边折叠在一起,就可 以折叠成一个长方体或正方体。 五、长方体的表面积 1. 长方体的表面积的意义:长方体 6 个面的面积之和叫作它的表 面积。 2. 长方体的表面积的计算方法: 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 或长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 六、正方体的表面积 1. 正方体的表面积的意义:正方体 6 个面的面积之和叫作它的表 面积。 2. 正方体的表面积的计算方法: 正方体的表面积=棱长×棱长×6 七、露在外面的面 数露在外面的面的方法:逐一观察每一个小正方体,把它们露出来的 面的数量分别数出来,然后相加。 1. n 个小正方体平放一排的规律: 露在外面的面的个数=3n+2 2. n 个小正方体竖放一排的规律: 露在外面的面的个数=4n+1 小窍门:把长方体或正方体展 开后,相对的面是隔开的。 要注意:在用长方体和正方体 的表面积公式解决实际问题 时,要具体问题具体分析,看看 所求物体有几个表面,不要一 味地套公式,导致错误。 例如:①求通风管道的表面 积时,只需求 4 个面的面积。 ②计算玻璃鱼缸的表面积时, 只需求 5 个面的面积。 小提示:在数露在外面的面的 时候,一定要按一定的顺序,做 到不遗漏、不重复。 三 分 数 乘 法 一、分数乘整数 1. 分数乘整数的意义:分数乘整数就是求几个相同加数的和的简便 运算。 1 10 + 1 10 + 1 10 = 1 10 ×3 2. 分数乘整数的计算方法:用分数的分子与整数的乘积作分子,分母 不变。计算结果能约分的要约分。 1 2 ×5= 1 × 5 2 = 5 2 1 9 ×3= 1 × 3 9 = 3 9 = 1 3二、整数乘分数 1. 整数乘分数的意义:整数乘分数就是求这个整数的几分之几是 多少。 6× 1 2 就是求 6 的 1 2 是多少。 2. 整数乘分数的计算方法:用整数与分数的分子的乘积作分子,分母 不变。计算结果能约分的要约分。 5× 3 4 = 5 × 3 4 = 15 46× 1 10 = 6 × 1 10 = 6 10 = 3 5三、分数乘分数 1. 分数乘分数的意义:分数乘分数就是求这个分数的几分之几是 多少。 1 2 × 1 9 就是求 1 2 的 1 9 是多少。 2. 分数乘分数的计算方法:用分子乘分子的积作分子,分母乘分母的 积作分母。计算结果能约分的要约分。 3 5 × 1 2 = 3 × 1 5 × 2 = 3 10 3 5 × 1 9 = 3 × 1 5 × 9 = 3 45 = 1 15四、分数乘法算式中的规律 一个不为零的数乘一个小于 1 的分数,积就比这个数小;一个不为零 的数乘一个大于 1 的分数,积就比这个数大。 3 4 × 4 5 < 3 4 3 4 ×4> 3 4五、倒数 1. 倒数的意义:乘积为 1 的两个数互为倒数。 因为 3 5 × 5 3 =1,所以 3 5 就是 5 3 的倒数, 5 3 就是 3 5 的倒数。 2. 求倒数的方法:求一个分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母 调换位置。 3. 因为 0 不能作除数,所以 0 没有倒数。1 的倒数是 1。 导学点睛 要注意: 分数乘整数的意义与整 数乘法的意义相同,只是这里的 相同加数是一个分数。 易错点:计算结果没有约分。 要注意:能约分的可以先约分再 计算。 要记住:0 乘任何数都等于 0;1 乘 任何数都等于这个数本身。 易错点:结果是 1 的两个数就认 为是互为倒数。 如:0.2+0.8=1,0.2 和 0.8 不是互 为倒数。 四 长 方 体 (二) 一、体积的意义 物体所占空间的大小,是物体的体积。 二、容积的意义 容器所能容纳物体的体积,是容器的容积。 三、体积单位 1. 常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。 2. 棱长为 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米,记作 1 厘米 3( cm3 )。 1 粒花生米约 1 立方厘米。 棱长为 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米,记作 1 分米 3(dm3)。 1 个粉笔盒约 1 立方分米。 棱长为 1 米的正方体,体积是 1 立方米,记作 1 米 3(m3)。 1 个洗衣机包装箱约 1 立方米。 四、容积单位 1. 容器内盛放液体的量一般用升(L)、毫升(mL)作单位。 2. 棱长为 1 dm 的正方体的容积是 1 L。 这个饭盒大约装 1 L 的水。 棱长为 1 cm 的正方体的容积是 1 mL。 1 mL 的水大约有 20 滴。 3. 1 升=1000 毫升 五、长方体的体积 1. 长方体的体积的计算公式:长方体的体积=长×宽×高。 2. 长方体的体积的字母公式:V=abh。 六、正方体的体积 1. 正方体的体积的计算公式:正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长。 2. 正方体的体积的字母公式:V = a × a × a=a3,a3 读作 a 的立方。 导学点睛 易错点:容积就是体积。 体积与容积的区别:1. 意义 不 同;2. 度量方法不同;3. 计量 单位不同。 要注意:要对 1 立方厘米、 1 立方分米、1 立方米建立 起表象的认识,培养自己的 空间感。 要注意:要建立 1 升、1 毫升 的表象。 要注意:计算长方体、正方体 容器的容积也要使用长体、 正方体的体积的计算公式。 只不过数据要从容器的里面 测量。 七、体积单位的换算 1 m3=1000 dm3 1 dm3=1000 cm3 1 L=1000 mL 1 L=1 dm3 1 mL=1 cm3 八、有趣的测量 不规则物体的体积的测量方法:把不规则物体的体积转化成可测量计算 的水的体积,水面上升、下降或溢出的水的体积,就是浸入水中物体的体积。 巧记:两个相邻的体积单位之 间的进率是 1000。 例如:一个杯子里原有 300mL 的水,在杯子中放入了一块石 头后水面上升到 500 mL,水未 溢出,这块石头的体积是多少 立方厘米? 500-300=200(mL) 200 mL=200 cm3 五 分 数 除 法 一、分数除以整数 1. 分数除以整数的意义:分数除以整数就是把这个分数平均分成若干 份,求一份是多少。 1 3 ÷5 也可以表示求 1 3 的 1 5 是多少。 2. 分数除以整数的计算方法:分数除以一个不为零的整数,相当于乘 这个整数的倒数。 1 9 ÷3= 1 9 × 1 3 = 1 27 二、整数除以分数 整数除以分数的计算方法:整数除以一个不为零的数,等于乘这个数的 倒数。 5÷ 3 4 =5× 4 3 = 20 3 三、分数除以分数 分数除以分数的计算方法:分数除以一个不为零的数,等于乘这个数的 倒数。计算结果能约分的要约分。 3 5 ÷ 6 7 = 3 5 × 7 6 = 7 10 四、分数除法算式中的规律 一个不为零的数除以一个小于 1 的分数,商就比这个数大; 一个不为零的数除以一个大于 1 的分数,商就比这个数小。 3 4 ÷ 4 5 > 3 4 3 4 ÷4< 3 4 五、用方程解决问题 用方程解答应用题的步骤: 第一步:弄清题意,确定未知数,并用 x(或 y)表示; 第二步:找出题中的数量之间的等量关系; 第三步:列方程; 第四步:解方程; 第五步:检验; 第六步:写出答语。 用方程解决问题的关键是找到等量关系。 例:小明今年 12 岁,是妈妈年龄的 1 3 ,妈妈今年多少岁? 等量关系式:妈妈今年的年龄× 1 3 =小明今年的年龄 解:设妈妈今年 x 岁。 1 3 x=12 1 3 x÷ 1 3 =12÷ 1 3 x=12×3 x=36 答:妈妈今年 36 岁。 六、打折 打几折就是按原价的十分之几出售。 打八折就是按原价的 8 10 出售。 如:一件上衣原价 200 元,如果打八折出售,现在的售价是多少元? 200× 8 10 =160(元) 答:现在的售价是 160 元。 导学点睛 要注意: 分数除以整数的 意义与整数除法的意义相 同。 易错点:计算结果不约分。 要注意:能约分的可以先约 分再计算。 要记住:0 除以任何不为零 数都等于 0;任何不为零的 数除以 1 都等于这个数 本身。 易错点:在方程的解的后面 写上单位。 易错点:认为打几折就是便 宜十分之几。 六 确 定 位 置 一、根据方向和距离确定位置 根据方向和距离确定物体的位置的方法:先确定一个原点和一个基本 方向,然后从原点画一条射线并使其通过要确定位置的物体所在的点,测量 物体所在的点到原点的距离和射线与基本方向线的夹角,用这个距离和角 度确定物体的位置。 1. 学校在区政府北面 600 m 处。 2. 医院在区政府西面 400 m 处。 3. 商场在区政府东面 800 m 处。 4. 少儿活动中心在区政府南面 600 m 处。 5. 公交站在区政府北偏东 45°方向 800 m 处。 二、用方向和距离描述行走的路线 准确地描述行走路线要做到三看:一看起点,找准观察点;二看方向,向 哪里偏;三看路程,走了多远。 下面是 3 号台风的移动路线图。 3 号台风生成以后,先是向正东方向移动了 300 km,然后改变了方向,向 导学点睛 要注意: 在地图上,看方向 上面是北,下面是南,左面是 西,右面是东。 要注意:描述路线时,一般描 述成南偏什么方向,北偏什 么方向。 南偏东 70°的方向移动了 300 km,接着台风又改变了方向,向北偏东 38° 的方向移动了 200 km,到达了甲市。 三、根据平面图确定图中任意两地的相对位置 根据平面图确定图中任意两地的相对位置要具备两个条件:方向和 距离。 学校在奇思家北偏东 45°方向 400 m 处,也就是奇思家在学校的南偏 西 45°方向 400 m 处。 要知道:根据平面图确定图 中任意两地的相对位置时, 两地的方向是相反的,但是 距离是相等的。 七 用方程解决问题 一、用方程解答应用题的步骤 第一步:弄清题意,确定未知数,并用 x(或 y)等字母表示; 第二步:找出题中的数量之间的等量关系; 第三步:列方程; 第四步:解方程; 第五步:检验; 第六步:写出答语。 果园里有 100 棵梨树,梨树的数量比苹果树的 2 倍少 10 棵。果园里有 多少棵苹果树? 第一步:求果园里有多少棵苹果树,就设果园里有 x 棵苹果树。 第二步:找出题中的数量之间的等量关系。 等量关系式:苹果树的数量×2-10 棵=梨树的数量。 第三步:列方程。 解:设果园里有 x 棵苹果树。 2x-10=100 第四步:解方程。 2x=100+10 x=110÷2 x=55 第五步:检验。 把 x=55 代入原方程, 左边=2×55-10=100 右边=100 左边=右边 所以 x=55 是原方程的解。 第六步:写答语。 答:果园里有 55 棵苹果树。 二、用方程解答和倍问题 例:“爱科学”夏令营共有 160 人,其中男生的人数是女生的 3 倍,男 生、女生各有多少人? 第一步:要求男生、女生各有多少人,设女生有 x 人。 第二步:找出题中的数量之间的等量关系。 等量关系式:女生的人数+男生的人数=160 人。 第三步:列方程。 解:设女生有 x 人,则男生有 3x 人。 x+3x=160 第四步:解方程。 4x=160 导学点睛 巧记:用方程解答应用题的 步骤 1. 设 2. 找(找等量关系) 3. 列(列方程) 4. 解(解方程) 5. 检验 6. 答 要注意:设一份数为 x。 要注意:x=40 后面不要写单 位。 要记住:如果问题要求两个 数,写答语时,中间要用逗号 隔开。 列方程解应用题的方法: 综合法:先把应用题中的已 知数(量)和所设的未知数 (量)列成有关的代数式,再 找出它们之间的等量关系, 进而列出方程。这是从部 分到整体的一种思维过程, 其思考方向是从已知到未 知。 x=40 3x=3×40=120 第五步:检验。 把 x=40 代入原方程, 左边=40+3×40=40+120=160 右边=160 左边=右边 所以 x=40 是原方程的解。 第六步:写答语。 答:男生有 120 人,女生有 40 人。 三、用方程解答差倍问题 例:“爱科学”夏令营的男生比女生多 80 人,其中男生的人数是女生 的 3 倍,男生、女生各有多少人? 第一步:要求男生、女生各有多少人,设女生有 x 人。 第二步:找出题中的数量之间的等量关系。 等量关系式:男生的人数-女生的人数=80 人 第三步:列方程。 解:设女生有 x 人,则男生有 3x 人。 3x-x=80 第四步:解方程。 2x=80 x=40 3x=3×40=120 第五步:检验,可以进行口头检验。 第六步:写答语。 答:男生有 120 人,女生有 40 人。 四、用方程解答相遇问题 例:甲、乙两地相距 300 km,货车每时行驶 30 km,客车每时行驶 45 km,几时后相遇? 第一步:要求几时后相遇,设 x 时后相遇。 第二步:找出题中的数量之间的等量关系。 等量关系式:(货车的速度+客车的速度)×时间=距离 第三步:列方程。 解:设 x 时相遇。 (30+45)x=300 第四步:解方程。 75x=300 x=4 第五步:检验,可以进行口头检验。 第六步:写答语。 答:4 时后相遇。 分析法:先找出等量关系,再 根据具体建立等量关系的 需要,把应用题中的已知数 (量)和所设的未知数(量)列 成有关的代数式进而列出 方程。这是从整体到部分 的一种思维过程,其思考方 向是从未知到已知。 数 学 好 玩 一、“象征性”长跑 1. 明确活动任务。 2. 设计方案。 3. 动手实验。 4. 交流反思。 如:为增强同学们的体质,学校拟举行五年级学生“跑向北京”的象征 性长跑活动。 1. 活动任务:设计一个从学校“跑向北京”的象征性长跑活动方案。 2. 设计方案。 (1)调查学校所在城市到北京的距离大约有多少千米。(象征性长跑的 总路程) (2)调查学校所在城市到北京途经的主要城市和城市之间的路程。 (3)确定每人每天跑的路程,如果全班用接力方式跑完全程,怎样设计活 动方案? 3. 动手实验。 4. 交流反思。 (1)在设计方案中,一般需要考虑哪些问题? (2)我们收集和记录了哪些数据?是用什么方法得到这些数据的? (3)在活动中用到了哪些数学知识和方法?我们对这些知识和方法有了 哪些新的认识? (4)整个活动中,我们得到了什么有益的启示?遇到了哪些困难?是如何 解决的? 二、有趣的折叠 平面图 立体图 平面展开图通过折叠得到一个简单立体图形的方法: 测量——计算——虚线——折叠 导学点睛 要注意:长跑活动需要确定 一个主题。 要注意:活动开始前向大家 征集活动主题,确定一个最 受欢迎的长跑活动主题。 要注意:对身体确有不适的 学生可以免跑。当出现雾 霾等恶劣天气条件时必须 及时停止长跑活动,保证学 生的身体健康。 要注意:把平面图折叠成立 体图时,要沿着虚线,把相邻 的等边折叠在一起。 三、包装的学问 两盒糖果包成一包,有三种不同的方案,如下图。(单位:cm) ① ② ③ ①用包装纸: 20×15×2+20×(5+5)×2+15×(5+5)×2 =600+400+300 =1300(cm2) ②用包装纸: (15+15)×20×2+20×5×2+(15+15)×5×2 =1200+200+300 =1700(cm2) ③用包装纸: (20+20)×15×2+15×5×2+(20+20)×5×2 =1200+150+400 =1750(cm2) 要牢记:要节约包装纸就要 使包装后的表面积最小。 八 数据的表示和分析 一、复式条形统计图 1. 复式条形统计图的意义。 用不同颜色的直条表示两种或两种以上的数量的条形统计图,叫作复 式条形统计图。如下图: 第一活动小组同学的投球情况统计图 2. 一幅完整的复式条形统计图都有哪些部分。 标题、单位、横轴(项目)、纵轴(数量)、单位的大小、图例、不同的 直条。 3. 复式条形统计图的优点。 用直条的长短表示数量的大小,能很直观地看出各种数量的多少。 4. 如何绘制复式条形统计图。 (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线,作为纵轴和横轴。 (2)在横轴上适当分配条形的位置,确定直条的宽度和间隔。 (3)在纵轴上确定单位长度,并标出数量的标记和计量单位。 (4)根据数据的大小,画出长短不同的直条。 (5)写出标题、图例和制图日期。 5. 根据复式条形统计图回答问题。 从上面的复式条形统计图中你知道投球距离最近是多少米?最远是多 少米?在大多数情况下,哪种情形投球距离远一些? 从上面的复式条形统计图中可以知道投球距离最近是 9 米,最远是 13 米。在大多数情况下,单手投球距离远一些。 二、复式折线统计图 1. 复式折线统计图的意义。 在一幅统计图中表示两组不同数量的折线统计图,数学上我们把它叫 作复式折线统计图。如下图: 导学点睛 要注意:复式条形统计图和 单式条形统计图相比的优 点,便于比较多个项目的 数据。 要注意:图例和直条要一 致。 要注意:复式条形统计图和 单式条形统计图相比的优 点,便于比较分析。 要注意:图例和折线要一 致。 2012 年“国庆”小长假期间北京市最高和最低气温统计图 2. 一幅完整的复式折线统计图包括: 标题、单位、横轴(项目)、纵轴(数量)、单位的大小、图例、不同的 折线。 3. 复式折线统计图的优点。 不仅可以表示数量的多少,还能反映数量的增减变化情况。 4.折线统计图的绘制方法。 (1)整理数据。 (2)画出纵轴和横轴,用一个单位长度表示一定的数量。 (3)根据数据的大小描出各点,再把各点用线段顺次连接起来。 (4)写出统计图的名称和制图时间,并标出图例。 三、平均数的再认识 1. 平均数的意义。 一组数据中所有数据之和除以数据的个数。它是反映数据集中趋势 的一项指标,具有代表性。 2. 求平均数的方法。 总数量÷总份数=平均数。 要注意:平均数只是这组数 的平均水平,它易受极大数 和极小数的影响。