北师大版 数学 五年级 下册
“象征性”长跑
情境导入 活动探究
课外活动
数学好玩
拓展延伸
学校组织五年级学生开展“跑向北京”的象征性长跑活动，学校向
同学生征集活动方案，请你一起来参与。
情境导入
设计一个从学校“跑向北京”的象征性长跑活动方案。
活动探究
1.要设计长跑活动方案，需要解决哪些问题？
调查学校所在城市到北京的距离大约有多少千米？
调查学校所在城
市到北京途径的
主要城市和城市
之间的路程。
确定每人每天跑的
路程，如果全班用接
力方式跑完全程，怎
样设计活动方案?
向大家征集活
动主题，确定
一个最受欢迎
的。
2.设计记录表，将需要收集的数据记录下来。
路线
第1站
第2站
起点与终点全班每天跑
的路程/km 人员安排 时间安排
3.小组内如何分工？说说每
个人的分工是什么。
1.分组收集数据，根据数据设计象征性长跑的方案，
并填写下表。
路线 起点与终点 全班每天跑
的路程/km 人员安排 时间安排
第1站
第2站
……
2.全班交流各组的活动方案。想一想，一个
好的方案需要符合哪些条件？
3.制定全班的“象征性长跑活动方案”，并
写在下面。
在设计方案中，一般需要考虑哪些问题？
我们收集和记录
了哪些数据？是
用什么方法得到
这些数据的？
在活动中用到了哪
些数学知识和方法？我
们对这些知识和方法有
了哪些新的认识？
整个活动中，我们得到了什么有益的启示？遇到了哪些困难？是如何解决的？
假如学校再组织五年级学生从北京开展“跑向学校”的象
征性长跑活动，活动方案一样吗？
拓展延伸
设计一个从家“跑向健
康”的象征性长跑活动
方案！
课外活动课外活动
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有趣的折叠
情境导入 活动探究
课外活动
数学好玩
拓展延伸
将下图按虚线折叠成一个封闭的立体图形。
想一想，它的形状像什么？（单位：cm）
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情境导入
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
我们先复习一下能折成
立体图形的几类图形。活动探究
规律1：1 4 1、一可任意移
蓝
黄
红
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
我们先复习一下能折成立
体图形的几类图形。
规律2：2 3 1一可移
蓝
黄
红
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
我们先复习一下能折成立
体图形的几类图形。
规律3：（222、33）一不离
蓝
黄
红
做一做，沿虚线折叠成一个封闭的立体图形。
仓库模型各边的实际长度是图中相应长度的100倍，
你知道这座仓库的占地面积是多少吗？
（单位：cm）
8×100=800（cm）=8（m）
3×100＝300（cm）=3（m）
8×3＝24（m2）
答：这座仓库的占地面积是24平方米。
将平面展开图上将窗户、烟囱和小鸟的大致
位置标出来。
小
鸟 烟
囱
下面是两个包装盒的平面展开图，这两
个包装盒的形状分别是哪个图形？
① ②
拓展延伸
观察展开图与封闭的立
体图形中的点、线、面
存在的对应关系。
课外活动课外活动
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包装的学问
情境导入 活动探究
课外活动
数学好玩
拓展延伸
包糖果。
两盒糖果包成一包，怎样包才能节约包装纸？（接
口处不计，单位：cm）
20 15
5
20 15
5
情境导入
说一说，你是怎么想的？
要节约包装纸就
要使包装后的表
面积最小。
我要想办法把所
有的包装方法都
找到，计算一下。
活动探究
两盒糖果包成一包，可以怎样包？有几种不
同的方案？
有三种不同
的方案。
你能计算出哪一种方案最节约包装纸吗？
算一算每种
方法的表面
积就可以了。
最
节
约
包
装
纸 5
20
15
（15×20+20×10+15×10）×2=1300
（30×20+20×5+30×5）×2=1700
（15×40+40×5+15×5）×2=1750
你能计算出哪一种方案最节约包装纸？
我一看就知道哪
种方法最节约包
装纸了。你知道
为什么吗？
5
20
15
2个长20宽15的面
2个长20宽5的面
2个长15宽5的面
包磁带。将四盒磁带包成一包。
哪一种方
案最节约
包装纸？
你能想出几种包装方法？可以先画出草图来
表示你的想法，再在小组内进行交流。
方法 草图 长/mm 宽/mm 高/mm 表面积
/mm2
第1种
第2种
第3种
分别算出各种方法所需包装纸的大小。（接
口处不计，单位：mm）
110 70 64
220 70 32
110 140 32
38440
49360
46800
6个大面 4个大面，4个中面
4个大面，4个小面
如图，把这样的三本日记本包起来，最少要
用多少包装纸？（接口处不计，单位：cm）
注意摆放
方法哟！
［8×5+8×（0.5×3）+5×（0.5×3）］×2
=（40+12+7.5）×2
= 59.5×2
= 119（平方厘米）
答：最少要用119平方厘米包装纸。
0.5
5 8
拓展延伸
课后找几个相同的立体图
形，动手操作：看哪种拼
法表面积最小！
课外活动
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整理与复习
整体回顾 知识梳理
课后作业综合运用
整理与复习（1）
体
积
和
容
积
体积和容积的
单位以及进率
体积和容积的定义
体积公式
cm³、dm³、m³
mL、L
V长=abh
V正=a³
V=Sh
整体回顾
1.体积单位之间的进率
1dm
10cm
正方体的体积是1dm³。
每条棱上可以摆10个棱长为1cm的小正方体
。大正方体中可以摆1000个小正方体，即1000cm³
。 所以：1dm³ = 1000cm³
1L 1000mL=
知识梳理
还可以这样进行推导。
1m³是棱长为1m的正方体
1m³=1m × 1m × 1m
=10dm×10dm ×10dm
=1000dm³
所以：1m³=1000dm³
1m
相邻两个体积单位之间的进率是1000。
2.体积公式的推导
用6个棱长为1cm的小正方体拼成一个长方体。
拼法1： 长方体的长宽高是6、1、1。体积是6cm³
拼法2： 长方体的长宽高是2、3、1。体积是6cm³
长方体的体积=长×宽×高
正方体是特殊的长方体，所以正方体体积 = 棱长³。
长方体的体积=长×宽×高
长 宽高
=（长×宽）×高
=底面积×高
正方体的棱长之和是36cm，它的体积是多少？
正方体共有12条棱，每条棱都是一样长的。
36÷12=3（cm）
V = a³
= 3×3×3
= 27（cm³）
答：它的体积是27cm³。
综合运用
用体积是1厘米³的小正方体摆成体积是24
厘米³的长方体，可以一排摆（ ）个，摆
（ ）排，摆（ ）层。
长方体的体积是24cm³，说明一共使用了24个小正
方体。 24cm³=长×宽×高
24 = 4×3×2
4
3 2
同学们，你们还有其他的摆法吗？请和同学们交流。
选择合适的答案。
1.棱长6cm的正方体的表面积和体积比较（ ）。
A、一样大 B、体积大 C、无法比较
2.相邻两个体积单位的进率是（ ）。
A、10 B、100 C、1000
3.a³表示（ ）。
A、a+a+a B、a×3 C、a×a×a
4.一个长方体水箱，求这个水箱能装水多少升，是求它的
（ ）。
A、容积 B、表面积 C、体积
C
C
C
A
填上适当的体积单位。
（1）一个鞋盒约6（ ） （2）一个水杯的容积约500（ ）
（3）一间教室约180（ ） （4）一本字典约600（ ）
dm³ mL
m³ cm³
1.长方体的高一定，底面积越大，体积越大。（ ）
2.两个表面积相等的长方体，它们的体积也一定相等。（ ）
3.冰箱的容积就是冰箱的体积。（ ）
4.正方体的棱长扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的16倍。（ ）
5.体积单位之间的进率都是1000。（ ）
判断下面的说法对吗？
√
×
×
×
×
计算下图立体图形的体积。
V = a³
=1.8³
=5.832（dm³）
V = abh
=15×15×30
=6750（cm³）
把一个棱长为30厘米的正方体钢坯重新锻造
成高5厘米、宽4厘米的长方体钢材，锻造后
的钢材长多少米？
锻造前后的体积是不变的。所以V长方体 = V正方体。
V正方体 = a³
= 30³
=27000（cm³）
a = V长方体÷b÷h
= 27000÷5÷4
= 1350（cm）
= 13.5（m）答：锻造后的钢材长13.5米。
如图，一个长方体的长是12厘米，宽是4厘米、
高是3厘米，把它裁成一个最大的正方体，正
方体的体积是多少？这个长方体可以裁成多
少个这样的正方体？
12 4
3从图中可以判断
正方体的棱长是3
厘米。
V = a³
= 3³
=27（cm³）
长上可以摆4个正方体，所以只能裁成4个正方体。
答：正方体的体积是27cm³，可以裁成4个正方体。
课后作业
1.从教材课后习题中选取
；
2.从课时练中选取。
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整理与复习
整体回顾 知识梳理
课后作业综合运用
整理与复习（2）
在五年级下
册的数学学
习中，我们
已经学习了
的知识包括
分数的加减法
长方体（一）
分数的乘除法
长方体（二）
长方体（一）
长方体（二）
长方体
整体回顾
转化（通分）
分数的加减法
同分母分数的加减法
计算单位相同，直接计算
分母不变，分子相加减
异分母分数的加减法
同分母分数的加减法
计算完成后，都要化成最简分数（约分）
知识梳理
顶点 面 棱
表面积 体积
个数 个
数
形状 大小
关系
条
数
长度
关系
8
8
6
6
长方形
正方形
相对的
面相等
6个面
都相等
12
12
互相平
行的4条
棱相等
12条棱
都相等
S=（ab＋bh＋ah)
×2
S=6a²
V=abh
V=a³
分
数
的
乘
法
整数乘分数
分数乘分数
分母不变，整数和
分子的积做分子
最简分数
分母和分母的积
做分母，分子和
分子的积做分子
在分数的乘法中，我们还学习了倒数的知识，
如果两个数的乘积等于1，这两个数互为倒数。
13
4
4
3 ＝
3
4
4
3 和 互为倒数
177
1 ＝
互为倒数77
1 和
0.25×4=1
0.25和4互为倒数
还学习分数和小数的互化，能口头说一说吗？
1.解方程。
x－ 5
2
4
3＝
解：x= 4
3
5
2
x= 20
15
20
8
x= 20
23
x+ 7
4
3
1＝
解：x= 3
1
7
4
x= 21
7
21
12
x= 21
5
综合运用
2.甲、乙两队合修一条公路，没修的部分占
这条公路的几分之几？
甲队修了 乙队修了
10
3
2
1
1－ -10
3
2
1
= -10
7
2
1
= -10
7
10
5
= 10
2 = 5
1
答：没修的部分占这条公路的 。5
1
3.一个长方体游泳池长30米、宽20米，池深2.5米，
池中水深2米。
（1）池中有多少立方米的水？
（2）如果要粉刷这个游泳池的四周，粉刷面积是多
少平方米？
（3）这个游泳池占地多少平方米？
（1）求体积： 体积 = 30×20×2 = 1200（m³）
（2）求表面积： 表面积 = （30×2.5＋20×2.5）×2
= 125×2=250（m²）
（3）求底面积： 底面积 = 30×20 = 600（m²）
答：池中有1200m³的水，粉刷的面积是250m²，占地面积是600m²。
4.一个长方体玻璃容器，底面是正方形，边
长是2分米，里面装有5.6升水。将一个苹果
完全浸没在水中（水未溢出），这时量得容
器内的水深1.5分米。这个苹果的体积是多少
立方分米？
高1.5分米的水的体积是苹果的体积与原来水的体积之和。
V = abh =2×2×1.5 = 6（dm³）= 6（L）
6 －5.6 = 0.4（L）= 0.4（dm³）
答：苹果的体积是0.4dm³。
5.有一根长12分米，宽和高都是2分米的长方
体木材，把它截成3个完全相等的长方体。它
的体积变化了吗？它的表面积变化了吗？
原体积=12×2×2=48（dm³）
12÷3=4（dm）,
每一个长方体的长都是4dm。
现体积=4×2×2×3 = 48（dm³）
截成3个完全相等的长方体。
答：体积没有变化。
截开之后增加了4个面，
所以表面积增加了。
6.一种长方体的广告灯箱，框架由铝合金条制
成的，各个面由灯箱布围成。长方体的长15分
米、宽10分米、高7分米。制作一个这样的广
告灯箱，至少要铝合金条多少分米？
求需要铝合金条多少分米，就是求它的总
棱长。 L =（a＋b＋h）×4
=（15＋10＋7）×4
= 128（分米）
答：至少需要铝合金条128分米。
7.沙漏是古代的一种计时工具。一种正方体
箱型沙漏的棱长是12dm，已知平均每小时漏
沙72dm³，照这样计算，多少小时漏光一箱沙？
V正方体 = a³
= 12³
=1728（dm³）
1728÷72=24（小时）
答：24小时漏光一箱沙。
8.明明和亮亮一起练大字，明明写了90个，亮
亮比明明少 ，亮亮和明明一共写了多少个大
字？
答：亮亮和明明一共写了160个大字。
9
2
90× = 20（个）
9
2
90－20=70（个）
90+70=160（个）
课后作业
1.从教材课后习题中选取
；
2.从课时练中选取。
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