江苏省2020—2021学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题（word解析版）

1 江苏省 2020—2021 学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设全集 U＝R，集合 A＝[2，4]，B＝ 2log 1x x  ，则集合 A ( Uð B)＝ A． B．{2} C． 0 2x x  D． 2x x  2．“ 2sin 2   ”是“ sin cos  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、王、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、 亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支 在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”， 第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲 戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推，今年是辛 丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立 100 周年，则中国共产党成立的那年是 A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年 4． 5(3 2 )( 1)x x  展开式中 3x 的系数为 A．﹣15 B．﹣10 C．10 D．15 5．函数 2( ) sin ln( 1 )f x x x x   的图像大致是 6．过抛物线 2 2y x 上一点 P 作圆 C： 2 2( 6) 1x y   的切线，切点为 A，B，则当四边形 PACB 的面积最小时，P 点的坐标是 A．(1， 2 ) B．( 3 2 ， 3 ) C．(2，2) D．( 5 2 ， 5 ) 7．若随机变量 X~B(3，p)，Y~N(2， 2 )，若 P(X≥1)＝0.657，P(0＜Y＜2)＝p，则 P(Y＞4) ＝ A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 8．若 3 16 , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x       ，则满足 ( 1) 0xf x   的 x的取值范围是 A．[﹣1，1] [3，  ) B．( ，﹣1] [0，1] [3，  ) C．[﹣1，0] [1，  ) D．( ，﹣3] [﹣1，0] [1，  ) 2 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．函数 ( ) sin(2 ) 4 f x x    ，则 A．函数 ( )y f x 的图象可由函数 sin 2y x 的图象向右平移 4  个单位得到 B．函数 ( )y f x 的图象关于直线 8 x   轴对称 C．函数 ( )y f x 的图象关于点( 8   ，0)中心对称 D．函数 2 ( )y x f x  在(0， 8  )上为增函数 10．已知 O 为坐标系原点，F1，F2 分别为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，则下列结论正确的有 A．若 PO＝PF2，则双曲线的离心率 e≥2 B．若△POF2 是面积为 3 的正三角形，则 2 2 3b  C．若 A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则 F2A2＝F2P D．若射线 F2P 与双曲线的一条渐近线交于点 Q，则 1 2QF QF 2a  11．1982 年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等， 将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学 生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型 修改了有关结论．对于该新几何体，则 A．AF∥CD B．AF⏊DE C．新几何体有 7 个面 D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上 12．已知正数 x，y，z满足 3 4 12x y z  ，则 A． 6 3 4z x y  B． 1 2 1 x y z   C． 4x y z  D． 24xy z 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知向量 a  ＝(1，2)，b  ＝(0，﹣2)，c  ＝(﹣1， )，若( 2a b   )∥ c  ，则实数＝ ． 14．已知复数 z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数 z的陈述如下（i 为虚数单位）： 甲： 2z z  ；乙： 2 3iz z  ；丙： 4z z  ；丁： 2 2 z z z  ． 在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 z＝ ． 15．若 2 3sin 2cos 1x x  ，则 5sin( ) cos(2 ) 6 3 x x     ＝ ． 16．四面体的棱长为 1 或 2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体 3 积 ；这样的不同四面体的个数为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，∠BAC＝90∘，点 D 在边 BC 上，满足 AB＝ 3 BD． （1）若∠BAD＝30°，求∠C； （2）若 CD＝2BD，AD＝4，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分 12 分） 已知等比数列 na 的各项均为整数，公比为 q，且 q ＞1，数列 na 中有连续四项在集 合 M＝{﹣96，﹣24，36，48，192}中． （1）求 q，并写出数列 na 的一个通项公式； （2）设数列 na 的前 n项和为 nS ，证明：数列 nS 中的任意连续三项按适当顺序排列 后，可以成等差数列． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD， AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，PC＝ 2 ，E 为 PD 的中点． （1）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； （2）设 F 是 BE 的中点，判断点 F 是否在平面 PAC 内，并请证明你的结论． 4 20．（本小题满分 12 分） 某地发现 6 名疑似病人中有 1 人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检 测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测： 方案甲：将这 6 名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止； 方案乙：将这 6 名疑似病人随机分成 2 组，每组 3 人．先将其中一组的血清混在一起检 测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能 确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员 为止． （1）求这两种方案检测次数相同的概率； （2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由． 21．（本小题满分 12 分） 已知 O 为坐标系原点，椭圆 C： 2 2 1 4 x y  的右焦点为点 F，右准线为直线 n． （1）过点(4，0)的直线交椭圆 C 于 D，E 两个不同点，且以线段 DE 为直径的圆经过原 点 O，求该直线的方程； （2）已知直线 l上有且只有一个点到 F 的距离与到直线 n的距离之比为 3 2 ，直线 l 与直线 n交于点 N，过 F 作 x轴的垂线，交直线 l于点 M．求证： FM FN 为定值． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 1 lnf x m x  (mR)． （1）当 m＝2 时，一次函数 ( )g x 对任意 x(0， )， ( )f x ≤ ( )g x ≤ 2x 恒成立，求 ( )g x 的表达式； （2）讨论关于 x的方程 2( ) 1( ) f x x f x  解的个数． 5 江苏省 2020—2021 学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设全集 U＝R，集合 A＝[2，4]，B＝ 2log 1x x  ，则集合 A ( Uð B)＝ A． B．{2} C． 0 2x x  D． 2x x  答案：B 解析：∵B＝ 2log 1x x  ＝(2，  )，∴ Uð B＝( ，2]， ∴A ( Uð B)＝{2}，选 B． 2．“ 2sin 2   ”是“ sin cos  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：当“ 2sin 2   ”时，可得“ sin cos   ”；而当“ sin cos  ”时，可得“ sin  2 2  ”，故“ 2sin 2   ”是“ sin cos  ”的既不充分也不必要条件，选 D． 3．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、王、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、 亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支 在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”， 第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲 戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推，今年是辛 丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立 100 周年，则中国共产党成立的那年是 A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年 答案：A 解析：由题意可知，天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，从共 产党成立到 2021 经历 100 年，则共产党成立那年为辛酉年，选 A． 4． 5(3 2 )( 1)x x  展开式中 3x 的系数为 A．﹣15 B．﹣10 C．10 D．15 答案：C 解析： 2 3 5 53 ( 2) 10C C     ，选 C． 5．函数 2( ) sin ln( 1 )f x x x x   的图像大致是 6 答案：A 解析：首先判断出该函数为偶函数，排除 B、D，其次函数过点(0，0)，排除 C，选 A． 6．过抛物线 2 2y x 上一点 P 作圆 C： 2 2( 6) 1x y   的切线，切点为 A，B，则当四边形 PACB 的面积最小时，P 点的坐标是 A．(1， 2 ) B．( 3 2 ， 3 ) C．(2，2) D．( 5 2 ， 5 ) 答案：C 解析：设点 P(x，y)， 2 2 2 2 2 21( ) ( 6) ( ) ( 6) 2 g y PC x y y y       ， 令， 2( ) ( 2)( 2 6) 0g x y y y      ，则当 y＝2 时， min( ) 20g y  ， ∴ ，此时点 P 的坐标为(2，2)，选 C． 7．若随机变量 X~B(3，p)，Y~N(2， 2 )，若 P(X≥1)＝0.657，P(0＜Y＜2)＝p，则 P(Y＞4) ＝ A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 答案：A 解析： 则 选 A 8．若 3 16 , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x       ，则满足 ( 1) 0xf x   的 x的取值范围是 A．[﹣1，1] [3，  ) B．( ，﹣1] [0，1] [3，  ) C．[﹣1，0] [1，  ) D．( ，﹣3] [﹣1，0] [1，  ) 答案：B 解析：不妨求 ( 1) ( ) 0x f x  ， ①当 x＝﹣1 或 0 时显然成立； 故 7 则原不等式的解为( ，﹣1] [0，1] [3，  )，选 B． 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．函数 ( ) sin(2 ) 4 f x x    ，则 A．函数 ( )y f x 的图象可由函数 sin 2y x 的图象向右平移 4  个单位得到 B．函数 ( )y f x 的图象关于直线 8 x   轴对称 C．函数 ( )y f x 的图象关于点( 8   ，0)中心对称 D．函数 2 ( )y x f x  在(0， 8  )上为增函数 答案：BCD 解析：作出 ( )y f x 的图象，如图所示： 显然 A 错误，BC 正确， 显然 ( )f x 在(0， 8  )上递增，又 2( )g x x 在(0， 8  )上递增，故 D 正确； 因此，选 ABD ． 10．已知 O 为坐标系原点，F1，F2 分别为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，则下列结论正确的有 A．若 PO＝PF2，则双曲线的离心率 e≥2 B．若△POF2 是面积为 3 的正三角形，则 2 2 3b  C．若 A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则 F2A2＝F2P D．若射线 F2P 与双曲线的一条渐近线交于点 Q，则 1 2QF QF 2a  答案：ABD 解析：选项 A，PO＝PF2 中垂线 与双曲线有交点 ，正确； 选项 B， ， 则 ，正确； 选项 C， ，显然不等，错误； 8 选项 D，不妨设 P，Q 均在第一象限，则： ，正确； 因此，选 ABD． 11．1982 年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等， 将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学 生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型 修改了有关结论．对于该新几何体，则 A．AF∥CD B．AF⏊DE C．新几何体有 7 个面 D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上 答案：ABD 解析：新几何体有五个面，而不是七个面，故 C 错误，其他选项均正确，选 ABD． 12．已知正数 x，y，z满足 3 4 12x y z  ，则 A． 6 3 4z x y  B． 1 2 1 x y z   C． 4x y z  D． 24xy z 答案：AC 解析：令 ，则 则显然有 1 1 1 x y z   ，故 B 错误， 选项 A， 又 ，故 A 正确； 故 ，故 C 正确，D 错误； 因此，选 AC． 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知向量 a  ＝(1，2)，b  ＝(0，﹣2)，c  ＝(﹣1， )，若( 2a b   )∥ c  ，则实数＝ ． 答案：﹣3 解析： 2a b   ＝(2，6)，则 2 6 0 3      ． 14．已知复数 z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数 z的陈述如下（i 为虚数单位）： 甲： 2z z  ；乙： 2 3iz z  ；丙： 4z z  ；丁： 2 2 z z z  ． 9 在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 z＝ ． 答案：z＝1＋i 解析：设 ，则 ， 显然丙丁，乙丁不同时成立，且甲乙丙可以知二推一， 故甲丁正确 ． 15．若 2 3sin 2cos 1x x  ，则 5sin( ) cos(2 ) 6 3 x x     ＝ ． 答案： 7 32 解析： 2 3sin 2cos 1 4sin( ) 1 6 x x x       ， ∴ 5 1sin( ) sin[ ( )] sin( ) 6 6 6 4 x x x          ， 2 7cos(2 ) cos[2( )] 1 2sin ( ) 3 6 6 8 x x x          ， 故 5 1 7 7sin( ) cos(2 ) 6 3 4 8 32 x x        ． 16．四面体的棱长为 1 或 2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体 积 ；这样的不同四面体的个数为 ． 答案： 11 12 ，3 解析：显然可以构成一个底面为边长为 1 正三角形，侧棱长均为 2 的正三棱锥， 该三棱锥的高 2 23 112 ( ) 3 3 h    ，则体积 1 3 11 11 3 4 123 V     ， 1 和 2 可以构成的三角形有： 边长为 1 的正三角形，边长为 2 的正三角形，边长为 1，2，2 的三角形， 除了已求体积的正三棱锥外，还可以是：四个 1，2，2 的三角形拼成的三棱锥；两个 边长为 2 的正三角形和两个 1，2，2 的三角形拼成的三棱锥．所以，共 3 个． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，∠BAC＝90∘，点 D 在边 BC 上，满足 AB＝ 3 BD． （1）若∠BAD＝30°，求∠C； （2）若 CD＝2BD，AD＝4，求△ABC 的面积． 解：（1）在△ABD 中， ，所以 ， 10 因为 ，所以 ，或 ，当 时， ， 所以 ，当 时， （舍）所以 ； （2）因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ． 18．（本小题满分 12 分） 已知等比数列 na 的各项均为整数，公比为 q，且 q ＞1，数列 na 中有连续四项在集 合 M＝{﹣96，﹣24，36，48，192}中． （1）求 q，并写出数列 na 的一个通项公式； （2）设数列 na 的前 n项和为 nS ，证明：数列 nS 中的任意连续三项按适当顺序排列 后，可以成等差数列． 解：（1）因为 ，且各项均为整数，所以连续四项为 ，所以公比 ，取 ，则 ； （2） ，当 n为奇数时， ， ， 所以 ， 当 n为偶数时， ， ， 所以对数列 nS 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD， AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，PC＝ 2 ，E 为 PD 的中点． （1）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； （2）设 F 是 BE 的中点，判断点 F 是否在平面 PAC 内，并请证明你的结论． 11 解：取 AD 的中点 G，连接 PG，CG，因为△APD 是等腰直角三角形， 所以 PG⊥AD，因为 AD＝2，所以 PG＝1，因为 AG＝1， AD∥BC，所以 AG∥BC 且 AG＝BC＝1，所以 AGCB 是平行四边形， 所以 AB//CG，又因为 AB⊥AD，所以 CG⊥AD，又 CG＝1，PC＝ 2 ，PG＝1，所以 PG⊥CG，建立如图空间直角坐标系， 则 A(0，﹣1，1)，P(0，0，1)，C(1，0，0)，B(1，﹣1，0)， （1） ，设平面 PAC 法向量为 则 ，取 ，则 ， 则 ，所以直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ； （2） ，所以 ，所以 ， 则 ，所以 AF 在平面 PAC 中，所以点 F 在平面 PAC 内． 20．（本小题满分 12 分） 某地发现 6 名疑似病人中有 1 人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检 测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测： 方案甲：将这 6 名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止； 方案乙：将这 6 名疑似病人随机分成 2 组，每组 3 人．先将其中一组的血清混在一起检 测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能 确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员 为止． （1）求这两种方案检测次数相同的概率； （2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由． 解：记甲方案检测的次数是 X，则 X∈{1，2，3，4，5}，记乙方案检测的次数是 Y，则 Y ∈{2，3}， （1）记两种方案检测的次数相同为事件 A，则 ， 所以两种方案检测的次数相同的概率为 ； 12 （2） 所以 ， ， 所以采用乙方案． 21．（本小题满分 12 分） 已知 O 为坐标系原点，椭圆 C： 2 2 1 4 x y  的右焦点为点 F，右准线为直线 n． （1）过点(4，0)的直线交椭圆 C 于 D，E 两个不同点，且以线段 DE 为直径的圆经过原 点 O，求该直线的方程； （2）已知直线 l上有且只有一个点到 F 的距离与到直线 n的距离之比为 3 2 ，直线 l 与直线 n交于点 N，过 F 作 x轴的垂线，交直线 l于点 M．求证： FM FN 为定值． 解：（1）设过点(4，0)的直线为 交于椭圆 ， 联立 消去 y得 又因为以线段 DE 为直径的圆经过原点，则 则所求直线方程为 ； （2）已知椭圆 2 2 1 4 x y  的离心率为 3 2 ，右准线直线 n的方程为 ，已知直线 l上 有且只有一个点到 F 的距离与到直线 n的距离之比为 3 2 ，可以得出直线 l与椭圆 相切，设直线 l的方程为： ， 联立 消去 y得： ， 联立 点 N 坐标为 得到 ． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 1 lnf x m x  (mR)． 13 （1）当 m＝2 时，一次函数 ( )g x 对任意 x(0， )， ( )f x ≤ ( )g x ≤ 2x 恒成立，求 ( )g x 的表达式； （2）讨论关于 x的方程 2( ) 1( ) f x x f x  解的个数． 解：（1）设 求导略， 又 设 ，又∵ ∴ 在(0，  )上恒成立， ∴ 在(0，  )上恒成立， ∴ 又 综上 ； （2） ，则 ，即 设 ，则 ， 设 ①当 m≥1 时， 在(0，  )上递增，又 ∴ 在(0，  )恒有一解，即 只有一解 14 ②m＜0 时， 在 上递减 又 在(0，  )恒有一解， ③0＜m＜1 时， 设 ∴ 在(0，  )上有二解，且 又∵ 当 时， ∴ 在 上恰有一根 当 时， 当 时， ∴ 且 ，解得 ∴ 在 上恰有一根， 在(0，  )上恰有三根， 综上，当 m≥1 或 m≤0 时， 2( ) 1( ) f x x f x  恰有一根；当 0＜m＜1 时， 2( ) 1( ) f x x f x  恰有 三根．