北师大版七年级数学下册第五章同步测试题及答案

北师大版七年级数学下册第五章同步测试题及答案 ‎5.1 轴对称现象 一．选择题（共1小题）‎ ‎1．如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 二．填空题（共6小题）‎ ‎2．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为　 　．‎ ‎（第2题图）‎ ‎3．如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有　 　个．‎ ‎（第3题图）‎ ‎4．如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B．若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点　 　．（P1至P4点）‎ ‎（第4题图）‎ ‎5．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为　 　步．‎ ‎（第5题图）‎ ‎6．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是　 　（填出所有符合要求的小正方形的标号）‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．弹子盘为长方形ABCD，四角有洞，弹子从A出发，路线与小正方形的边成45°角，撞到边界即反弹（如图所示）．AB=4，AD=3，弹子最后落入B洞．那么，当AB=9，AD=8时，弹子最后落入　 　洞，在落入洞之前，撞击BC边　 　次．‎ ‎（第7题图）‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎8．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．‎ 定义：在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形 性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：‎ 从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是　 　；‎ 从边看：筝形有两组邻边分别相等；‎ 从角看：　 　；‎ 从对角线看：　 　．‎ 判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．‎ 方法1：从边看：运用筝形的定义；‎ 方法2：从对角线看：　 　；‎ 如图，四边形ABCD中，　 　．求证：四边形ABCD是筝形 应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．‎ ‎ （第8题图）‎ ‎9．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．‎ ‎（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）四边形ABCD是轴对称图形吗？试说明理由．‎ ‎ （第9题图）‎ ‎10．如图，在△ABC中，高线CD将∠ACB分成20°和50°的两个小角．请你判断一下△ABC是轴对称图形吗？并说明你的理由．‎ ‎ （第10题图）‎ ‎11．△ABC的三边长分别为：AB=2a2﹣a﹣7，BC=10﹣a2，AC=a，‎ ‎（1）求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）；‎ ‎（2）当a=2.5和3时，三角形都存在吗？若存在，求出△ABC的周长；若不存在，请说出理由；‎ ‎（3）若△ABC与△DEF成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，EF=4﹣b2，DF=3﹣b，求a﹣b的值．‎ ‎12．如图，表示把长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有轴对称图形？有没有关于某条直线成轴对称的图形．‎ ‎ （第12题图）‎ 参考答案 一．1．D 二．2．（，） 3．4 4．P2　 5．3 6．2，3，4，5，7 7． D，4‎ 三．8．解：性质：从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线．‎ 从角看：筝形只有一组对角相等；‎ 从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．‎ 判定：结合性质定理，可得出：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．‎ 结合方法二可知缺少的条件为：AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．‎ 证明：按照题意，画出图形1．‎ ‎（第8题答图）‎ ‎∵AC垂直平分BD，‎ ‎∴AB=AD，CB=CD．‎ 又∵AB=，BC=，AO≠CO，‎ ‎∴AB≠BC，‎ ‎∴由筝形定义得，四边形ABCD是筝形．‎ 应用：筝形面积为对角线乘积的一半；‎ ‎∵S筝形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD•AO+BD•CO=BD（AO+CO）=BD•AC，‎ ‎∴筝形面积为对角线乘积的一半．‎ ‎9．解：（1）AB∥CD．理由如下：‎ 在△ABD和△BAC中．‎ ‎∴△ABD≌△BAC（SAS）．‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．‎ ‎∴OA=OB．‎ ‎∴AC﹣OA=BD﹣OB．‎ ‎∴OD=OC．‎ ‎∴∠ODC=∠OCD．‎ ‎∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，‎ ‎∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，‎ ‎∴2∠ODC+∠COD=180°．‎ ‎2∠OBA+∠AOB=180°．‎ 又∠COD=∠AOB，‎ ‎∴∠CDO=∠OBA．‎ ‎∴AB∥CD．‎ ‎（2）四边形ABCD是轴对称图形．理由如下：‎ 延长AD、BC交于点P，‎ ‎∵∠DAB=∠CBA，‎ ‎∴AP=BP．‎ ‎∴点P在AB的垂直平分线上．‎ 又OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上．‎ ‎∴OP垂直平分线段AB，‎ ‎∴点A与点B关于直线OP对称①．‎ ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．‎ ‎∴∠PDC=∠PCD．‎ ‎∴DP=CP，∴点P在DC的垂直平分线上．‎ 又OD=OC，∴点O在DC的垂直平分线上．‎ ‎∴OP垂直平分线段DC．‎ ‎∴点C与点D关于直线OP对称②．‎ 所以，综上①②所述，四边形ABCD是轴对称图形．‎ ‎（第9题答图）‎ ‎10．解：△ABC是轴对称图形．‎ ‎∵∠BCD=20°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠BCD=70°，‎ ‎∴∠ACB=∠B=70°，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴△ABC是轴对称图形．‎ ‎11．解：（1）△ABC的周长=AB+BC+AC=2a2﹣a﹣7+10﹣a2+a=a2+3.‎ ‎（2）当a=2.5时，AB=2a2﹣a﹣7=2×6.25﹣2.5﹣7=3，BC=10﹣a2=10﹣6.25=3.75，AC=a=2.5，‎ ‎∵3+2.5＞3.75，‎ ‎∴当a=2.5时，三角形存在，周长=a2+3=6.25+3=9.25；‎ 当a=3时，AB=2a2﹣a﹣7=2×9﹣3﹣7=8，BC=10﹣a2=10﹣9=1，AC=a=3，‎ ‎∵3+1＜8．‎ ‎∴当a=3时，三角形不存在.‎ ‎（3）∵△ABC与△DEF成轴对称图形，点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，‎ ‎∴EF=BC，DF=AC，‎ ‎∴10﹣a2=4﹣b2，即a2﹣b2=6；a=3﹣b，即a+b=3、把a+b=3代入a2﹣b2=6，得3（a﹣b）=6‎ ‎∴a﹣b=2．‎ ‎12．解：五边形ABCDE是轴对称图形，‎ ‎△ABE与△CDE，△ABD与△CDB成轴对称．‎ ‎5.2 探索轴对称的性质 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：‎ ‎①△ACE≌△BDE ‎②△AOD和△BOC关于直线OE成轴对称 ‎③点E在∠O的平分线上 其中正确的结论是（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．只有① B．只有② C．只有①② D．有①②③‎ ‎2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．10 B．15 C．20 D．30‎ ‎3．如图，∠MON=36°，点P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动．当△PAB的周长最小时，∠APB的大小为（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．100° B．104° C．108° D．116°‎ ‎4．如图，∠AOB=30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．β﹣α=60° B．β+α=210° C．β﹣2α=30° D．β+2α=240°‎ ‎5．如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 二．填空题（共3小题）‎ ‎6．如图，∠AOB=35°，P是∠AOB内任意一点，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，连接P1P2与OA、OB分别交于点C、D，若P1P2=16cm，则△PCD的周长是　 　，∠P1OP2=　 　．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．如图，∠BAC=15°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为　 　．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．如图a是长方形纸带，∠DEF=22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是　 　．‎ ‎（第8题图）‎ 三．解答题（共3小题）‎ ‎9．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA，OB于点M，N，若PM=PN=3，MN=4，求线段QR的长．‎ ‎ （第9题图）‎ ‎10．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．‎ ‎（1）若MN=20cm，求△PEF的周长．‎ ‎（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数．‎ ‎ （第10题图）‎ ‎11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB．‎ ‎（1）说明：其中有几对三角形成轴对称，并指出其对称轴；‎ ‎（2）连接AO，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．‎ ‎ （第11题图）‎ 参考答案 一．1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 二．6．16cm，70° 7．1 8．114°‎ 三．9．解：∵点P与Q关于OA对称，‎ ‎∴OA垂直平分PQ，‎ ‎∴PM=MQ=3．‎ 同理可得，PN=NR=3．‎ ‎∵MN=4，‎ ‎∴MQ+QN=4，‎ ‎∴QN=4﹣MQ=4﹣3=1，‎ ‎∴QR=QN+NR=1+3=4．‎ ‎（第9题答图）‎ ‎10．解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，‎ ‎∴ME=PE，NF=PF，MN=20cm，‎ ‎∴ME+EF+NF=PE+EF+PF=MN=20cm，即△PEF的周长是20cm．‎ ‎（2）如答图.‎ ‎（第10题答图）‎ ‎∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，‎ ‎∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，‎ ‎∴∠PRE=∠PTF=90°，‎ ‎∴在四边形OTPR中，‎ ‎∴∠MPN+∠AOB=180°，‎ ‎∵∠EPF+2∠M+2∠N=180°，‎ 即∠MPN+∠M+∠N=180°，‎ ‎∴∠M+∠N=∠AOB=35°‎ ‎∴∠EPF=180°﹣35°×2=110°．‎ ‎11．解：（1）△ABD和△ACE，△BOE和△COD，△EBC和△DBC，都关于AO所在直线对称，‎ 其对称轴为AO所在直线；‎ ‎（2）∵∠DBC=∠ECB，‎ ‎∴OB=OC，‎ ‎∴点O在线段BC的垂直平分线上，‎ 在△DBC和△ECB中 ‎，‎ ‎∴△DBC≌△ECB（SAS），‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，‎ 因此AO是线段BC的垂直平分线．‎ ‎（第11题答图）‎ ‎5.3 简单的轴对称图形 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2‎ ‎2．等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（　　）‎ A．20 B．22 C．20或22 D．不确定 ‎3．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）‎ A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°‎ ‎4．已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB=PQ=QC=AP=AQ．则∠BAQ=（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．90° B．40° C．60° D．70°‎ ‎5．如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．100° B．110° C．115° D．120°‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎6．若等边△ABC的边长为6，那么△ABC的面积是　 　．‎ ‎7．如图，P、M、N分别是△ABC三边上的点，BM=BP，CP=CN，∠MPN=40°，则∠A=　 　．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为　 　．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．若一个等腰三角形的两边长分别为2和3，则该三角形的周长是　 　．‎ ‎10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交边AC于点D，CD=4，△ABD的面积为10，则AB的长是　 　．‎ ‎（第10题图）‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎11．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．‎ ‎ （第12题图）‎ ‎13．用一条长为30cm的细绳围成一个等腰三角形，如果底边长是腰长的一半，求各边长．‎ ‎14．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=82°，延长CB至点D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD、AE，求∠D，∠E，∠DAE的度数．‎ ‎ （第14题图）‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．‎ ‎（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数；‎ ‎（2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．‎ ‎ （第15题图）‎ 参考答案 一．1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 二．6．9 7．100° 8．14 9．7或8 10．5‎ 三．11．解：∵∠A=40°，AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=70°.‎ 又∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴DB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠A=40°，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．‎ ‎12．解：已知，在△ABC中，BD=CD，AD平分∠BAC．‎ 求证：AB=AC 证明：如答图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，‎ ‎∵AD是中线，‎ ‎∴BD=CD，‎ 在△ADC和△EBD中，，‎ ‎∴△ADC≌△EBD（SAS），‎ ‎∴BE=AC，∠E=∠CAD，‎ ‎∵AD是角平分线，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ ‎∴∠E=∠BAD，‎ ‎∴AB=BE，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ 即角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．‎ ‎（第12题答图）‎ ‎13．解：设底边长为xcm，则腰长2xcm，由题意，得 x+2x+2x=30，‎ 解得x=6，‎ 故2x=12.‎ 答：各边长为6cm，12cm，12cm.‎ ‎14．解：∵∠ABC=60°，∠ACB=82°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣82°=38°.‎ ‎∵DB=BA，‎ ‎∴∠D=∠DAB=∠ABC=30°.‎ ‎∵CE=CA，‎ ‎∴∠E=∠CAE=∠ACB=41°，‎ ‎∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=30°+38°+41°=109°．‎ ‎15．解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB==70°.‎ ‎∵DE垂直平分AC，‎ ‎∴DA=DC，‎ ‎∴在△DAC中，∠DCA=∠A=40°，‎ ‎∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=30°；‎ ‎（2）∵DE垂直平分AC，‎ ‎∴DA=DC，EC=EA=5，‎ ‎∴AC=2AE=10，‎ ‎∴△ABC的周长为AC+BC+BD+DA=10+BC+BD+DC=10+16=26．‎ ‎5.4 利用轴对称进行设计 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，方格纸上有2条线段，请你再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，最多能画（　　）条线段．‎ ‎（第1题图）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎3．我国每年都发行一套生肖邮票．下列生肖邮票中，动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．如图所示，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎5．如图，阴影部分是由5‎ 个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分）是轴对称图形，其中涂法有（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 二．填空题（共6小题）‎ ‎6．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有　 　种．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　 　个．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分）是轴对称图形，其中涂法有　 　种．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有　 　种．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，在2×2方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出方格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　 　个．‎ ‎（第10题图）‎ ‎11．如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　 　个．‎ ‎（第11题图）‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎12．（1）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请用二种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．‎ ‎（2）共有　 　种涂法．‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图，方格纸上画有两条线段AB、CD，请再画1条线段EF，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（找出符合条件的所有线段，并用E1F1、E2F2…表示）．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图：在3×3网格中，已知线段AB、CD，以格点为端点画一条线段，使它与AB、CD 组成轴对称图形．（画出所有可能）‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．我们规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．‎ ‎（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；‎ ‎（2）若△ABC经过3次“R变换”后的图形为△A3B3C3，则顶点A3坐标为　 　；‎ ‎（3）记点P（a，b）经过n次“R变换”后的点为Pn，直接写出Pn的坐标．‎ ‎（第15题图）‎ 参考答案 一．1．D 2．C 3．D 4．C 5．D 二．6．4 7．5 8．9 9．4 10．5 11．4‎ 三．12．解：（1）如答图.‎ ‎（2）共有3种涂法；‎ ‎（第12题答图）‎ ‎13．解：如答图，线段E1F1，线段E2F2，线段E3F3，线段E4F4，即为所求．‎ ‎（第13题答图）‎ ‎14．解：如答图，线段EF即为所求．‎ ‎（第14题答图）‎ ‎15．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；‎ ‎（第15题答图）‎ ‎（2）A3（﹣4，﹣1）；‎ ‎（3）答案1：‎ 当n为偶数时，Pn（a，b﹣2n），‎ 当n为奇数时，Pn（﹣a，b﹣2n）．‎