北师大版七年级数学下册第四章同步测试题及答案

北师大版七年级数学下册第四章同步测试题及答案 ‎4.1 认识三角形 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，在△ABC中，AB边上的高是（　　）‎ ‎ （第1题图）‎ A．CE B．AD C．CF D．AB ‎2．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm，AC=3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．5cm B．3cm C．8cm D．2cm ‎3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．80° B．82.5° C．90° D．85°‎ ‎4．若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎5．要组成一个三角形，三条线段的长度可以是（　　）‎ A．1，2，3 B．3，4，5 ‎ C．4，6，11 D．1.5，2.5，4.5‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎6．如图，图中的三角形共有　 　个，∠C的对边是　 　．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．如图所示：在△AEC中，AE边上的高是　 　．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．如图，在△ABC中，BC⊥AC，CD是AB边上的高，若AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，那么CD=　 　．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．三角形的重心是三角形的三条　 　的交点．‎ ‎10．三角形的三边长分别是4、7、x，则x的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎11．在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各内角的度数．‎ ‎12．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．‎ ‎（1）求∠BAE的度数；‎ ‎（2）求∠DAE的度数．‎ ‎ （第12题图）‎ ‎13．（1）已知a+b=4，a2+b2=8，求ab与（a﹣b）2的值．‎ ‎（2）已知△ABC三边分别是a、b、c，化简代数式：|a+b﹣c|﹣|c﹣a+b|﹣|b﹣c﹣a|+|b﹣a﹣c|．‎ ‎14．如图，△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=∠C，∠4=∠C，求∠4的度数．‎ ‎ （第14题图）‎ ‎15．如图，∠BAD=90°，∠ADC=30°，∠BCD=142°，求∠B的度数．‎ ‎ （第15题图）‎ 参考答案 一．1．A 2．D 3．B 4．A 5．B 二．6．3；AD或AB 7．CD 8．4.8cm 9．中线 10．3＜x＜11‎ 三．11．解：设∠A=x，则∠B=x+36°，∠C=x﹣36°，‎ 根据题意，得x+x+36°+x﹣36°=180°，‎ 解得x=60°，‎ ‎∴x+36°=96°，x﹣36°=24°．‎ ‎∴∠A=60°，∠B=96°，∠C=24°．‎ ‎12．解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°．‎ ‎∵AE平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAE=∠BAC=30°．‎ ‎（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，‎ ‎∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°，‎ ‎∵AD是BC边上的高，‎ ‎∴∠ADE=90°，‎ ‎∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．‎ ‎13．解：（1）∵a+b=4，a2+b2=8，‎ ‎∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab=16，‎ ‎∴ab=4，‎ ‎（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=16﹣16=0；‎ ‎（2）∵a、b、c是△ABC的三边，‎ ‎∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，‎ ‎∴|a+b﹣c|﹣|c﹣a+b|﹣|b﹣c﹣a|+|b﹣a﹣c|‎ ‎=（a+b﹣c）﹣（c+b﹣a）+（b﹣c﹣a）﹣（b﹣a﹣c）‎ ‎=a+b﹣c﹣c﹣b+a+b﹣c﹣a﹣b+a+c ‎=2a﹣2c．‎ ‎14．解：∵∠1=∠2，∠4=∠1+∠2，‎ ‎∴∠4=2∠1=∠C，‎ ‎∵∠ABC=∠C，‎ ‎∴∠4=∠ABC.‎ ‎∵∠1+∠ABC+∠=180°，‎ ‎∴∠4+∠4+∠4=180°，‎ ‎∴∠4=72°.‎ ‎15．解：如图，延长BC交AD于点E.‎ ‎∵∠ADC=30°，∠BCD=142°，‎ ‎∴∠DEC=∠BCD﹣∠ADC=142°﹣30°=112°.‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠B=∠DEC﹣∠BAD=112°﹣90°=22°．‎ ‎（第15题答图）‎ ‎4.2 图形的全等 一．选择题（共4小题）‎ ‎1．下列说法正确的是（　　）‎ A．形状相同的两个三角形全等 ‎ B．面积相等的两个三角形全等 ‎ C．完全重合的两个三角形全等 ‎ D．所有的等边三角形全等 ‎2．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．150° B．180° C．210° D．225°‎ ‎3．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列命题中：‎ ‎（1）形状相同的两个三角形是全等形；‎ ‎（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；‎ ‎（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二．填空题（共3小题）‎ ‎5．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=　 　度．‎ ‎（第5题图）‎ ‎6．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′=　 　°，∠A=　 　°，B′C′=　 　，AD=　 　．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2=　 　度．‎ ‎（第7题图）‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎8．图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．如图，是一个4×4的方格，‎ ‎（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．‎ ‎（2）求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．‎ ‎ （第10题图）‎ ‎11．找出七巧板中（如图）全等的图形．‎ ‎（第11题图）‎ 参考答案 一．1．C 2．B 3．A 4．C 二．5．135 6．120°，70°，12，6 7．90‎ 三．8．解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H，‎ 对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；‎ 对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；‎ ‎∵两个五边形全等，‎ ‎∴a=12，c=8，b=10，e=11，α=90°．‎ ‎9．解：（1）观察图形，可知∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，‎ ‎∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°．‎ ‎（2）∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16‎ ‎=（∠1+∠3+…+∠15）﹣（∠2+∠4+…+∠16）‎ ‎=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）﹣（∠2+∠6）﹣（∠8+∠12‎ ‎）﹣∠4﹣∠10﹣∠14﹣∠16‎ ‎=90°×4﹣90°×2﹣45°×4‎ ‎=0．‎ ‎10．解：如答图.‎ ‎（第10题答图）‎ ‎11．解：由图知：△ADE与△DEC，△EHK与△CJF，△ADC与△ABC，四边形AGKE与四边形CFKE，四边形AGKD与四边形CFKD是重合的，即是全等的图形．‎ ‎4.3 探索三角形全等的条件 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，若AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．∠B=∠C B．AE=AD C．BE=CD D．∠AEB=ADC ‎2．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK．若∠MKN=48°，则∠P的度数为（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．48° B．66° C．84° D．92°‎ ‎3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，④AO=OC．其中正确的结论有（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD ‎5．下列图形中具有稳定性的是（　　）‎ A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 二．填空题（共8小题）‎ ‎6．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=42°，点E是BC上一点，EF⊥AB于点F，若EC=EF，则∠AEC的度数为　 　．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．如图，EF、BG、DH都垂直于FH，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积S是　 　．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD=BD，BE=AC，BC=8cm，DC=3cm，则AE=　 　，∠BFC=　 　．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．如图，AC=AD，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是　 　．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是　 　．‎ ‎（第10题图）‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎11．（1）下列图中具有稳定性是　 　（填序号）‎ ‎（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．‎ ‎（3）图5所示的多边形共　 　条对角线．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理.‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s的速度运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．‎ ‎（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC=2：1，试求点D，E的运动时间t的值；‎ ‎（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图，已知∠1=∠2，∠APO=∠BPO．求证：△AOP≌△BOP．‎ ‎ （第14题图）‎ ‎15．已知：点D在BC边上，AB=AD，BC=DE，AC=AE，求证：∠1=∠2．‎ ‎ （第15题图）‎ 参考答案 一．1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 二．6．66° 7．50 8． 2cm，90° 9．∠CAB=∠DAB 10．SAS 三．11．解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．‎ ‎（2）如答图.‎ ‎（第11题答图）‎ ‎（3）六边形的对角线有=9条，‎ ‎12．解：如答图.‎ 根据三角形具有稳定性．‎ ‎（第12题答图）‎ ‎13．解：（1）如答图2中，‎ ‎（第13题答图）‎ ‎①当点E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．‎ ‎∵BA平分∠MAN，‎ ‎∴BG=BH，‎ ‎∵S△ADB：S△BEC=2：3，AD=t，AE=2t，‎ ‎∴•t•BG：•（6﹣2t）•BH=2：3，‎ ‎∴t=s．‎ ‎②当点E运动到AC延长线上，同法可得t=12时，也满足条件！‎ ‎∴当t=s或12s时，满足S△ADB：S△BEC=2：3．‎ ‎（2）存在．∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，‎ ‎∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，‎ ‎∴t=6﹣2t，‎ ‎∴t=2s，‎ ‎∴t=2s时，△ADB≌△CEB．‎ 当D在MA延长线上时，2t﹣6=t，t=6s，‎ 综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．‎ ‎14．证明：∵在△AOP和△BOP中 ‎∴△AOP≌△BOP（ASA）‎ ‎15．证明：在△ABC与△ADE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SSS），‎ ‎∴∠ABC=∠ADE，‎ ‎∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，‎ ‎∴∠CDE=∠BAD，即∠1=∠2．‎ ‎4.4 用尺规作三角形 一．选择题（共6小题）‎ ‎1．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）‎ A．作一个角等于已知角 ‎ B．作一个角的平分线 ‎ C．作一条线段的垂直平分线 ‎ D．过直线外一点P作已知直线的垂线 ‎2．作∠AOB的平分线OC，按以下作图方法错误的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．以点C为圆心，OD为半径的弧 ‎ B．以点C为圆心，DM为半径的弧 ‎ C．以点E为圆心，OD为半径的弧 ‎ D．以点E为圆心，DM为半径的弧 ‎4．尺规作图作∠AOB的平分线如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，连结CD，则下列结论一定正确的个数有（　　）个．‎ ‎①∠AOP=∠BOP；②OC=PC；③OA∥DP；④OP是线段CD的垂直平分线．‎ ‎（第4题图）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．小聪用直尺和圆规作角平分线，方法如下：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P；③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，小聪用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．SSS B．SAS C．ASA D．HL ‎6．如图所示，已知线段a，b，c（a＞b+c），求作线段AB，使AB=a﹣b﹣c．下面利用尺规作图正确的是（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎7．在数学课上，老师提出如下问题：‎ 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．‎ 小云的作法如下：‎ ‎（1）在直线l上任取一点B，连接AB；‎ ‎（2）以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；‎ ‎（3）分别以B、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；‎ ‎（4）作直线AC．直线AC即为所求（如图2）．‎ 小云作图的依据是　 　．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　 　．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．如图，尺规作图作出∠CAB的平分线，则∠ADC=　 　°．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，使用圆规作图，看图填空：‎ ‎（第10题图）‎ ‎（1）在射线AM上　 　线段　 　=　 　；‎ ‎（2）以点　 　为圆心，以线段　 　为半径作弧交　 　于点　 　；‎ ‎（3）分别以点　 　和点　 　为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点　 　和点　 　；‎ ‎（4）以点　 　为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边　 　，　 　于点　 　，点　 　．‎ 三．解答题（共29小题）‎ ‎11．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，‎ ‎（1）用尺规作图作∠ABC的平分线BE，且交AC于点E，交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求∠BFD的度数．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．按要求用直尺作图：如图，平面上有A，B，C三点，画直线AC、射线BC、线段AB、在射线BC上取一点D，使BD=AB，并连接AD．‎ ‎（第 12题图）‎ ‎13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE是AC边上的高．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出AB边上的高CD交AB于点D，交BE于点O（要求保留作图痕迹）‎ ‎（2）判断△OBC是什么三角形，并说明理由．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图，已知△ABC，按要求作图．‎ ‎（1）过点A作BC的垂线段AD；‎ ‎（2）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；‎ ‎（3）AB=15，BC=7，AC=20，AD=12，求点C到线段AB的距离．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．如图点P是∠ABC内一点画图：‎ ‎①过点P作BC的垂线，D是垂足；‎ ‎②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F．‎ ‎ （第15题图）‎ 参考答案 一．1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．D 二．7．四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直 8．SSS 9．70‎ ‎10．（1）截取，AB，a；‎ ‎（2）A，r，FB，C；‎ ‎（3）P，Q，M，N；‎ ‎（4）O，OA，OB，C，D．‎ 三．11．解：（1）如答图，BE即为所求；‎ ‎（第11题答图）‎ ‎（2）∵∠BAC=50°、∠C=60°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=70°，‎ 由（1）知，BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC=35°，‎ 又∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 则∠BFD=90°﹣∠DBC=55°．‎ ‎12．解：如答图.‎ ‎（第12题答图）‎ ‎13．解：（1）△ABC的高CD如答图．‎ ‎（第13题答图）‎ ‎（2）△OBC是等腰三角形．‎ 理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，‎ ‎∴∠BEC=∠CDB=90°‎ ‎∵AB=AC ‎∴∠ABC=∠ACB ‎∵BC=BC ‎∴△BCE≌△CBD（AAS），‎ ‎∴∠CBE=∠BCD，‎ ‎∴BO=CO即△OBC是等腰三角形．‎ ‎14．解：（1）如图，AD为所作；‎ ‎（2）如图，CE、CF为所作；‎ ‎（第14题答图）‎ ‎（3）∵S△ABC=•AB•CE=•BC•AD，‎ ‎∴CE===，‎ 即点C到线段AB的距离为．‎ ‎15．解：如答图.①PD即为所求；②PE，PF即为所求．‎ ‎（第15题答图）‎ ‎4.5 利用三角形全等测距离 一．选择题（共3小题）‎ ‎1．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS ‎2．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．带其中的任意两块去都可以 ‎ B．带1、2或2、3去就可以了 ‎ C．带1、4或3、4去就可以了 ‎ D．带1、4或2、4或3、4去均可 ‎3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 二．填空题（共3小题）‎ ‎4．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第　 　块去配，其依据是根据定理　 　（可以用字母简写）‎ ‎（第4题图）‎ ‎5．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　 　块．‎ ‎（第5题图）‎ ‎6．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=　 　度．‎ ‎（第6题图）‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎7．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：‎ ‎①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；‎ ‎②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；‎ ‎③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；‎ ‎④测得DE的长就是河宽AB．‎ 请你证明他们做法的正确性．‎ ‎ （第8题图）‎ ‎9．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．‎ ‎（1）若AB=2，求BC的长；‎ ‎（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；‎ ‎（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．‎ ‎（1）画出测量图案；‎ ‎（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；‎ ‎（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．‎ ‎（第10题图）‎ ‎11．（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．‎ ‎（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．（1）作图发现.‎ 如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是　 　．‎ ‎（2）拓展探究 如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）解决问题 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=200米．AC=AE，则BE=　 　米．‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直线上，则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离，请说明理由．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，求证：△ADC≌△CEB．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少？请说明理由．‎ ‎（第15题图）‎ ‎16．为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？‎ ‎（第16题图）‎ 参考答案 一．1．A 2．D 3．D 二．4．③； ASA 5．2 6．90‎ 三．7．解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，‎ ‎∴∠DCP=∠APB=54°.‎ 在△CPD和△PAB中 ‎∵，‎ ‎∴△CPD≌△PAB（ASA），‎ ‎∴DP=AB，‎ ‎∵DB=36，PB=10，‎ ‎∴AB=36﹣10=26（m），‎ 答：楼高AB是26米．‎ ‎8．证明：如图，由做法知：‎ 在Rt△ABC和Rt△EDC中，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）‎ ‎∴AB=ED 即他们的做法是正确的．‎ ‎9．解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．‎ ‎∴∠AHB=∠AHC=90°，‎ 在RT△AHB中，∵AB=2，∠B=45°，‎ ‎∴BH=AB•cosB=2×=2，‎ AH=AB•sinB=2，‎ 在RT△AHC中，∵∠C=30°，‎ ‎∴AC=2AH=4，CH=AC•cosC=2，‎ ‎∴BC=BH+CH=2+2．‎ ‎（2）证明：如答图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，‎ ‎∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，‎ 在△DAF和△GAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DAF≌△GAE，‎ ‎∴AD=AG，‎ ‎∴∠BAP=90°=∠DAG，‎ ‎∴∠BAD=∠PAG，‎ ‎∵∠B=∠APB=45°，‎ ‎∴AB=AP，‎ 在△ABD和△APG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△APG，‎ ‎∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，‎ ‎∴∠GPB=∠GPC=90°，‎ ‎∵∠C=30°，‎ ‎∴PG=GC，‎ ‎∴BD=CG．‎ ‎（3）如答图2中，作AH⊥BC于点H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，‎ 在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，‎ ‎∴AC=2AH，‎ ‎∴AH=AP，‎ 在RT△AHD和RT△APG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AHD≌△APG，‎ ‎∴∠DAH=∠GAP，‎ ‎∵GM⊥AC，PA=PC，‎ ‎∴MA=MC，‎ ‎∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，‎ ‎∴∠DAM=∠GAM=45°，‎ ‎∴∠DAH=∠GAP=15°，‎ ‎∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，‎ 作DK⊥AB于点K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，‎ ‎∴==，‎ ‎∵AG=CG=AD，‎ ‎∴=．‎ ‎ ‎ ‎（第9题答图）‎ ‎10．解：（1）如答图.‎ ‎（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；‎ ‎（3）设DC=m.‎ ‎∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO ‎∴△AOB≌△COD （SAS）‎ ‎∴AB=CD=m．‎ ‎（第10题答图）‎ ‎11．解：（1）△ABC与△AEG面积相等．‎ 理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，‎ ‎∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，‎ ‎∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，‎ ‎∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，‎ ‎∴∠BAC+∠EAG=180°，‎ ‎∵∠EAG+∠GAN=180°，‎ ‎∴∠BAC=∠GAN，‎ 在△ACM和△AGN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACM≌△AGN，‎ ‎∴CM=GN，‎ ‎∵S△ABC=AB•CM，S△AEG=AE•GN，‎ ‎∴S△ABC=S△AEG，‎ ‎（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．‎ ‎∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．‎ ‎（第11题答图）‎ ‎12．解：（1）如答图1.‎ ‎∵△ABD和△ACE都是等边三角形，‎ ‎∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，‎ ‎∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，‎ 在△CAD和△EAB中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CAD≌△EAB（SAS），‎ ‎∴BE=CD；‎ ‎（2）BE=CD，理由同（1），‎ ‎∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，‎ ‎∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，‎ ‎∴∠CAD=∠EAB，‎ ‎∵在△CAD和△EAB中，‎ ‎，‎ ‎∴△CAD≌△EAB（SAS），‎ ‎∴BE=CD；‎ ‎（3）如图3，由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，‎ 则AD=AB=200米，∠ABD=45°，‎ ‎∴BD=200米，‎ 连接CD，BD，则由（2）可得BE=CD，‎ ‎∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，‎ 在Rt△DBC中，BC=200米，BD=200米，‎ 根据勾股定理得：CD==200（米），‎ 则BE=CD=200米．‎ 故答案为：200．‎ ‎ ‎ ‎（第12题答图）‎ ‎13．解：∵AB⊥MN，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ 同理∠EDC=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠EDC，‎ 在△ABC和△EDC中 ‎ ‎∴△ACB≌△ECD（ASA），‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，求证：△ADC≌△CEB．‎ ‎（第14题答图）‎ 证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，‎ ‎∴∠ADC=∠CEB=90°‎ ‎∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，‎ ‎∴∠BCE=∠DAC，‎ 在△ADC和△CEB中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADC≌△CEB（AAS）．‎ ‎15．解：AB=60米．‎ 理由如下：‎ ‎∵在△ABC和△DEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEC（SAS），‎ ‎∴AB=DE=60（米），‎ 则池塘的宽AB为60米．‎ ‎16．解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，‎ ‎∴∠DCP=∠APB=52°.‎ 在△CPD和△PAB中 ‎∵，‎ ‎∴△CPD≌△PAB（ASA），‎ ‎∴DP=AB，‎ ‎∵DB=33，PB=8，‎ ‎∴AB=33﹣8=25（m），‎ 答：楼高AB是25米．‎