北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除

第一章 整式的乘除 1 同底数幂的乘法 第一章 整式的乘除 1 同底数幂的乘法 今天我们的学习目标是： 了解同底数幂乘法的运算法则及性质 ，并 能解决一些实际问 题 . 复习回顾 a n 指数 幂 = a · a · … · a n 个 a 底数 乘方的结果 光在真空中的速度大约是 3×10 8 米 / 秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要 4.22 年 。一年以 3×10 7 秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？ 速度 × 时间 = 距离 10 × 10 8 7 = （ 10 × 10 ×···× 10 ） × （ 10 × 10 ×···× 10 ） 8 个 10 7 个 10 =10 × 10 ×···×10 15 个 10 =10 15 幂的意义 （根据 ） （根据 ） 乘法结合律 1. 计算下列各式： （ 1 ） 10 2 ×10 3 ； （ 2 ） 10 5 ×10 8 ； （ 3 ） 10 m ×10 n （ m ， n 都是正整数 ） . 做一做 2.   2 m ×2 n 等于什么？ 和 呢 ？  （ m ， n 都是正整数 ） = （ 10 × 10 ） × （ 10 × 10 × 10 ） =10 × 10 × 10 × 10 × 10 =10 5 10 2 × 10 3 （ 1 ） （根 据 ） （根据 ） 乘法结合律 幂的意义 幂的意义 =10 2+3 （根据 ） = 10 × 10 ×···×10 13 个 10 =10 13 幂的意义 乘法结合律 ( 根据 ） 根据（ ） 幂的意义 10 × 10 5 8 （ 2 ） =10 5+8 = （ 10 × 10 ×···× 10 ） × （ 10 × 10 ×···×10 ） 5 个 10 8 个 10 根据（ ） = 10 × 10 ×···×10 ( m + n ) 个 10 =10 m + n 幂的意义 乘法结合律 （根据 ） （根据 ） （根据 ） 幂的意义 10 × 10 m n （ 3 ） = （ 10 × 10 ×···× 10 ） × （ 10 × 10 ×···×10 ） m 个 10 n 个 10 1. 计算下列各式： （ 1 ） 10 2 × 10 3 （ 2 ） 10 5 ×10 8 （ 3 ） 10 m ×10 n （ m ， n 都是正整数） 你发现了什么？ 做一做 这个结论是否具有一般性？如果底数同样也是字母呢？ （ 4 ） 10 m ×10 2 m （ m 是正整数） 2.   2 m ×2 n 等于什么？ 和 呢？  （ m ， n 都是正整数） a m · a n 等于什么（ m , n 都是正整数 )? 为什么？ = a m + n a m · a n = a m + n ( m , n 都是正整数） 底数不变 指数相加 议一议 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 底数不变 指数相加 知识要点 ： 指数如果是同类项还要合并同类项。 ( m , n 都是正整数） a m · a n · a p 等于什么？ a m · a n · a p = a m+n+p 想一想 : 方法 1 ： a m ·a n ·a p =( a m · a n )· a p = a m + n · a p = a m + n + p 方法 2 ： a m · a n · a p =( a · a · … · a )( a · a · … · a )( a · a · … · a ) n 个 a m 个 a p 个 a = a m + n + p ( m , n,p 都是正整数） 判断（正确的打“ √ ”，错误的打“ × ” ） x 4 · x 6 = x 24 (   ) （ 2 ） x · x 3 = x 3 (   ) (3) x 4 + x 4 = x 8 (   ) (4) x 2 · x 2 =2 x 4 (   ) (5)(- x ) 2 · (- x ) 3 = (- x ) 5 (   ) (6) a 2 · a 3 - a 3 · a 2 = 0 (   ) (7) x 3 · y 5 =( xy ) 8 (   ) (8) x 7 + x 7 = x 14 (   ) √ √ × × × × × × 对于计算出错的题目，你能分析出错的原因吗？试试看！ 例 2 光的速度约为 3 × 10 8 米 / 秒，太阳光照射到地球 大 约 需要 5 × 10 2 秒 . 地球距离太阳大约有多远？ 解： 3 × 10 8 × 5 × 10 2 =15 × 10 10 =1 . 5 × 10 11 ( 米 ) 地球距离太阳大约有 1 . 5 × 10 11 米 . 飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要 20 年呢！ =1.5 × 10 × 10 10 光在真空中的速度大约是 3×10 8 米 / 秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要 4.22 年 。一年以 3×10 7 秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？ 随堂练习： 负数的 偶次幂为正 ，负数的 奇次幂为负 ； 先确定符号，再把指数相加 公式 1 公式 2 逆用公式 1 第一章 整式的乘除 2 幂的乘方与积的乘方（第 1 课时） 复习回顾 a m · a n = a m+n （ m,n 都是正整数） 同底数幂相乘,底数 不变 ,指数 相加 . 1. 同底数幂运算法则 文字叙述： 数学公式： 2. 计算 ： （ 1 ） a ·a 3 ·a n ； (2) (-b) ·(-b) 5 ·b 7 ； (3)(y-x) 5 ·(x-y) 6 ·(x-y ). 情境引入 乙正方体的棱长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V 乙 = cm 3 . 可以看出， V 甲 是 V 乙 的 倍，即 5 3 倍 8 125 边长比的 甲正方体的棱长是乙正方体的 5 倍，则甲正方体的体积 V 甲 = cm 3 . 1000 立方 正方体的体积之比 = 情境引入 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 . 木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 10 2 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ V 球 = — π r 3 ， 其中 V 是体积、 r 是球的半径 3 4 10 3 倍 (10 2 ) 3 倍 探究新知 你知道 (10 2 ) 3 等于多少吗？ (10 2 ) 3 =10 2 ×10 2 ×10 2 =10 2+2+2 =10 2×3 =10 6 ( 根据 ). ( 根据 ). 同底数幂的乘法 幂的意义 个 a m = a m ·a m · … ·a m 探究新知 做一做：计算下列各式，并说明理由 . (1) (6 2 ) 4 ; (2) ( a 2 ) 3 ; (3) ( a m ) 2 ; (4) ( a m ) n . 解： (1) (6 2 ) 4 (2) ( a 2 ) 3 (3) ( a m ) 2 = 6 2 ·6 2 · 6 2 ·6 2 =6 2+2+2+2 =6 8 = a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2 = a 6 = a m · a m = a m+m =6 2×4 ; = a 2×3 ; = a 2 m ; n (4) ( a m ) n = a mn 个 m = a m+m+ … +m n 探究新知 幂的乘方，底数 ，指数 . (a m ) n =a mn ( m,n 都是正整数 ) 不变 相乘 幂的乘方法则 项 法则 符号语言 运算 结果 1 2 请比较“同底数幂相乘的法则”与“幂的乘方法则”异同： 同底数幂相乘 幂的乘方 乘法运算 乘方运算 底数不变，指数相加 底数不变， 指数相乘 比一比 落实基础 例 1 计算： (10 4 ) 3 ; ( b 2 ) 5 ; [( x - y ) 2 ] 10 ; － ( x 6 ) m ; ( y 5 ) 3 · y ; 2( a 4 ) 6 － ( a 3 ) 8 . 巩固训练 2. 计算： (1) (10 3 ) 3 ; (2) － ( a 2 ) 5 ; (3) ( x 3 ) 4 · x 2 ; (4) [( － x ) 2 ] 3 ; (5) ( － a ) 2 ( a 2 ) 2 ; (6) x·x 4 – x 2 · x 3 . 随堂练习： 1. 判断下面计算是否正确？如果有错误请改正： (1) ( x 3 ) 3 = x 6 ; (2) a 6 · a 4 = a 24 . 能力提升 ⑴ a 12 ＝（ a 3 ） ( ) ＝（ a 2 ） ( ) ＝ a 3 a ( ) ＝（ ） 3 ＝（ ） 4 (4) 3 2 ﹒9 m ＝ 3 ( ) (2) y 3 n ＝ 3, y 9 n ＝ . (3) （ a 2 ） m +1 ＝ . 9 4 6 a 4 a 3 27 a 2m+2 m+2 1. 计算 ： 课堂练习 ⑴ ( a 2 ) 3 ； ⑵ a 2 · a 3 ； ⑶ ( y 5 ) 5 ； ⑷ y 5 · y 5 . 2. 计算： ⑴ ( x 2 ) 3 · ( x 2 ) 2 ； ⑵ ( y 3 ) 4 · ( y 4 ) 3 ； ⑶ － ( x n ) 2 · ( x 3 ) 2m ； ⑷ ( a 2 ) 3 + a 3 · a 3 . 思考题： 1 、若 a m = 2, 则 a 3 m =_____. 2 、若 m x = 2, m y = 3 , 则 m x+y =___, m 3x+2y =___. 8 6 72 动脑筋！ 小结 1. 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 2. (a m ) n =a mn ( m,n 都是正整数 ) 幂的乘方，底数不变，指数相乘 . 2 幂的乘方与积的 乘方 （ 第 2 课时） 复习回顾 2. 同底数幂的乘法运算法则： a m · a n = a m+n （ m , n 都是正整数） 3. 幂的乘方运算法则 : ( a m ) n = ( m ， n 都是正整数 ) a mn 1. 幂的意义 : a · a · … · a n 个 a a n = 探索交流 地 球可以近似地看做是球体，地球的半径约为 6×10 3 km ，它的体积大约是多少立方千米 ? V = — π r 3 = — π ×(6×10 3 ) 3 3 4 3 4 那么， (6×10 3 ) 3 = ？ 这种运算有什么特征？ 探索交流 (1) 根据幂的意义， ( ab ) 3 表示什么 ? = a·a·a · b·b·b = a 3 ·b 3 (2) 由 ( ab ) 3 = a 3 b 3 出发 , 你能想到更为一般的公式吗 ? 猜想 ( ab ) n = a n b n ( ab ) 3 = ab·ab·ab 不妨先思考 ( ab ) 3 = ？ 探索交流 ( ab ) n = ab · ab · …… · ab ( ) =( a · a ·……· a ) ( b · b ·……· b ) ( ) = a n · b n ． ( ) 幂的意义 乘法交换律、结合律 幂的意义 n 个 ab n 个 a n 个 b 探索交流 ( ab ) n = a n · b n 积的乘方 乘方的积 （ m , n 都是正整数） 积的乘方法则 积的乘方 , 等于 每一因数乘方的积 . 知识扩充 三 个或三个以上的积的乘方，是否也具有 上面的 性质 ? 怎样用公式表示 ? (abc) n =a n ·b n ·c n 巩固新知 例 2 、 计 算 ： (1) (3 x ) 2 ; (2) ( - 2 b ) 5 ; (3) ( - 2 xy ) 4 ; (4) (-2 a 2 b 5 c) 3 . 例 3 、 若          比 较 a 、 b 、 c 的大小．   解： ∵ 又 ∵ ∴ 即 公式逆 用 ( ab ) n = a n · b n （ m , n 都是正整数） 反向使用 : a n · b n = ( ab ) n 计算 : (1) 2 3 ×5 3 ; (2) 2 8 ×5 8 ; (3) ( - 5) 16 × ( - 2) 15 ; (4) 2 4 × 4 4 ×( - 0.125) 4 ; (5)0.25 100 ×4 100 ; ( 6)8 12 ×0.125 13 . 1.(a 2 ) 4 等于 ( ) (A)2a 4 (B)4a 2 (C)a 8 (D)a 6 2. 计算 (-2x 2 ) 3 的结果是 ( ) (A)-2x 5 (B)-8x 6 (C)-2x 6 (D)-8x 5 巩固新 知 3. 计算： (1) (2)- m 2 ·(- m ) 3 . 4. 计算： (1)(-2 x 2 ) 3 - x 2 ·(- x ) 4 . (2)(2 a 2 ) 4 + ［ (2 a ) 2 ］ 3 - a 2 ·( a 2 ) 3 . 1. 下列计算正确的是 ( ) (A) a 3 a 2 = a 6 (B) a 2 + a 4 =2 a 2 (C)( a 3 ) 2 = a 6 (D)(3 a ) 2 = a 6 2. 若 3×9 m ×27 m =3 21 ，则 m 的值是 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 3. 化简 y 3 ·( y 3 ) 2 -2( y 3 ) 3 =_____. 4. 有一道计算题： (-a 4 ) 2 ，李老师发现全班有以下四种解法： ① (-a 4 ) 2 =(-a 4 )(-a 4 )=a 4 ·a 4 =a 8 ; ②(-a 4 ) 2 =-a 4×2 =-a 8 ; ③(-a 4 ) 2 =(-a) 4×2 =(-a) 8 =a 8 ; ④(-a 4 ) 2 =(-1×a 4 ) 2 =(-1) 2 ·(a 4 ) 2 =a 8 . 你认为其中完全正确的是 ( 填序号 ) _____. ① ④ 5. 先化简，再求值： 其 中 【 解析 】 x 3 ·(-y 3 ) 2 +(- xy 2 ) 3 当 时 ，原 式 小结 同底数幂的乘法运算法则： a m · a n = 幂的乘方运算法则 : ( a m ) n = ( m ， n 都是正整数 ) ( ab ) n = a n · b n （ m ， n 都是正整数） 积的乘方运算法则 a m+n a mn ( m ， n 都是正整数 ) 你学过的幂的运算有哪些 ? a · a · … · a n 个 a 幂的意义 : =a n 第一章 整式的乘除 3 同底数幂的除法 学 习 新 知 问题思考 一种液体每升含有 10 12 个有害细菌 , 为了试验某种杀菌剂的效果 , 科学家们进行了实验 , 发现 1 滴杀菌剂可以杀死 10 9 个此种细菌 . (1) 要将 1 升这种液体中的有害细菌全部杀死 , 需要这种杀菌剂多少滴 ? (2) 你是怎样计算的 ? (3) 你能再举出几个类似的算式吗 ? 1 . 怎样计算 10 12 ÷10 9 ? 同底数幂的除法法则 2 . 计算下列各式 , 并说明理由 ( m > n ) . (1)10 m ÷10 n ; (2)(- 3) m ÷(- 3) n ; 3 . 你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗 ? 注意 : ① 同底数幂除法运算中 , 相同底数可以是不为 0 的数字 、 字 母、单项式或多项式 . ② 同底数幂除法运算中 , 也可以是两个以上的同底数幂相除 , 幂的底数必须相同 , 相除时指数才能相减 . 归纳 : 同底数幂的除法法则 : 同底数幂相除 , 底数不变 , 指 数 相减 . 即 a m ÷ a n = a m - n ( a ≠0, m , n 都是正整数 , 且 m > n ) . 探索零指数幂与负整数指数幂 10 4 =10000,       2 4 =16, 10 (    ) =1000, 2 (    ) =8, 10 (    ) =100, 2 (    ) =4, 10 (    ) =10, 2 (    ) =2 . 1 . 做一做 : 2 . 猜一猜 : 下面的括号内该填入什么数 ? 你是怎么想的 ? 与同伴交流 . 10 (    ) =1,      2 (    ) =1, 10 (    ) =0 . 1, 2 (    ) = , 10 (    ) =0 . 01, 2 (    ) = , 10 (    ) =0 . 001, 2 (    ) = . 3 . 你有什么发现 ? 能用符号表示你的发现吗 ? 4 . 你的发现合理吗 ? 为什么 ? a 0 = 1 , 方法一 : 从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明 . 我们前面这样推导了同底数幂的除法法则 : 当 m = n 时 , 我们可以类似地得到 : 当 m < n 时 , 先设 p = n - m , 那么 m - n =- p , 也可以类似地得到 : ( a ≠ 0 , p 为正整数 ) . 方法二 : 从乘除法的逆运算关系来说明 . 因为 a m · a 0 = a m +0 = a m , 所以 a 0 = a m ÷ a m =1( a ≠0, m 为正整数 ) . 在这一结论的基础上再进一步得到 : 因为 a p · a - p = a p +(- p ) = a 0 =1, 所以 a - p =1÷ a p = ( a ≠0, p 为正整数 ) . 1 .a m ÷ a n = a m - n ( a ≠0, m , n 都是正整数 , 且 m > n ) . 同 底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减 . 2 .a 0 =1( a ≠0); a - p = ( a ≠0, p 是正整数 ) . 课堂小结 检测反馈 1 . 下列计算中错误的有 (    ) (1) a 10 ÷ a 2 = a 5 ;(2) a 5 ÷ a = a 5 ;(3)(- a ) 5 ÷(- a ) 3 = a 2 ;(4)3 0 =3 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 : (1)(2)(4) 错误 . 故选 C . C 2 . 计算 ( a 2 ) 3 ÷(- a 2 ) 2 的结果正确的是 (    ) A.- a 2 B. a 2 C.- a D. a 解析 : 原式 = a 6 ÷ a 4 = a 2 . 故选 B . B 解析 : 原式 =3 3 m ÷3 2 m ÷3=3 m - 1 . 故填 3 m - 1 . 3 . 计算 27 m ÷9 m ÷3=      .  3 m - 1 4 . 计算 . (1)( x - 2 y ) 4 ÷(2 y - x ) 2 ÷( x - 2 y ) . (2)[( x + y )( x - y )] 9 ÷( y - x ) 8 ÷(- x - y ) 9 . (2) 原式 =( x + y ) 9 ( x - y ) 9 ÷( x - y ) 8 ÷(- x - y ) 9 =- ( x - y ) = y - x. 解 : (1) 原式 =( x - 2 y ) 4- 2- 1 = x - 2 y. 学习新知 检测反馈 同 底数幂的 除法 （ 第 2 课时） 学 习 新 知 问题思考 同学们知道泰山和鸿毛有多重吗 ? 泰山约重 3240000 吨 , 鸿雁羽毛约重 0 . 00000087 吨 . 泰山的重量 3240000 吨 , 数值比较大 , 你能用科学记数法来表示吗 ? 较小的数也能用科学记数法来表示吗 ? 科学记数法的拓展延伸 2. 把下列小数用 a×10n(1≤a