北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称

第五章 生活中的轴对称 1 轴对称现象 1. 知道轴对称的概念 , 会识别简单的轴对称图形及其对称轴 . 2. 通过观察、折纸、图形欣赏感受对称的美感 . 3. 会设计简单的轴对称图形 , 深刻体会轴对称在生活中的广泛存在及应用价值 . 同 学们都知道故宫 , 一组规模如此宏大的建筑群 , 不但没有纷杂现象 , 反而给人以结构严谨和布局规整的感觉 , 最主要的原因在于建造中突出了一条极为明显的“中轴线” . 这条“中轴线”和整座北京城有机地结合为一体 , 使宫内重要建筑都在这条中轴线上 , 其他建筑东西对称分布 . 在这幅故宫的图片中 , 我们可以发现它是对称的 . 那么在数学中它叫做什么现象呢 ? 你能画出“中轴线”吗 ? “ 中轴线”又有什么作用呢 ? 1. 如图 , 从轴对称的角度来看 , 你觉得下面哪一个图形比较独特 ? 简单说明你的理由 . 解 : 图 (3) 比较独特 . 理由 : 因为图 (3) 有无数条对称轴 , 而图 (1),(2),(4),(5) 的对称轴都是 2 条 . 2. 小慧学习了轴对称知识后 , 忽然想起了过去做过的一道题 : 有一组数排列成方阵 , 如图所示 , 试计算这组数的和 . 小慧想 , 方阵就像正方形 , 正方形是轴对称图形 , 能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢 ? 小慧试了试 , 竟得到了非常巧妙的方法 , 你也来试试看吧 ! 解 : 从方阵中的数看来 , 一条对角线上的数都是 5, 若把这条对角线当作轴 , 把正方形对折一下 , 对折位置的两数之和都是 10, 如右图 , 这样方阵中数的和为 10×10+5×5=125. 轴对称图形和成轴对称的图形的异同 : 第五章 生活中的轴对称 2 探索轴对称的性质 1. 知道轴对称图形的性质 . 2. 会按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形 . 3. 体验轴对称在现实生活中的应用 , 并能运用轴对称的性质设计图案 . 小 明经过上节课的学习 , 利用轴对称完成了一只漂亮的蝴蝶图案 , 但小华不小心把纸污损了一部分 , 如图所示 . 那么小华应该怎样把“蝴蝶”恢复原样呢 ? 轴对称又有哪些性质呢 ? 1. 完成 课本“做一做” , 回答下列问题 . 过点 A 画对称轴 l 的垂线 , 设垂足为 B; 延长 AB 至 A', 使得 BA'=AB, 则点 A' 就是点 A 关于直线 l 的对称点 . (1) 如图 , 如何画点 A 关于已知直线 l 对称的点 A'? 找 ( 画 ) 对应点的依据是什么 ? 对应点所连线段被对称轴垂直平分 . (2) 在完成图案的过程中 , 你采用了哪些方法步骤 ? 找出半个图形的关键点 , 确定这些点关于对称轴的对应点 , 再顺次连接 . 2. 有两村庄在公路 l 的两旁 , 如下图 , 现在要在公路 l 上修一个停车点 C, 并从停车点 C 到 A,B 两村庄各修建一条公路 , 问停车点 C 建在何处能使 C 到 A 和 B 的路程和最小 ? 在图中画出 C 的位置 , 并说明理由 . 解 : 连接 AB 交 l 于点 C, 则停车点修在 C 处就能使 A,B 到 C 的路程和最小 . 理由是 : 两点间的距离 , 线段最短 . 如图 , 假如不在 C, 在 C' 处 , 连 AC',BC', 则 AC'+BC'>AB. 3. 在上面的问题中 , 如果 A,B 村庄在 l 的同旁 , 如下图 , 停车点 C 建在何处能使 C 到 A 和 B 的路程和最小 ? 在图中画出 C 的位置 , 并说明理由 . 解 : 作点 A 关于 l 的对称点 A1, 连接 A1B 交 l 于点 C, 车站建设在 C 处能使 C 到 A 和 B 的路程和最小 . 理由如下 : 根据轴对称的性质知道 ,AC=A1C. 所以 AC+CB=A1C+CB. 而 A1,B 之间 ,A1B 最短 . 因此 ,A,B 到 C 的路程和最小 . 轴对称图形和成轴对称的两个图形都具有以下性质 : (1) 对应点的连线被对称轴垂直平分 ; (2) 对应线段相等 , 对应角相等 . 第五章 生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （ 对折 ） 情境问题一 C 结论： 角 是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线 . A B O 有 一个简易平分角的仪器（如图），其中 AB=AD,BC=DC , 将 A 点放角的顶点， AB 和 AD 沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是∠ BAD 的平分线，为什么？ 对 这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？ 情境问题二 证明： 在△ ACD 和△ ACB 中 AD=AB （已知） DC=BC （已知） CA=CA （公共边） ∴ △ ACD≌ △ACB （ SSS ） ∴∠ CAD=∠CAB （全等三角形的对应边相等） ∴ AC 平分∠ DAB （角平分线的定义） A D B C E 根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） O A B C E N O M C E N M ２ ． 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 的内部交 于点Ｃ ． 用尺规作角的平分线的方法 A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法：    １ ． 以点Ｏ 为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ３ ． 作射线 OC ． 则射线ＯＣ即为所求． 将∠ AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 情境问题三 (2) 猜想 : 可 以看一看 , 第一条折痕是∠ AOB 的平分线 OC, 第二次折叠形成的两条折痕 PD,PE 是角的平分线上一点到∠ AOB 两边的距离 , 这两个距离相等 . 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 探究角平分线的性质 已知：如图， OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别是 D ， E 。 求证： PD=PE 证明：∵ PD⊥OA ， PE⊥OB （已知） ∴∠ PDO=∠PEO=90 （垂直的定义） 在△ PDO 和△ PEO 中 ∴ PD=PE （全等三角形的对应边相等） ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌ △ PEO （ AAS ） D P E A O B C (3) 验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角平分线上的点到角两边的距离相等。 (4) 得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程 ? 角平分线的性质 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵ ∠ 1= ∠ 2 ， PD ⊥OA ， PE ⊥ OB ， ∴ PD=PE.( 角 的 平分线上的点到角的两边的距离相等 ) 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 B A D O P E C 定理应用所具备的条件： （ 1 ）角的平分线； （ 2 ）点在该平分线上； （ 3 ）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 O A B C E D P 辨一辨 如图， OC 平分∠ AOB ， PD 与 PE 相等吗？ （ 1 ）∵ 如图， AD 平分∠ BAC （已知） ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个 角 的 两边的距离相等。 BD CD （ × ） 判断： （ 2 ）∵ 如图， DC⊥AC ， DB⊥AB （已知） ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角 的两 边 的距离相等。 BD CD （ × ） （ 3 ）∵ AD 平分∠ BAC, DC⊥AC ， DB⊥AB （已知） ∴ = ，（ ） DB DC 在 角的平分线上的点到这个角的两边的 距离 相等。 不必再证全等 1 、 在 Rt△ABC 中， BD 是角平分线， DE⊥AB ，垂足为 E ， DE 与 DC 相等吗？为什么？ A B C D E 2 、 如图 ,OC 是∠ AOB 的平分线 , 点 P 在 OC 上 ,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是 D 、 E,PD=4cm , 则 PE=__________cm. A D O B E P C 4 3 、 已知△ ABC 中 , ∠C=90 0 ,AD 平分∠ CAB, 且 BC=8, BD=5 , 求点 D 到 AB 的距离是多少？ A B C D E 你会吗？ 思考： 第五章 生活中的轴对称 4 利用轴对称进行设计 “ 对称是一种思想 ，通过它，人们毕生追求，并创造次序 、 美丽和完善 …” 在我们生活的世界中，许多美丽的事物都是利用轴对称设计的，它们不仅装点了我们的生活，更让我们感受到了自然界的美与和谐。下面就让我们动脑动手发现美 、 感受美 、 创造美。 京剧脸谱 民间剪纸艺术 教你学剪纸 取 一张长 30 厘米、宽 6 厘米的纸条，将它每 3 厘米一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画出字母 E 。用小刀把画出的字母 E 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母 E 为图案的花边。 做一做 在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？ 如 图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，将得到的角形纸沿图中的黑色线剪开，去掉含 90° 角的部分，打开折叠的纸，并将其铺平。 如果将正方形纸按上面方式对折 3 次（如图所示），然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？你能画出展开后的图形吗？ 实践升华 轴对称的性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。 D / C / A / B / A B C D ∟ ∟ ． A ∟ O l 过点 A 作对称轴 l 的垂线，垂足为 O, 延长 AO 至 B ，使得 AO=BO. 点 B 就是点 A 关于直线 l 的对应点。 B ． 如 果将正方形纸按上面方式对折 3 次（如图所示），然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？你能画出展开后的图形吗？ 总结：当纸对折 2 次后，剪出的图案至少有几条对称轴？ 3 次呢？ 观 察图案分析： （ 1 ）它们是轴对称图形吗？ （ 2 ）生活中这些图案可以代表什么含义？ 走进生活，动手创作 A B C A B C A B C 已知△ ABC 和直线 l ，请以直线 l 为对称轴，做出△ ABC 的轴对称图形。 能力挑战 1 ． 利用两个圆 、 两条线段 、 两个三角形设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图和要表达的含义。 动手动脑 创新设计 动手动脑 创新设计 2 、自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图。 作品展示