北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系

第三章 变量之间的关系 1 用表格表示的变量间关系 1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与 变量；了解自变量与因变量的意义;（重点） 2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格 表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步 的预测．（难点） 学习目标 我们生活在一个变化的世界中,很多东西都在悄 悄地发生变化. 你能从生活中举出一些发生变化的例子吗？ 情境导入 变量与函数 讲授新课 1.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约 是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁 时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍. 自主探究 年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重 /千 克 （ 1 ）上述的哪些量在发生变化？ （ 2 ）某婴儿在出生时的体重是 3 . 5 千克，请把他在发 育过程中的体重情况填入下表： （ 3 ）根据表中的数据，说一说儿童从出生到 1 0 周岁之 间体重是怎样随着年龄的增长而变化的 . 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5 体重 2.王波学习小组做了一个实验:小车下滑的时间. 这个小组利用同一块木板，测量小车从不同的高度 下滑的时间，然后将得到的数据填入下表： 支撑物 高度 (厘米) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 小车下 滑 时间(秒) 2 0 40 60 80 100 单位:cm 下面是王波学习小组得到的数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 （1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？ 4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00 根据上表回答下列问题： 支撑物高度 /厘米 小车下滑时 间 /秒 h t 演示 1.23 0.55 0.32 0.24 0.18 0.12 0.09 0.09 0.06 1.59秒 下面是王波学习小组得到的数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00 根据上表回答下列问题： 支撑物高度 /厘米 小车下滑时 间 /秒 h t （2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时 间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ 变小 下面是王波学习小组得到的数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00 根据上表回答下列问题： 支撑物高度 /厘米 小车下滑 时间 /秒 h t （3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？ 不同 下面是王波学习小组得到的数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00 根据上表回答下列问题： 支撑物高度 /厘米 小车下滑 时间 /秒 h t （4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎 样估计的？ 估计是1.30秒,因为时间越来越少. 下面是王波学习小组得到的数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00 根据上表回答下列问题： 支撑物高度 / 厘米 小车下滑 时间 /秒 h t （5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？ 哪些量始终不发生变化？ 时间发生了变化，木板的长度没变化. 在《小车下滑的时间》 中： 支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都 是变量(variable). 支撑物的高度h是自变量 (independent variable). 小车下滑的时间t是因变量 (dependent variable)。 借助表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况。 其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。 小车下滑的距离（木板长度)一直没有变化.在变化过程 中始终不变的量叫常量 变 量 1.自变量是在一定范围内主动变化的量。 2.因变量是随自变量变化而变化的量。 自变量 因变量 主动变化的量 被动变化的量 在变化过程中，若有两个变量x和y, 其中y随着x 的变化 而发生变化，我们就把x叫自变量，y叫因变量。 3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况， 还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测。 我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精 确到0.01亿）： 时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 议一议 (1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着 x的变化，y的变化趋势是什么？ 增大 我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确 到0.01亿）： 时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 议一议 (2)x和y哪个是自变量?哪个是因变量? x是自变量，y是因变量. 我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确 到0.01亿）： 时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 议一议 (3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样 变化的？ 越来越多 我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确 到0.01亿）： 时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 议一议 (4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？ 超过13亿 例 父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”， 并且出示了下面的表格： 父亲给小明出了下面几个问题，请你和小明一起 回答： 典例精析 根据规律，高度每升高1千米，温度降低6℃， 所以距离地面6千米时的温度是－10－6=－16(℃). (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么 随着h的变化，t如何变化？ 随着h的升高，t在降低. (2)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？－10℃. (3)你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？ 1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变 化而变化.在这一问题中，自变量是( ) A.沙漠 B.体温 C.时间 D.骆驼 当堂练习 【解析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化， 所以自变量是时间. C 2.对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是( ) A.π，R是变量，2是常量 B.R是变量，π是常量 C.C是变量，π，R是常量 D.C，R是变量，2，π是常量 【解析】选D.因为常量就是在变化过程中不变的量，变 量是指在变化过程中发生变化的量.所以C，R是变量，2， π是常量. D 3.某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表: （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？自变量和 因变量各是什么？ （2）12小时，水位是多少？ （3）哪一时段水位上升最快？ 6 5 4 32.52水位/米 20 16 12 840时间/小时 8 24 时间与水位的关系，自变量是时间，因变量是水位. 4米. 20到24小时. 4.下表所列为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560 元，随着不同幅度的降价，日销量(单位：件)发生相应 的变化(如表)： 这个表反映了____个变量之间的关系，______是自变 量，________是因变量.从表中可以看出每降价5元，日 销量增加____件，从而可以估计降价之前的日销量为 ____件. 两 降价 日销量 30 750 5.研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆 的产量与氮肥的施用量有如下关系： (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变 量？哪个是因变量？ 氮肥施用量(自变量) 土豆产量(因变量) (2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多 少？如果不施氮肥呢？ (3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时 比较适宜？说说你的理由. (4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响. 32.29吨 不施氮肥，土豆产量减少. 氮肥产量是336吨时比较适宜，因为此时土豆产量 最高 随着氮肥的增多土豆产量先增多，后减少，所以 氮肥要适量. 排数 1 2 3 4 座位数 60 64 68 72 (1)上述哪些量在变化？自变量和因变量分别是什么？ (2)第5排、第6排各有多少个座位？ (3)第n排有多少个座位？请说明你的理由. 某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置： 思考： 1.自变量是在一定范围内主动变化的量. 2.因变量是随自变量变化而变化的量. 自变量 因变量 被动变化的量 变量 主动变化的量 3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情 况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测. 课堂小结 第三章 变量之间的关系 2 用关系式表示的变量间关系 回顾与思考• 在“小车下滑的时间”中 • 支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化， 它们都是变量. • 其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化 而变化, • 支撑物的高度h是自变量 • 小车下滑的时间t是因变量 观察思考 • 确定一个三角形面积的量有哪些？ • 三角形的底和高 • 请同学们欣赏“变化中的三角形” DB C A 诱导探究 • 如图，△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形 的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的 面积发生了怎样的变化？ • （1）在这个变化过程中自 变量和因变量分别是什么？ • 三角形的底边长度是自变量 • 三角形的面积是因变量 诱导探究 • 如图，△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形 的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形 的面积发生了怎样的变化？ • （2）如果三角形的底边长 为x（厘米），那么三角形 的面积y（厘米2）可以表示 为_____________。y=3x 诱导探究• 如图，△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形 的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的 面积发生了怎样的变化？ • （3）当底边长从12厘米变 化到3厘米时，三角形的面 积从________厘米2变化到 _________厘米2. 36 9 学习新知 • y=3x表示了 和 之间的关系，它是变量ｙ随ｘ变化的关系式。 • 注意：关系式是我们表示变量 之间关系的另一种方法，利用 关系式，如y=3x，我们可以根 据任何一个自变量值求出相应 的因变量的值。 三角形底边长三角形面积 巩固提高 你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ 其中的字母表示什么？ hrV 2 3 1 巩固提高• 圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大 变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 • （1）在这个变化过程中， 自变量、因变量各是什么？ • 圆锥的底面半径的长度是自变量 • 圆锥的体积是因变量 巩固提高 • 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半 径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了 变化。 • （2）如果圆锥底面半径为 r（厘米），那么 圆锥的体积v（厘米3）与r的关系式为 ______________. 2 3 4 rV  巩固提高 • 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半 径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了 变化。 • （3）当底面半径由1厘米变 化到10厘米时， 圆锥的体积由 厘米3 变化到     厘米3 。  3 4  3 400 合作交流 议一议： • 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是 指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、 特别是二氧化碳的排放量的一种方式。 合作交流 议一议： • （1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表 示为_________，其中的字母表示 ________________。 合作交流议一议： • （2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h， 二氧化碳排放量增加___________。当耗电量 从1 KW·h增加到100 KW·h时，二氧化碳排放量从 _______增加 到_____________。 合作交流 议一议： • （3）小明家本月用电大约110 KW·h、天然气20m3、 自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的 二氧 化碳排放量。 随堂练习 • 1、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关 系可以近似地用 来表示，根据这个关系式，当d的 值分别是200，400，600， 800，1000时，计算相 应的T值， 并用表格表示所得结果。 随堂练习 • 2、仿照“议一议”中的（2），你能说一说家用自 来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变 化的情况吗？ 反思升华 • 同学们经过本节课的学习你有哪些收获？ 1.会用关系式表示两个变量之间的关系； 2.能利用关系式求值。 第三章 变量之间的关系 3 用图象表示的变量间关系（第1课时） 1.能结合具体情境,说出图象上的点所表示的意义. 2.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言 进行描述. 夏天的时候,一杯开水放在桌面上,其水温T与放置 时间t的关系如何用图象大致表示?在这个未知的图象 里,究竟哪个量是自变量?哪个量是因变量? 带着这样的问题,开始我们今天的学习吧! 1.如何理解图象上某点的意义? 一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量;二要看该点所 在的水平方向、竖直方向的位置,这样才能得到该点 的正确意义. 2.用图象法表示变量之间的关系,有何优缺点? 优点:直观形象,可以形象地反映出事物变化的全过程、 变化的趋势和某些性质(如因变量的增减变化、最大或 最小值等),比如在温度与时间图象中,一眼就可看出什 么时间,一天温度达到最高;什么时间,一天温度达到最 低.同时,还能观察出在什么时段内温度在上升,什么时段 内温度在下降.直观、形象、生动. 缺点:图象是近似的、局部的,由观察图象确定的因变量 的值往往不够准确.   图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的 特点是非常直观.用图象表示变量之间的关系时,通常用 水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用竖直方 向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量. 第三章 变量之间的关系 3 用图象表示的变量间关系 第2课时 1.能通过速度随时间变化的实际情境,分析变量之间的关 系. 2.能结合从图象中所获得的信息,应用所学知识进行简单 的计算分析. 每一辆汽车上都有一个时速表,用来指示汽车当时的速 度,但是如果要想知道汽车速度的变化,我们就需要借助图象表 示.那么如何用图象表示呢?在一个有关速度的图象中,怎样来 刻画速度的变化及其变化的趋势?带着这些问题,开始我们今 天的学习吧! 1.如何分析路程、速度、时间等的折线图象? 第一步看图象表示的是速度、时间之间的关系还是路 程、时间之间的关系;第二步根据图象的特征以拐点为 分界点,弄清第一段图象的变化趋势,然后再分段弄清每 一段图象的意义,明确所要解决的问题,再根据问题,提取 对解决问题有用的信息. 2.已知小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家 去食堂吃早餐,接着去图书馆读书,然后回家.下图反映了 这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系. 根据图象回答下面的问题. (1)上图是由5条线段组成的折线,其中每条线段的左、右 端点的横坐标之差表示什么?纵坐标之差表示什么? 每条线段的左、右端点的横坐标之差表示每个活动所 用时间,纵坐标之差表示不同活动地点之间的距离. (2)上图中有两条与横轴平行的线段,表明了什么?它们分 别对应什么活动? 说明时间在改变,但是离出发点的距离没变.第一段对应 小明在食堂吃早餐,第二段对应小明在图书馆读书. 1.表示两个变量之间关系的方法有三种:用表格表示、用 关系式表示、用图象表示. 2.在速度随时间变化的图象中,“水平线”表示不变,“上升 的线”表示增大,“下降的线” 表示减小.