北师大版七年级数学下册第四章三角形

第四章 三角形 1 认识三角形（第1课时） 1.能结合具体实例,进一步认识三角形的概念及基本要素, 发现三角形三个内角的和为180°. 2.能按角的大小将三角形分成三类,能根据所给的已知角判 断三角形的形状. 3.能应用三角形内角和定理求三角形的内角. 如图,按规定,一块模板中AB,CD的延长线应相交 成85°角,因交点不在模板上,不便测量,工人师傅连接 AC,测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时AB,CD的延长 线相交所成的角是不是符合规定?为什么? 1.以小组为单位,充分利用课前准备的任意三角形纸片,探 索验证三角形内角和为180°的方法,然后各小组选派代表 展示设计的方案并陈述理由. 解:附学生设计的验证方法: 2.请尝试解决“问题导引”中的问题. 解:不符合.因为AB,CD的延长线相交所成的角的度数 为180°-(∠BAC+∠DCA)=180°-(32°+65°)=83°,比规定 的85°的夹角小了2°. 1.三角形三个内角的和等于180° . 2.三角形按内角的大小分类: (1)锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形; (2)直角三角形:有一个内角为直角的三角形; (3)钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形. 3.直角三角形的两个锐角互余. 第四章 三角形 1 认识三角形 第2课时 1.能结合具体实例,认识等腰三角形和等边三角形的 概念及基本要素. 2.在度量三角形边长的实践活动中,理解并掌握三角 形三边之间的不等关系及其应用. 通过上一节课的学习,我们认识了三角形,并知道 了它的三个内角之间存在的数量关系(三角形三个内角 之和等于180°),那么它的三边之间是否也存在着某种 数量关系呢? 1.丹丹要制作一个三角形铁丝架,已知有两根铁丝的长度 分别是3 cm,5 cm. (1)她该如何选择第三根铁丝? 你能帮助丹丹确定它的长 度或范围吗? 解:第三根铁丝长的取值范围为大于2 cm且小于8 cm. (2)如果要求第三根铁丝的长度是整数,那么丹丹有几种选 择? 解:第三根铁丝的长度可以是3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm. 2.已知a,b,c,其中a=2,b=5,c是奇数. (1)求c的值; (2)判断△ABC的形状. 解:(1)c=5; (2)等腰三角形. 1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三边均相等的 三角形叫做等边三角形,也叫正三角形,它是等腰三角形的 特殊情况. 2.已知三条线段的长,要判断这三条线段能否围成三角形, 只需要用三边关系验证即可(用较小的两边的和与最大边 进行比较). 第四章 三角形 1 认识三角形 第3课时 1.会识别三角形的中线和角平分线,并会利用量角器、 刻度尺和折纸等工具画三角形的中线和角平分线. 2.通过折纸和画图等方法认识三角形的中线、角平 分线的定义和性质. 一块三角形卡片,以三角形内一个点为支点就能 将整个三角形卡片支起而不会掉落,你知道怎么实现 吗?这个支点该如何确定呢? 1.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周 长为25 cm,求△ADC的周长. 解:△ADC的周长为20 cm. 2.思考:一块三角形的煎饼,要把它分成面积大小相同的4 块,应该怎样分?你有多少种分法?如果限定只能切三刀 呢?小组讨论一下! 略. 1.三角形的内角平分线和中线是三角形中两条重要的线 段.三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心; 三角形的三条角平分线也交于一点. 2.角平分线伴随着等角出现,中线伴随着相等的线段出现, 而且中线还能平分三角形的面积.在解决问题时,考虑的情 况要全面,必要时要分类讨论. 3.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一 隐含的条件. 第四章 三角形 1 认识三角形 第4课时 1.能说出三角形的高的概念,并能在具体的三角形中作 出它们的高. 2.通过观察、猜想及画图、折纸等操作发展空间观念, 体验三角形的三条高所在直线交于一点. 小明猜想:图1中三角形的面积是图2中三角形的 面积的2倍.他算出图1中三角形的面积是2,但在计算 图2中三角形的面积时遇到了困难,他找不到对应的 底和高,你能帮助他吗? 1.讨论并解决“问题导引”的问题. 底是2,高是1,面积为1. 2.已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形 ,A,B 两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方 格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形的面积为1,求点C 的个数并一一标出. 6个,标出略. 1.三角形的高的定义: 从三角形的一个顶点向它的对边所 在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 ,简称三角形的高. 2.三角形的三条高的特性: 3.作用: (1)利用三角形的高可以求三角形的面积; (2)可以把任意三角形分成一些直角三角形. 第四章 三角形 2 图形的全等 1.知道图形全等的意义及图形全等的特征. 2.能说出全等三角形的概念及表示方法,会找全等三角形的对应顶点、对应 边、对应角. 3.知道全等三角形的性质,会运用它们进行简单的推理和计算,能解决一些实 际问题. 如图,在图1中,把△ABC沿直线BC平移,得到△DEF;在图 2中,把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC;在图3中,把 △ABC绕点A旋转180°,得到△AED.各图中的两个三角形的 大小、形状相同吗?它们是全等图形吗? 1.请拿着前面制作好的两个三角形纸板,将它们重合在一 起,与小组成员一起,将其中一个三角形纸板按“问题导引 ”中的方式进行平移、翻转、旋转操作,并回答其中的问 题. 略. 2.沿着图中的虚线,分别把下面的图形划分为两个全等图 形(至少找出两种方法),并与小组成员进行交流. 解:方法如下(答案不唯一): 1.两个能够完全重合的图形称为全等图形;全等图形的形状 和大小都 ,周长和面积都 . 2.全等三角形的对应边 ,对应角 . 3.寻找对应边和对应角的方法: (1)书写两个三角形全等时,应把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上,因此可以直接利用表达式找对应边和对应角. (2)对应角的对边一定是对应边,对应边的对角一定是对应角, 对应角的夹边一定是对应边,对应边的夹角一定是对应角;公 共角是对应角,对顶角是对应角,公共边是对应边. 相同 相等 相等 相等 第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件（第1课时） 1.能记住三角形全等的“SSS”判定条件及三角形的稳 定性. 2.经历对三角形全等的分析与画图,归纳获得三角形全 等的条件并会利用. 如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他 手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在 BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量出DE的长为 a米,FG的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是相等的.你想知 道其中的奥秘吗?让我们一起来探索吧! 1.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗? 为什么? 解:不一定全等,因为三角形边的长度不确定. 2.一个四边形的门框,为使其牢固,请用木条加固,你能找出 几种方法?最少用几根木条?理由是什么? 解:最少一根木条,理由是三角形具有稳定性. 3.仪器ABCD可以用来平分一个角,其中AB=AD,BC=DC, 将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使 它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,AE就是 ∠PRQ的平分线. 你能说明其中的道理吗? 解:因为△ABC ≌ △ADC(SSS), 所以∠BAC=∠DAC. 第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件 第2课时 1.通过作图、思考、探索出全等三角形的 “ASA”“AAS”的判定方法. 2.能说出判定三角形全等的“ASA”“AAS”的内容,并 会运用它们解决简单的数学问题. 如图,某同学不慎将一块三角形玻璃模具打碎成了三 块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,配到一 块与原来一样的三角形模具?如果可以,带哪块去合适? 为什么? 1.解决课本“想一想”提出的问题,并与小组成员交流一下. 略. 2.解决“问题导引”中提出的问题. 只需带③去,根据“ASA”可判断两个三角形全等,即可配到 一块与原来一样的三角形模具. 1.两角和它们的   分别相等的两个三角形全等,简写成 “角边角”或“ASA”. 2.两角和  分别相等的两个三角形全等,简写 成“角角边”或“AAS”. 夹边 其中一角的对边 第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件 第3课时 1.通过动手实践,探讨出全等三角形的“SAS”的判定 方法. 2.能说出“SAS”的内容,能运用“SAS”来判定两个三 角形全等. 已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm,一个内角 为40°. 你能借助图1画出一个满足题设条件的三角形吗?小明和 小颖按照所给的条件分别画出了图2和图3,由此你发现了什么 ? 1.讨论并解决“问题导引”中的问题. 略. 2.如图,∠B=∠E,AB=EF,BD=EC,那么△ABC与△FED 等吗? 为什么?AC∥FD吗? 为什么? 解:全等. 因为BD=EC, 所以BD-CD=EC-CD,即BC=ED. 因在△ABC与△FED中, 为AB=EF ,∠B=∠E ,BC=ED, 以△ABC ≌ △FED(SAS). 所以∠ACB=∠FDE.所以∠ACD=∠FDC. 所以AC∥FD. 判定两个三角形全等的思路: (1)至少应找出一组对应边相等. (2)根据已知条件寻找合适的判定方法: 已知两边想到用SAS或SSS;已知一角一边想到用SAS 或ASA或AAS;已知两角想到用ASA或AAS. 第四章 三角形 4 用尺规作三角形 1.能根据不同的条件(两角夹边、两边夹角、三边)利用尺规 作出三角形;能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程 和结果的合理性. 2.在实践操作的过程中,逐步规范作图语言. 3.能根据规范的作图语言,作出相应的三角形. 如图,小红在作业本上画的三角形被墨汁污染了,若 要画出一个与原来一样的三角形,她该怎么办呢?请帮助 小红想出一个办法来,并说明你的理由. 1.讨论并解决“问题导引”的问题. 略. 2.完成课本最上面的作图并回答问题. (1)作法: ①作一条线段BC=a; ②分别以B,C为圆心,c,b长为半径画弧,两弧交于点A; ③连接AB,AC. △ABC就是所求作的三角形. (2)全等.利用SSS可说明. 1.用尺规作三角形,需要给出有关三角形的 个条件. 2.给出三角形的两边及其夹角、两角及其夹边、三条 边,都可以画出唯一的三角形. 3.当已知两边及夹角时可以确定一个三角形,因此可以 用来判定两个三角形全等;当已知两边及一边的对角时 ,会画出两个不同的三角形,因此不能用来作为判定两 个三角形全等的条件. 3 第四章 三角形 5 利用三角形全等测距离 1.会利用三角形全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联 系. 2.会构建全等三角形,体会转化思想. 3.会在利用三角形全等解决问题的过程中进行有条理地思考 和几何表达. 小华在上周末游览风景区时,看到了一个美丽的池塘,他 想知道最远两点A,B之间的距离,但是他没有船,不能直接去 测.手里只有一根绳子和一把尺子,他怎样才能测出A,B之间 的距离呢? 1.讨论并解决“问题导引”中的问题. 方案一: 在能够到达A,B的空地上取一适当点C,连接AC,并延长 AC到D,使CD=AC,连接BC,并延长BC到E,使CE=BC,连 接ED. 则只要测ED的长就可以知道AB的长了. 理由:在△ACB与△DCE中, 因为AC=CD,∠BCA=∠ECD,BC=CE, 所以△ACB≌△DCE(SAS). 所以AB=DE(全等三角形的对应边相等). 方案二: 如图,先作三角形ABC,再找一点D,使BD∥AC,并使 BD=AC,连接CD,CD的长即为AB的长. 理由:连接BC. 由BD∥AC,可得∠DBC=∠BCA. 在△ACB与△DBC中, 因为AC=BD,∠DBC=∠BCA,BC=CB, 所以△ACB ≌ △DBC(SAS). 所以AB=CD. 其他方案略. 2.如图,要计算一个圆柱形容器的容积,需要测量其内径, 由于瓶颈较小,无法直接测量,你能想出一种测量方案吗? 略.   要测量无法直接得到的两点之间的距离时,常常要 构造全等三角形,利用全等三角形的对应边相等,从而得 到所要求的距离.在测量的过程中,要注意利用已有的条 件和选择适当的方法,测量方法越简便越准确越好.