北师大版七年级数学下册第六章概率初步

第六章 概率初步 1 感受可能性 1. 会对 必然事件，不可能事件和随机事件 作出准确 判断 . （重点） 2. 归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点 . （难点） 3. 知道事件发生的可能性是有大小的 . 学习目标 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ （ 1 ）太阳从西边落下； （ 2 ）某人的体温是 100℃ ； （ 3 ） a 2 + b 2 =-1( a ， b 都是有理数）； （ 4 ）水往低处流； （ 5 ）一年有三个季节 . 导入新课 问题引入 一 休得罪了幕府将军，将军决定处罚一休，幸得安国寺长老和百姓们的求情，将军终于同意让一休用自己的聪明才智来决定自己的命运 . 1. 方法是将军写下两张签，一张罚，一张免，让一休抽签 , 抽中罚则罚 , 抽中免则免； 2. 将军一心想处罚一休，将军会在写签时怎么写呢？原来将军在两张签上都写上了“罚” . 一休不论抽到哪一张都一样要罚 . 爱动脑筋的一休早就料到了这一点 . 一休会用什么办法应对狡诈的幕府将军呢？ 讲授新课 必然事件、不可能事件、随机事件 一 互动探究 活动 1 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数 . 请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面： （ 1 ）可能出现哪些点数？ （ 2 ）出现的点数是 7 ，可能发生吗？ （ 3 ）出现的点数大于 0 ，可能发生吗？ 1 点， 2 点， 3 点， 4 点， 5 点， 6 点，共 6 种 不可能发生 一定会发生 在一定条件下，能事先肯定它一定不会发生的事件叫作 不可能事件 . 在一定条件下，能事先肯定它一定会发生的事件叫作 必然事件 . （ 4 ）出现的点数是 4 ，可能发生吗？ 在一定条件下，事先无法肯定定它会不会发生的事件叫作 随机事件 . 可能发生，也可能不发生 活动 1 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序 . 为了抽签，我们在盒中放五个完全一样的纸团，每个纸团里分别写着表示出场顺序的数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 把纸团充分搅拌后，小颖先抽签，她任意（随机）从盒中抽取一个纸团 . 请考虑以下问题： （ 1 ）抽到的序号有几种可能的结果？ （ 2 ）抽到的序号是 0 ，可能吗？这是什么事件？ （ 3 ）抽到的序号小于 6 ，可能吗？这是什么事件？ （ 4 ）抽到的序号是 1 ，可能吗？这是什么事件？ 5 种 不可能 一定会 可能 不可能事件 必然事件 随机事件 （ 1 ）上述两个活动中的随机事件和不可能事件的区别 在哪里？ （ 2 ）怎样的事件称为随机事件呢？ 前者在发生之前不可预测；后者在发生之前可以 预测发生结果 . 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称 为随机事件 . 思考 相传古代有个王国，国王非常阴险而多疑，一位正直的大臣得罪了国王，被叛死刑，这个国家世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”（写着“生”和“死”的两张纸条），犯人当众抽签，若抽到“死”签，则立即处死，若抽到“生”签，则当众赦免 . 国王一心想处死大臣，与几个心腹密谋，想出一条毒计： 嘿嘿 , 这次非让你死不可 ! 生死签 趣味阅读 暗中让执行官把“生死签”上都写成“死”，两死抽一，必死无疑 . 然而，在断头台前，聪明的大臣迅速抽出一张签纸塞进嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了 .” 剩下的当然写着“死”字，国王怕犯众怒，只好当众释放了大臣 . 嘿嘿 , 这次非让你死不可 ! 老臣自有妙计！ （ 1 ）在 法规 中，大臣被处死是什么事件？ （ 2 ）在 国王的阴谋 中，大臣被处死是 什么事件 ？ （ 3 ）在 大臣的计策 中，大臣被处死是什么事件？ 随机事件 必然事件 不可能事件 袋中装有 4 个黑球， 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球 . 摸球试验 （ 1 ）这个球是白球还是黑球？ （ 2 ）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球 和 摸出白球的可能性一样大吗？ 可能是白球也可能是黑球 . 摸出黑球的可能性大 . 随机事件发生的可能性 二 结 论： 由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性的大小是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性 . 球的颜色 黑 球 白 球 摸取次数 5 3 想一想： 能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？ 解：可以 . 例如：白球个数不变，拿出两个黑球或黑球个数不变，加入 2 个白球 . 通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什么启示？ 一般地， 1. 随机事件发生的可能性是有大小的； 2. 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同 . 要点归纳 随机事件的特点 1. 下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件 ? （ 1 ）太阳从东边升起 . （必然事件） （ 2 ）篮球明星林书豪投 10 次篮，次次命中 . （随机事件） （ 3 ）打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片 . （随机事件） （ 4 ）一个三角形的内角和为 181 度 . （不可能事件） 当堂练习 2. 如果袋子中有 4 个黑球和 x 个白球，从袋子中随机摸出一个，“摸出白球”与“摸出黑球”的可能性相同，则 x = . 3. 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3:7 ，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”发生的可能性（ ）“落在陆地上”的可能性 . A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 三种情况都有可能 4 A 4. 桌上扣着背面图案相同的 5 张扑克牌，其中 3 张黑桃、 2 张红桃 . 从中随机抽取 1 张扑克牌 . （ 1 ）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ （ 2 ）你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？ （ 3 ）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？ 解：（ 1 ）不能确定； （ 2 ）黑桃； （ 3 ）可以，去掉一张黑桃或增加一张红桃 . 拓展提升： 你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语吗？数量不限，尽力． 如：必然事件 ：    随 机事件 ：    不可能事件： 种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明 . 海市蜃楼，守株待兔 . 海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长 . 随机事件 事件 特点： 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同 . 事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性 . 不可能事件 必然事件 定义 特点 课 堂 小 结 第六章 概率初步 2 频率的稳定性 【思考】 小明经过 50 次试验，求得某一事件发生的频率为 0.8 ，由此他判断该事件发生的概率为 0.8 ，对吗？ 提示： 不正确，由频率估计概率，需要大量的试验，仅仅 50 次，不足以说明 . 情境引入 探究点 用频率估计概率 【例】某 商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10 000张奖券的抽奖结果如下： 合作探究 (1) 求“紫气东来”奖券出现的频率 . (2) 请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由 . 【规范解答】 (1) , 即“紫气东来”奖券出现的频率为 5 % (2)平均每张奖券获得的购物券金额为 100 × + + 0× = 14 (元) 因为 14 ＞10， 所以选择 抽奖 更合算 . 特别提醒： 抽奖获得购物券是得到金额的平均数 . 根据频率求概率要找准两点 (1) 符合条件的情况数目 . (2) 全部情况的总数 . 二者的比值就是其发生的概率 . 课堂小结 1. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1 000 次 . 经过统计得“凸面向上”的频率约为 0.44 ，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 ( ) (A)0.22 (B)0.44 (C)0.50 (D)0.56 【解析】 选 D. 瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为 0.44 ，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 1-0.44=0.56. 巩固训练 2. 小明练习射击，共射击 60 次，其中有 38 次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率 ( ) (A)38% ( B)60% (C) 约 63% (D) 无法确定 【解析】 选 C. 因为小明练习射击，共射击 60 次，其中有 38 次击中靶子，所以射中靶子的频率 =38÷60≈0.63 ，故小明射击一次击中靶子的概率约 63%. 3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有 120 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同 . 小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在 15% 和 45% ，则口袋中白色球的个数很可能是 ( ) (A)48 个 (B)60 个 (C)18 个 (D)54 个 【解析】 选 A. 设红球有 x 个，黑球有 y 个，由题意得： x ∶120=15%, y ∶120=45%, 解得 x =18 ， y =54 ，所以白球数 =120-18-54=48( 个 ). 4. 一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是 ( ) (A)6 (B)10 (C)18 (D)20 【解析】 选D.由题意可得， ×100%=30%，解得 n =20.故估计 n 大约是20. 5.在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积.进行了大量的树木移栽.下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是_______.(结果用小数表示，精确到0.1) 【 解析】 根据抽样的意义可得幼树成活的概率为 (89+910+9 008)÷(100+1 000+10 000)≈0.9. 答案： 0.9 6. 在对某次试验数据整理过程中，某个事件出现的频率随试验次数变化折线图如图所示，这个图形中折线的变化特点是_________________，试举一个大致符合这个特点的实物试验的例子(指出关注 的结果)_____. 【解析】 这个图形中折线的变化特点是随着试验次数增加，频率趋于稳定，符合这个特点的实物试验的例子 ( 指出关注的结果 ) 如抛掷硬币试验中关注正面出现的频率 . 答案： 随着试验次数增加，频率趋于稳 定，如 抛掷硬币试验中关注正面出现的频率 第六章 概率初步 3 等可能事件的概率 ●激情导入十分 盒子里装有三个红球和一个白球，它们除颜色外完 全 相 同，小明从盒子中任意摸出一球 . 1. 你认为小明摸出的球可能是什么颜色？ 2. 如果将每个球编上号码，分别记为 1 号球（红）、 2 号球（红）、 3 号球（红）、 4 号球（白），那么摸到每个球的可能性一样吗？ 3. 任意摸出一球，说出所有可能出现的结果 . 这节课我们就来学习概率 . ● 理清学习目标 1.在具体情景中了解概率的意义，会求事件发生的概率； 2.了解事件发生的可能性大小与概率的关系. ●自主预习练习 自学导读： 预习教材回答以下问题： (1) 概率的定义：如果在一次实验中，有 n 种可能结果，并且它们发生的可能性 _______ ，事件 A 包括其中 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P （ A ） =_____. (2) 必然事件的概率是 ______ ，不可能事件的概率是 ______ ，随机事件的概率 ________≤P(A)≤ _______. (3) 如果小明等 6 名学生中任选 1 名作为“环保”志愿者，那么小明被选中的概率是 ______. ●聚焦主题合作探究 探究点一 概率的意义 1 ．阅读教材，思考下列问题： （ 1 ）分组完成两个模拟实验，从理论上分析，完 成 下 表： （ 2 ）上表中表示随机事件发生的可能性大小的数值称为相应随机事件发生的概率 . 探究点二： 等可能随机事件的发生概率的计算公式 2 ．阅读教材，思考下列问题： （ 1 ）比较上面两个实验，它们有什么共同特点？ （ 2 ）在抽签实验中，随机抽取一次，共有几种等可能的结果出现？其中抽到 1 号签的结果有几种？你能求出抽到 1 号签的概率吗？抽到的签号小于 3 的概率呢？ 【 针对训练 】 【 答案 】 探究点三 3. 阅读教材，思考下列问题： （ 1 ）掷一枚骰子，向上一面的点数可能有哪些结果？它们出现的可能性相等吗？ （ 2 ）点数为 2 、点数为奇数、点数大于 2 且小于 5 分别有几种结果？ 4 ．阅读教材，思考下列问题： （ 1 ）转盘中的扇形有什么特征？指针指向某一个扇形的可能性都相等吗？ （ 2 ）怎样用符号区别指针指向不同扇形中的相同的颜色的结果？ 5. 阅读教材，思考下列问题： （ 1 ）标号 3 的方格相邻的方格记为 A 区，则 A 区共有几个小方格？其中有雷的小方格有几个？若小王在游戏开始时随机地踩在 A 区任一方格，遇到地雷的概率多大？ （ 2 ） A 区以外的方格记为 B 区，则 B 区共有多少小方格？ B 区共有几颗地雷？若小王在游戏开始时随机地踩在 B 区任一方格，则遇到地雷的概率是多少？ （ 3 ）比较以上两个概率的大小，你认为第二步应踩在 A 区域还是 B 区域？（选择遇到地雷概率较小的区域扫雷的可能性大些 . ） 【 针对训练 】 【 答案 】 ●总结梳理，整合提高 ●当堂检测，反馈矫正 5. （江苏盐城）小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是 . 【 答案 】