华东师大版七年级数学下册第10章轴对称，平移，转换

第 10 章 轴对称、平移与旋转 10.1 轴对称 说一说 A D F G H 下面的字母哪些是轴对称图形？ P 国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗，哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。 加拿大 试一试 以色列 巴西 古巴 说一说 请你说一说你身边的 轴对称现象 脸谱艺术 交通标志 车标欣赏 动动手 展开你的想象力 制作轴对称图案 刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，你想不想看看两个图形是否也具有这样的特征呢？ 想一想 下面的每对图形有什么共同特点 ? 观察 把一个图形沿着某一条直线折叠 , 如果它能够与另一个图形重合 , 那么就说这 两个图形关于这条直线对称 , 这条直线叫做 对称轴 , 折叠后重合的点是对应点 , 叫做 对称点 。 结论 下列给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗？如果是，试着找出它们的对称轴。 A D C B FF F F 试一试 比较一下面两组图形，它们有什么 区别和联系 呢 ？ 囍 喜 喜 试一试 结论 基本特征 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的 对应线段 ( 对折后重合的线段 ) 相等 ， 对应角 （对折后重合的角） 相等 如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知是对称轴 图形 ， ∠ A =35°∠ ACO =30° ， AO=2, 那么 ∠ BOC = ° BO= 。 试一试 115 2 下面选项中右边图形与左边图形成轴对称的是（ ） 巩固提升 下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ） B D 在图形中标出点和关于直线的对称点 A B C 试一试 请你帮个忙 下图是由小正方形组成的 L 形图，请你在图中添画一个小正方形，使它成为轴对称图形。 请说说你的收获与体会 10. 2 平移 运动 1 轿车在笔直的公路上飞驰而过 探究： 如何在一张纸上画出一排大小都一样的雪人呢？ 你是怎么画的？说说你的方法。 可以把一张半透明的纸盖在图上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，再描出第二个、第三个 …… （如图） 雪人的形状、大小、位置运动前后是否发生了变化？ 形状 ，大小 ，位置 . 不变 不变 改变 １、 雪人甲运动到雪人乙的位置时，雪人甲的鼻尖 A 是怎样运动的？它运动到了什么位置？帽顶 B 呢？纽扣 C 呢？ 移动 想一想 A A′ C B C′ B′ 甲 乙 A 运动到 A′ B 运动到 B′ C 运动到 C′ 想一想 ２、连接几组对应点（ 如： A 与 A ′ ， B 与 B ′ ， C 与 C ′ ）观察得到的线段，它们的位置、长短有什么关系？ A A′ C B C′ B′ A A′ C B C′ B′ 你 想 到 了 吗 它们平行且相等 例１：如图，将 △ ABC 平移到 △ A ＇ B ＇ C ＇的位置，我们把 △ ABC 和 △ A ＇ B ＇ C ＇称为 对应三角形 A ′ A B ′ B C ′ C 重点 2 找对应元素： 对应点、对应线段、对应角 例２ 如图， △ ABC 平移到 △ DEF 的位置，请写出所有对应的点、角和线段 . 如图所示的 △DEF 是由 △ABC 经过平移后得到的。指出点 A 、 B 、 C 的对应点，并指出线段 AB 、 BC 、 CA 的对应线段， ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对应角。 图形的平移不一定是水平的， 也不一定是竖直的。 特别注意： 如左图的鸟的飞行也是平移 课堂练习 下图中的变换属于平移的有哪些？ F A B D E C × × × √ × × 在下面的六幅图案中，（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）中的哪个图案可以通过平移图案（ 1 ）得到？ √ 欣赏并说出下列各商标图案哪些是利用平移来设计的？ 解： 利用平移来设计的有 (2) 、 (4) 、 (6) . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 在图中，你知道线段 CA 的中点 M 以及线段 BC 上的点 N 平移到什么地方去了吗？请在图上标出它们的对应点 M′ 和 N′ 的位置。 M′ N′ 生活中有平移的例子吗？ 你能举出一些吗？ 电视机生产线上电视机的移动 例如 电梯上人的移动 荡秋千是平移吗？ 不是 注意： 1 、平移只是图形位置改变，不改变图形的形状和大小。 ２ 、平移是由平移的方向和平移的距离决定 。 3 、图形中的每一个点都移动了相同的距离。 10.3 旋转 知识回顾 ⑴ 旋转的概念 : 在平 面 内，将一个图形绕着一个 定点 沿某个方向转动一个 角度 的运动叫做 旋转 . ⑵ 旋转的特征 : ① 旋转不改变图形 大小 和 形状 ; ② 旋转图形的对应线段相等 , 对应角相等 ; ③ 对应点到旋转中心的距离相等 ; ④ 每一点都绕旋转中心按同一方向旋转同样大 小的角度 , 即对应点的连线的角相等 . B A C O 一个图形 绕着一个 定点 ，按照 一定的 角度 ，从一个位置旋 转到另一个位置，叫做 图形旋转 . A B C 一个图形 绕着一个 定点 ， 旋转一定的 角度 后能与自身重合，这样的图形称为 旋转对称图形 . 观察比较 图形的一种 变换 图形的一种 特性 O · 一个图形绕着一个定点旋转 一定角度后，能 与自身重合 的 图形称为 旋转对称图形 . 新知 这个角度必须小于周角 3. 香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由 5 个相同的花瓣组成，它可以由其 中一瓣经过 4 次旋转而得到 . 它是旋转对称图形吗 ? 若是 , 其旋转角是多少度 ? 例 1. 试确定下列旋转图形的旋转中心和旋转角度 . 例 2. O A 例 3. 下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋中心 在何处。旋转角度至少是多少度？这些图形是轴对称图形吗？ 120° ┍ 90° 60° 正三角形是旋转对 称图形 , 它的旋转中 心是两条高线的交 点 , 旋转角度是 120° 它也是轴对称图形 . 正方形是旋转对称 图形 , 它的旋转中心 是两条对角线的交 点 , 旋转角度是 90° 它也是轴对称图形 . 正六边形是旋转对称 图形 , 它的旋转中心 是两条对角线的交 点 , 旋转角度是 60° 它也是轴对称图形 . 观察下图，判断它是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处，旋转角度是多少？另外该图形是轴对称图形吗？ 例 4. 解 : 这个图形是旋转对称图形 , 旋转中心是外框正方形对角线的交点 ( 如图中的点 O ), 旋转角度是 90°, 但它不是轴对称图形 . 例 5. 试确定图形的旋转中心，并指出这一图形是由哪个基本图形旋转多少度、旋转几次生成的？ 解 : 旋转中心是十字形的交点 O , 基本图形 如图所示，分别旋转了 90° 、 180° 、 270° 三次生成的。 O · 例 6. 请利用如图所示的图案，通过旋转变换，设计出美丽的图案。 课堂小结 ⑴ 绕着某一点转动一定角度后，能与自身重 合的图形称为旋转对称图形 , 其中这一点就是旋转中心，这个角度的最小值就是旋转角 . ⑵ 如果一个图形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，那么它的旋转中心就是对称轴的交点 . ⑶ 正 n 边形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，所以它的旋转中心就是对称轴的交点，并 且旋转角度就等于 360° 除于 n 所得的商 . 探索 ⑴△ABC 是△ DEF 旋转得到的，你能找到它的旋转中心吗？若能请画出来 . O · A B C D E F ⑵ 如图所示两个圆，其中圆 O 2 是由圆 O 1 旋转得到的，请问你能否找到它的旋转中心？有多少个？ 探索 ⑶ 如图，以△ ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形即△ ABD 、△ BCE 、△ ACF, 请找出经过△ ABC 旋转能够得到的三角形 . 探索 ⑷ 如图，画△ ABC 关于直线 a,b 连续两次对称的图形 , 并观察与原图形的关系 . a b O A B C 10.4 中心对称 什么是轴对称图形？ 什么是轴对称？ 什么是旋转？ 什么是旋转对称图形？ 新课导入 1. 观察下图，它们是什么图形？ 推进新课 【归纳结论】 把一个图形绕着某一个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心 . 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 . 2. 如图， △ ABC 与 △ A 1 B 1 C 1 关于点 O 成中心对称，图中有哪些线段相等？ 由图形及旋转的性质可以得到： AO=A 1 O BO=B 1 O, CO=C 1 O. 【归纳结论】 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；反过来，如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形关于这一点对称 . 3. 中心对称与轴对称的联系与区别 4. 如图，已知 △ABC 和点 O ，画出 △DEF ，使 △DEF 和 △ABC 关于点 O 成中心对称 . 分析： 中心对称就是旋转 180° ，关于点 O 成中心对称就是绕点 O 旋转 180° ，因此，我们连 AO 、 BO 、 CO 并延长，取与它们相等的线段即可得到 . 解： （ 1 ）连结 AO 并延长 AO 到点 D ，使 OD=OA ，于是得到点 A 的对称点 D ，如图所示 . （ 2 ）同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F. （ 3 ）顺次连结 DE 、 EF 、 FD. 则 △DEF 即为所求的三角形 . 1. 下列图形中，是中心对称图形的是 ( ) 随堂演练 A 2. 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 A 3. 按下列要求正确画出图形： （ 1 ）已知 △ABC 和直线 MN ，画出 △ABC 关于直线 MN 对称的图形； （ 2 ）已知四边形 ABCD 和点 O ，画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的四边形 . 解： （ 1 ）过点 A 作 AA′⊥MN 且使 MN 垂直平分 AA′ ，过点 B 作 BB′⊥MN 且使 MN 垂直平分 BB′ ，过点 C 作 CC′⊥MN 且使 MN 垂直平分 CC′ ，然后顺次连接即可； △A′B′C′ 如图所示； （ 2 ）连接 AO 并延长至 A′ ，使 A′O=AO ，连接 BO 并延长至 B′ ，使 B′O=BO ，连接 CO 并延长至 C′ ，使 C′O=CO ，连接 DO 并延长至 D′ ，使 D′O=DO ，然后顺次连接即可 . 四边形 A′B′C′D′ 如图所示 . 读和写是学生最必要的两种学习方法，也是通向周围世界的两扇窗口。 —— 苏霍姆林斯基 10.5.图形的全等 下列各组图形有什么特点？ （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 新知引入 平移、翻折、旋转 图形的基本变换有哪些？ A B C D E F (1) 将△ ABC 向 右平移 4 个方格， 得△ DEF △ABC 与△ DEF 能重合吗？ ___________ 完全重合 A B C D E F (2) 作△ ABC 关于 直线 l 的对称图形， 得△ DEF △ABC 与△ DEF 能重合吗？ ___________ 完全重合 直线 l A O B C A ’ B ’ C ’ △ABC 与△ A ’ B ’ C ’ 能重合吗？ ___________ (3) 将△ ABC 以 点 O 为中心逆时 针旋转 90° ， 得△ A’B’C’ 完全重合 以上都是由一个图形通过平移、翻折、旋转得到的新图形能与原图完全重合， 我们把这种 能完全重合的两个图形，叫做全等图形 学习新知 全等图形 能够完全 重合 的图形称为 全等图形 定义 : 两个全等的图形经过 平移、翻折、旋转等变换后一定能够互相重合 . 一个图形经过平移、翻折、旋转等变换所得到的新图形与原图形一定全等 . 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 对应边 都相等 、对应角都相等 的多边形是全等多边形 全等 多边 形 1. 什么是全等多边形？ 2. 全等多边形有哪些性质？ 能 够完合重合的多边形叫做全等多边形 思 考 3. 怎样判定多边形全等？    两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？ A B C D E F 寻找对应元素的规律 （ 1 ）有公共边的， 公共边 是对应边； （ 2 ）有公共角的， 公共角 是对应角； （ 3 ）有对顶角的， 对顶角 是对应角； （ 4 ）两个全等三角形最长的边是对应边，最短的边是对应边； （ 5 ）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角； A B C D E F 1. 全等三角形有哪些性质 : 全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应边相等． 2. 全等三角形有哪些判定 : 对应边 都相等 、对应角都相等 的 三角 形是全等 三角形 结论 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ∵ △ABC ≌ △DFE ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE （           ） ∴ ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F , ∠ C= ∠ E （ ） 全等三角形的性质 应用 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 如图 , △ ABC 绕 AC 翻折得 △ AEC, ∠ B=30 ° , ∠ ACB=85 ° , 求出 △ AEC 各角的度数。 因此 △ AEC 的内角度数分别为 65 °﹑ 30 °﹑ 85° 。 B C E A 解：在△ ABC 中∠ ACB=85 ° ，∠ B=30 ° ， 所以∠ BAC=65° 又因为 △ AEC 由 △ ABC 翻折得到 所以 △ ABC≌△AEC ， 即有∠ EAC=∠BAC=65 ° ， ∠ E=∠B=30 ° ， ∠ ACE=∠ACB=85° 理解运用