7.
1 二
元一次方程组和它的解
暑假里，
《
新晚报
》
组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定
:
胜一场得
3
分，平一场得
1
分，负一场得
0
分，勇士队在这一轮中赛了
9
场，只负了
2
场，共
17
分
.
那么这个
队胜了几场
?
又平了几场呢
?
思考
既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数
?
问题
1
解
:
设
这个队胜了
x
场
,
则平了
(7-x)
场
,
根据题意
,
得
解
得
x=5 7-x=2
答
:
这个队胜了
5
场
,
平了
2
场
一、问题引入
设勇士队胜了
x
场，平了
y
场。请在空格中填人数字或式子：
胜
平
合计
场数
x
y
得分
那么根据填表结果可知
x
十
y=7 ①
3x+y=17 ②
这两个方程有什么共同的特点
?
3x
y
7
17
两个未知数
x
、
y
必须同时满足方程①、②
.
因此，把两个方程合在一起，并写成
上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有
两个未知数
，并且未知项的
次数
都是
1
，像这样的方程，叫做
二元一次方程
。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个
二元一次方程组。
①
②
1.
二
元一次方程的定义
:
只含有
二个未知数
,
并且
含有未知数项的次数都是
1
的
整式
方程
叫做二元一次方程
.
讲授知
2.
二元一次方程组的定义
:
由两个二元一次方程组成的方程组叫做
二元一次方程组。
不是
是
不是
是
不是
不是
理解运用
例
1.
下列方程中，哪些是二元一次方程？
哪些不是？
例
2.
已知方程
是二元一次方程则
n=_____
，
m= ____.
0 1
x= 3
y= 7
例
3.
如果 是二元一次方程
kx – 2y = 4
，的解，则
k=___
。
6
思考
:
1.
下列方程组中，哪些是二元一次方程
组？ 哪些不是？为什么
?
（ ）
（
A
）
2x+y=4
3x-Z=5
xy=7
x+y=8
x-3y=4
3x+y=5
5x-3y=1
4x+y=5
3x+y=2
（
B
）
（
C
）
（
D
）
（
E
）
C
、
D
、
E
2x=1
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值
，
叫做这个二元一次方程的
一
组
解
。
例如
x=1,y=21
就是方程
x+y=22
的一
组
解，
我们把它
记作：
二元一次方程的解有无数个。
3.
二元一次方程的解的定义
:
x =1
y =21
例如
x=1.5,y=20.5
也
是方程
x+y=22
的一
组
解，
我们把它
记作：
x =1.5
y =20.5
讲授新知
思考
:
2.
下列哪对值既是方程
x+y=5
的解，又是方程
x-y=1
的解？
说明
：
1
、二元一次方程组的解是一对数，而不是
两个数，必须用“ ”的形式
.
2
、必须同时满足两个方程。
3.
二元一次方程组的解
:
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值相等的未知的值
,
叫做二元一次方程组的解
.
4
.
已知 是方程组
的解，求 的值
.
①
含有两个未知数；②未知数项的次数都是
1
；
③整式方程
1
、什么叫二元一次方程
?
它有哪些特点？
2
、什么叫二元一次方程组
?
把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组
.
课堂小结
3
、二元一次方程（组）的解的基本形式？
注意：一元一次方程有一个解；二元一次方程有很多对解；二元一次方程组有一对解
4
、会检验一对数是否是某一个二元一次方程
（或方程组）的解。
使二元一次方程（或方程组）的左右两边的值
相等的两个未知数的值。
(a
、
b
是常数
)
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
《
孙子算经
》
课后思考：
7.2
二元一次方程组的解法
第
1
课时 用代入法消元法解二元一次方程组
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出
二元一次方程组，若设胜的场数是
x
，负的场数是
y
，则可列出方程组：
怎样求解这个二元一次
方程组呢？
上面的二元一次方程组能否转化成一元一次方程呢？
创设情景 明确目标
1
．会用代入消元法解简单的二元一次方程组．
2
．理解解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归的思想．
学习目标
你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？
解
：设胜
x
场，负
y
场．
x
+
y
=10
，
2
x
+
y
=16
．
问题
篮球联赛中
,
每场都要分出胜负，每队胜
1
场得
2
分，负
1
场得
1
分．某队
10
场比赛中得到
16
分，那么这个队胜负场数分别是多少？
合作探究 达成目标
探究点一 代入消元法的概念
这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
解：设胜
x
场，则负
(10
－
x
)
场．
2
x
+
（
10
－
x
）
=16
．
问题
篮球联赛中
,
每场都要分出胜负，每队胜
1
场得
2
分，负
1
场得
1
分．某队
10
场比赛中得到
16
分，那么这个队胜负场数分别是多少？
问题
3
对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
x
+
y
=10
，
2
x
+
y
=16
．
2
x
+
(
10
－
x
)
=16
．
消元思想：
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想
.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元
，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做
代入消元法
，简称
代入法
．
解
：
由①，得 ③
把
③
代入
②
，得
x
+
y
=10
，
①
2
x
+
y
=16
．
②
问题
4
对于二元一次方程组
你能写出求出
x
的过程吗？
x
+
y
=10
，
2
x
+
y
=16
．
把 代入③，得
问题
5
怎样求出
y
？
这个方程组的解是
答：这个队胜
6
场、负
4
场．
代入①或代入②可不可以？哪种运算更简便？
二
元
一
次
方
程
组
x
－
y=
3,
3
x
－
8
y
=14
y
=
－
1
x
= 2
解得
y
变形
解得
x
代入
消
x
一元一次方程
3(
y
+3)
－
8
y
=14.
x
=
y
+3.
用
y
+3
代替
x
，消未知数
x
．
用代入法解方程组
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再
代入
另一个方程最为关键，这样实现
消元
，把二元一次方程组转化为
一元一次
方程，进而求得这个二元一次方程组的解
.
体现了
消元
和
转化
的数学思想
.
探究点一 代入消元法的概念
在以上解答过程中，哪一步是最为关键的步骤？为什么？
体现了什么数学思想？
例
1
．
用代入法解方程组
探究点二 用代入消元法解二元一次方程组
把③代入①可以吗？把
y
＝
-1
代入①或②可以吗？用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤是什么？
分析
：选择把哪个方程变形后代人另一方程？
用代入消元法解二元一次方程组的步骤为
:
1.
把方程组中某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；
2.
把（
1
）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数
；
3.
解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；
4.
把所求得的一个未知数的值代入（
1
）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解
.
探究点二 用代入消元法解二元一次方程组
如何选择把方程组中的一个方程变形后代入另一个方程中更简单？
探究点二 用代入消元法解二元一次方程组
1.
当方程组中含有一个未知数表示
另一个
未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解
.
2.
若方程组中有未知数的系数为
1(
或
-1)
的方程，则选择系数为
1(
或
-1)
的方程进行变形比较简单
.
例
2
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装
(500g)
和小瓶装
(250 g)
两种产品的销售数量比（按瓶计算）为
2
：
5
.
某厂每天生产这种消毒液
22.5
吨，这些消毒液应该分装 大、小瓶装两种产品各多少瓶？
探究点三
用代入法解二元一次方程组的实际运用
分析
：题目中有几个未知量？相等关系有哪些？如何列出方程组？
思考：
解这个方程组时，可以先消去
x
吗？试试看
.
此方程组与上一节课所解的方程组相比有什么不同？如何用代入法解两个未知数系数的绝对值均不为
1
的二元一次方程组？
此方程组中两个方程中的未知数的系数都不为
1(
或
-1)
，用代入法解两个未知数系数的绝对值均不为
1
的二元一次方程组时应选系数的绝对值
较小
的方程变形比较简单
.
探究点三
用代入法解二元一次方程组的实际运用
达标检测 反思目标
5.
学校有篮球和足球，其中篮球数比足球数的
2
倍少
3
个，且篮球数与足球数的比为
3∶2
，求学校有篮球和足球各多少个？
第
2
课时 用加减消元法解二元一次方程
组
思考
：
这个方程组的两个方程中，
y
的系数有什么关系？ 利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
创设情景 明确目标
1
．了解加减消元法的概念；
2
．掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法，体验转化的数学思想．
学习目标
问题
1
我们知道，对于方程组
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
代入消元法中代入的目的是什么？
消元
②
①
合作探究 达成目标
探究点一 加减消元法的概念
两个方程中的系数相等；用②－①可消去未知数
y
，得
(
2
x
+
y
)-(
x
+
y
)=
16
-
10
．
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
这个方程组的两个方程中，
y
的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
问题
1
我们知道，对于方程组
②
①
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
这一步的依据是什么？
等式性质
你能求出这个方程组的解吗？
这个方程组的解是
问题
1
我们知道，对于方程组
②
①
①－②也能消去未知数
y
，求出
x
吗？
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
问题
1
我们知道，对于方程组
②
①
未知数
y
的系数互为相反数，由
①
+
②
，可消去未知数
y
，
从而求出未知数
x
的值．
问题
2
联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
此题中存在某个未知数系数相等吗？你发现未知数的系数有什么新的关系？
①
②
两式相加的依据是什么？
“
等式性质”
问题
2
联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
①
②
这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？
当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做
加减消元法
，简称
加减法．
当方程组中同一未知数的系数
相同或相反
时，把两个方程相减或相加，消去其中的一个未知数，得到一个
一元一次
方程
.
这种解法体现了
转化
的数学思想
.
在什么情况下，选择用加减消元法解二元一次方程组？
体现了什么数学思想？
探究点一 加减消元法的概念
例
1
．
用加减法解方程组
探究点二 用加减消元法解二元一次方程组
上面解答过程中，把
x
＝
6
代入②可以解得
y
吗？如果用加减消元，消去
x
应如何解？解得的结果一样吗？
分析
：方程组的同一未知数的系数有相同或相反的吗？直接加减这两个方程能直接消元吗？如何把方程组同一未知数的系数变成相同或相反的
.
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
①
变形
；②
加减
；
③
求解
；④回代；⑤
检验、写解
.
用加减消元法时注意以下几点：
①方程两边乘以相同倍数时，每项都乘，别漏项；
②检验所求结果是否正确时，必须将所求的一对数分别代入原方程组中的两个方程进行检验，既满足第一个方程，又满足第二个方程，才说明结果是正确的，否则，说明结果是错误或检验时计算有误
.
探究点二 用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？应注意什么问题？
例
2
2
台大收割机和
5
台小收割机工作
2
小时收割小麦
3
．
6
公顷，
3
台大收割机和
2
台小收割机工作
5
小时收割小麦
8
公顷，问：
1
台大收割机和
1
台小收割机
1
小时各收割小麦多少公顷？
探究点三
用加减消元法解二元一次方程组的实际运用
分析
：
1
．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
2.
你能找出本题的相等关系吗？
3.
怎么表示
2
台大收割机
2
小时的工作量呢？
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
7.3
三
元一次方程组及其解法
解二元一次方程组有哪几种方法？它们的基本思想是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
什么叫做二元一次方程组
?
方程组中含有两个未知数
,
且含未知数的项的次数是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组
复习导入
1
、了解三元一次方程组的定义；
2
、掌握简单的三元一次方程组的解法；
3
、进一步体会消元转化思想．
目标展示：
小明手头有
12
张面额分别为
1
元、
2
元、
5
元的纸币，共计
22
元，其中
1
元的纸币的数量是
2
元纸币数量的
4
倍。求
1
元、
2
元、
5
元纸币各多少张。
探究：
（
1
）这个问题中包含有
个相等关系：
三
1
元纸币张数＋
2
元纸币张数＋
5
元纸币张数＝
12
张
1
元纸币的张数＝
2
元纸币的张数的
4
倍
1
元的金额＋
2
元的金额＋
5
元的金额＝
22
元
（
2
）这个问题中包含有
个未知数
:
三
1
元、
2
元、
5
元纸币的张数
自主探究
进入新课
小明手头有
12
张面额分别为
1
元、
2
元、
5
元的纸币，共计
22
元，其中
1
元的纸币的数量是
2
元纸币数量的
4
倍。求
1
元、
2
元、
5
元纸币各多少张。
设
1
元、
2
元、
5
元的纸币分别为
x
张、
y
张、
z
张
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
①
②
③
你能根据等量关系列出方程吗
自主探究
x+2y+5z=22
x=4y
①
、
1
元纸币张数＋
2
元纸币张数＋
5
元纸币张数＝
12
张
②
、
1
元的金额＋
2
元的金额＋
5
元的金额＝
22
元
③
、
1
元纸币的张数＝
2
元纸币的张数的
4
倍
x+y+z=12
x+2y+5z=22
x=4y
①
②
③
观察方程①、②与二元一次方程（组）比较有什么相同点？有什么不同点？请回答。
&
合作交流
问题：
1
、什么叫三元一次方程？
2
、什么叫三元一次方程组？
2
、含有
三个未知数
，每个方程中
含未知数的项的次数都是
1
，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做
三元一次方程组
1、都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的
整式
方程叫做
三元一次方程
三元一次方程组
一元一次方程
二元一次方程组
1.
化
“
三元
”
为
“
二元
”
总结
消元
消元
三元一次方程组求法步骤：
2.
化
“
二元
”
为
“
一元
”
怎样解三元一次方程组？
（也就是消去一个未知数）
例
1
解方程组
x
-
z
=4.
③
1 .
化
“
三元
”
为
“
二元
”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个
?
）
2.
化
“
二元
”
为
“
一元
”
。
x-y+z=
0
②
x+y+z=
2
①
交流探究
注：
如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例
1
中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例
1
中的③）中缺少的那个元。
缺某元，消某元。
①
③
②
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择
最恰当
、
最简便
的方法
。
x+y+z=
12
,
①
x+
2
y+
5
z=
22
,
②
x=
4
y.
③
3
x
＋
4
z=
7
①
2
x
＋
3
y
＋
z=
9
②
5
x
－
9
y
＋
7
z=
8
③
随堂练习
一元一次方程
求出第一个未知数的值
求出第三个未知数的值
求出第二个未知数的值
二元一次方程组
三元一次方程组
消
元
消
元
解三元一次方程组
当堂训练，达标测评
1
、
2
、
解：
解下列三元一次方程组：
⑵
⑴
说说你的
收获
(1)
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法 ，加减法比较常用
.
(2)
解三元一次方程组的基本思想是
消元
,
关键也是消元。我们一定要根据方程组的特点
,
选准消元对象
,
定好消元方案
.
(3)
解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验
.
课堂小结
7.4实践与探索
1
、列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？
2
、列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么？
审、设、列、解、验、答
关键是找到等量关系
知识回顾
问题
1
要用
20
张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身
2
个，或者做盒底盖
3
个
.
如果
1
个盒身和
2
个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套
？
请你设计一种分法
.
自主预习
问题：
1、本题中有哪些已知量、未知量？
2、若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒盖，则共可做盒身___个，盒底盖___个。
3、找出本题的等量关系。
4、列出方程（组），并求解。
问题
1
：
要用
20
张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身
2
个，或者做盒底盖
3
个
.
如果
1
个盒身和
2
个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？
2x
3y
1、白卡纸张数:做侧面的+做底面的=20
2、底面个数=侧面个数×2
自主探究
探究一
解：设用
x
张白卡纸做盒身，用
y
张白卡纸做盒底盖，根据题意得：
问题：
5
、对照方程组的解，再次审题，你发现什么？
结果是否符合题意，要使其符合题意，
x
，
y
只能取什么值
?
想一想：
如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？
若
不能套裁
，
用
8张做盒身，11张做盒底盖，
可
以裁出
16
张盒身，
33
张盒底，共可以做
16
个包装盒；若
可以套裁，
用
8张做盒身，11张做盒底盖，另一张套裁出1个盒身 ，1个盒底盖，则共可做盒身17个，盒底盖34个，正好配成17个包装盒，较充分利用材料。
归纳：一般应用题中的等量关系我们关键从和、倍数着手
.
问题
小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形如图那样,恰好拼成一个大长方形.
单位：
mm
小红看见了,说:“我来试一试。”结果七拼八凑，拼成如图那样的正方形。咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！
2
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探究二
1.某市为更有效地利用水资源,制定了用水标准:
如果一户三口之家每月用水量不超过Am
3
,按每m
3
水1.30元收费;
如果超过Am
3
,超过部分按每m
3
水2.90元收费,其余仍按按每m
3
水1.30元收费.
小红一家三人,1月份共用水12 m
3
,支付水费22元.问该市制定的用水标准A为多少?小红一家超标使用了多少m
3
的水?
解:设用水标准A为x m
3,
小红一家超标使用了ym
3
的水,根据题意得：
x + y = 12,
1.3x + 2.9y = 22.
解得
答:用水标准A为8 m
3
,小红一家超标使用了4m
3
的水.
跟踪练习
2.长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校初一(1)、(2)两个班共104人去游长风乐园,其中(1)班人数较少,不到50人,(2)班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；
问两班各有多少名学生?
如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节省多少钱？
购票人数
1
～
50
人
51
～
100
人
100
人以上
每人门票价
13
元
11
元
9
元
解：设初一
(1)
班有
x
人，初一
(2)
班有
y
人，则
x + y = 104
，
13x +11 y = 1240.
解得
答:初一(1)班有48人，初一(2)班有56人.若两班作为一个团体购票，则可以节省304元。
1240-104
×9=1240-936=304（元）
1
：
列二元一次方程组解应用题的关键是：
2:
列二元一次方程组解应用题的一般步
骤分为：
找出两个相等关系
审、设、列、解、检、答
知识梳理
1
、如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库里有
1000
张正方形纸板和
2000
张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
图一
图二
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
随堂练习
2
、已知甲、乙两种商品的原单价和为
100
元，因市场变化，甲商品降价
10
％，乙商品提价
5
％，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了
2
％，求甲、乙两种商品的原单价各是多少？
3
、某汽车制造厂，接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产
35
辆，则差
10
辆才能完成任务；如果每天生产
40
辆，则可超额生产
20
辆，试求预定期多少天？生产这批汽车是多少辆？
4
、若方程组
中
x
与
y
的和是
12
，则
k
的值为（ ）
A.12 B.
－
12
C.14 D .
－
14
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