人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组

第九章 不等式与不等式组 9.1 不 等 式 9.1.1 不等式及其解集 1.知道不等式和不等式的解与解集的概念. 2.会把不等式的解集表示到数轴上. 某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解 到同一型号的电脑每台报价均为6 000元,并且多买 都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一台按原 报价收款,其余每台打七五折;乙商场的优惠条件是: 每台打八折.如果你是学校采购负责人,你该如何选 择? 1.你知道不等式的解与不等式的解集有何区别与 联系吗? 不等式的解与不等式的解集的区别:不等式的解 是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等 式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的 值. 联系:不等式的所有解组成了不等式的解集,而不 等式的解集包括了不等式的每一个解. (2)设左盘上需再放x kg的砝码,你能用一个式子表示这 个关系吗? x+3>6. (1)如图②,如果要使天平向左倾斜,则左盘需再放多少千 克的砝码? 答案不唯一:如4,只要大于3即可. 2.如图①,一架天平右盘上放有6 kg的物体, 左盘上放有3 kg的砝码,此时天平向右倾斜. C < 1.下列说法中,错误的 ( ) A.不等式x-3 D.不等式x” 或“0时,2a < >0 b,得到3a>3b.不能就此认为“不等式的两 边都乘同一个数,所得到的不等式的符号不变”. 2.回答“问题导引”中的问题. (1)不会变化.(2)不会变化. (3)不会变化. (4)不会平衡;不会平衡. > > < > < 4 D 4.填写下面的表格: a b a2+b2 2ab a2+b2  2ab(填 “>”“ 16 0 > 34 -30 > 8 8 = 29 -20 >   根据上述数学实验,猜想a2+b2与2ab的大小 关系. 解:a2+b2>2ab或a2+b2=2ab. 在自己总结的基础上,再强调两点: 1.等式的性质与不等式的性质的不同之处. 2.在运用“不等式的性质3”时应注意的 问题. 第九章 不等式与不等式组 9.1  不 等 式 9.1.2 不等式的性质 第 2 课 时 1.会用不等式的性质把较简单的不等式转化为 “x>a”或“x”“a与x≥a有什么区别? 在数轴上表示x>a时,表示a的点用空心圆圈, 而在表示x≥a时,表示a的点用实心圆点. 3.回答“问题导引”中的问题. 1.据气象台天气预报,今天的最低气温是17℃,最高 气温是25℃,则今天气温T(℃)的取值范围是( ) A.T25 C.T=21 D.17≤T≤25 D 3.利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集. (1)x+3>-1; (2)6x≤5x-7;   解:x>-4,在数轴上表示如图所示.  解:x≤-7,在数轴上表示如图所示. 解:x>-2,在数轴上表示如图所示.  解:x≥-3,在数轴上表示如图所示. 4.小华家距离学校2.4 km.某天小华从家出发去上 学,恰好走到一半的路程时,发现离上课时间只有12 min了.如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下一 半的路程的平均速度至少要达到多少? 解:设他行走剩下的一半路程的平均速度为x m/min,则12x≥1 200.解得x≥100. 因此他行走剩下的一半路程的平均速度至少为 100 m/min. 1.利用不等式的性质进行变形,当不等式的两边都乘 (或除以)同一个字母时,字母代表什么数是问题的关 键,这决定了是用不等式的性质2还是性质3,也就是 不等号是否要改变方向. 2.运用不等式的性质3时,要变两个号,一个是性质符 号,另一个是不等号. 3.理解“≤”与“”的不同含义,学 会运用不等式的相关知识解决有关的实际问题. 第九章 不等式与不等式组 9.2 一元一次不等式 第1课时 1.什么是不等式？ 2.不等式的性质有哪些？ 情景导入 1.了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等 式的解法． 2.在依据不等式的性质探究一元一次不等式解法过 程中，加深对化归思想的体会． 学习目标 观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？ 7 26x   ，3 2 1x x  ， 2 503 x 4 3x  ， 一元一次不等式的概念： 含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式， 叫做一元一次不等式． 探究点一 一元一次不等式的概念及解法 讲授新课 利用不等式的性质解不等式： 267 x 解：根据不等式的性质１，不等式的两边加7， 不等号的方向不变，所以 72677 x 33x 判断一个不等式是否为一元一次不等式的条件是什么？ 与一元一次方程有什么异同点？ 判断一个不等式是一元一次不等式时，它应满足只 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式． 与一元一次方程相比，就是把“＝”换成不等号 (如＜，＞，≤，≥)即可. 解一元一次方程的依据是等式的性质． 解一元一次方程的一般步骤如下： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1． 回忆解一元一次方程的依据和一般步骤，对你解一 元一次不等式有什么启发？ 例 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 1 2 1 3x （ ） （ ） 问题（1） 解一元一次不等式的目标是什么？ 问题（2） 你能类比一元一次方程的步骤，解这个不等式吗？  探究点二 解一元一次不等式 例 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 1 2 1 3x （ ） （ ） 解：去括号，得    移项，得 合并同类项，得 系数化为１，得 2 2 3x  2 3 2x   2 1x  1 2x  例 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 2 2 12 2 3 x x （ ） 问题（3） 对比不等式      与      的两边，它们 在形式上有什么不同？ 2 2 1 2 3 x x  2 1 3x （ ） 问题（4） 怎样将不等式       变形，使变形后的不等式 不含分母？ 2 2 1 2 3 x x  例 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 2 2 12 2 3 x x （ ） 解：去分母，得   去括号，得    移项，得 合并同类项，得 系数化为１，得 3 2 2 2 1x x  （ ） （ ）， 6 3 4 2x x   ， 3 4 2 6x x    ， 8x   ， 8x ． 例．解下列不等式，并在数轴上表示解集： 对比第(1)小题和第(2)小题的解题过程，系数化为1时， 应注意什么问题？结合以上解答过程，说一说每一步 的变形依据是什么？ 根据不等式的性质解一元一次不等式时，基本步骤与解一 元一次方程是相同的，都有：①去分母；②去括号；③ 移项；④合并同类项；⑤系数化为1.解一元一次方程， 要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解 一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐 步化为 的形式. 解一元一次不等式的一般步骤？解一元一次不等式 与解一元一次方程在解法上有什么异同？ x a ，或 x a 探究点二 解一元一次不等式 课堂练习 1. 一元一次不等式的概念. 2.解一元一次不等式的一般步骤. 3.解一元一次不等式的依据. 课堂小结 第九章 不等式与不等式组 9.2 一元一次不等式 第2课时 采石场爆破时点燃导火线后，工人要在爆破前转 移到400m外的安全区域，导火线燃烧的速度为1cm/s， 工人转移的速度为5m/s，爆破人员准备75cm的导火线， 请你判断爆破人员的做法是否合理？ 情景导入 能从实际问题中抽象出数学问题，根据数量关系建 立一元一次不等式进行求解，体会数学建模的思 想． 学习目标 例1．去年某城市空气质量良好（二级以上）的天数 与全年天数(365)之比达到60％，如果明年(365天)这 样的比值要超过70％，那么明年空气质量良好的天数 要比去年至少增加多少？ 分析：去年某市空气质量良好的天数是多少？题目中哪 一句话蕴含了不等关系？用式子怎样表示？ 讲授新课 设x表示明年增加的空气质量良好的天数，则明年 空气质量是良好的天数是 365 60%.x   你能列出不等式并解出来吗？ 解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x天. 365 60% 70%365 x    ， 219 255.5x   ， 36.5x  ．  你能给出一个合理化的答案吗？ 答：明年要比去年空气质量良好的天数至少 增加37，才能使这一年空气质量良好的天数 超过全年天数的70%． 列不等式解应用题的基本步骤是什么？与列方程解应用题 的步骤有什么异同点？ 列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤 基本类似，即(1)审：认真审题，分清已知量、未知 量；(2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关 系；(3)设：设出适当的未知数；(4)列：根据题中的 不等关系列出不等式；(5)解：解出所列不等式的解 集；(6)答：检验是否符合题意，写出答案． 探究点一 利用一元一次不等式解决实际问题(1) 例1．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各 自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后， 超出100元的部分按90％收费；在乙商场累计购物超过50元 后，超出50元的部分按95％收费．顾客到哪家商场购物花 费少？ 探究点二 利用一元一次不等式解决实际问题(2) 分析：如果购物款累计达到x元，你能用含x的式子分别表 示顾客在两家商场花费的钱数吗？填写下表： 你能看出在哪个商场花费少呢？ 购物款 甲商场 乙商场 比较 100x x x x 50 0.95 50x （ ）100 0.9 100x （ ） 50 0.95 50x （ ）50 100x  0 50x  一样 乙 ？ 如果累计购物超过100元，在哪家商场花费少呢？ 分析：三种情况进行讨论 （1）什么情况下，到甲商场购物花费少？ （2） 什么情况下，到乙商场购物花费少？ （3）什么情况下，两商场花费一样？ （1）若在甲超市花费少，则 得 ． 100 0.9 100x  （ ） 50 0.95 50x （ ） 150x （2）若在乙超市花费少，则 得 ． 100 0.9 100x  （ ） 50 0.95 50x （ ） 150x  （3）若在两超市花费一样，则 得 ． 100 0.9 100x  （ ） 50 0.95 50x （ ） 150x  你能综合上面分析给出一个合理化的消费方案 吗？ 答：购物不超过50元和刚好是150元时， 在两家商场购物没有区别；超过50元而不到150元 时在乙商场购物花费少；超过150元后，在甲商场 购物花费少． 列一元一次不等式解决实际问题最关键的是根据题意找出不 等关系，要善于“关键词”中挖掘其内涵，还要注意解的 合理性.此题中用到了分类讨论的数学思想. 用一元一次不等式解决实际问题最关键的是哪一步？ 本题用到了什么数学思想？ 探究点二 利用一元一次不等式解决实际问题(2) 1．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答 错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答 对 道题. 2．一组同学到校门口拍一张合影，已知冲一张底片需 0.6元，洗一张相片需0.4元，每人都得到一张相片，每 人平均分担钱不能超过0.5元，那么参加合影的同学至 少有 人. 课堂练习 利用不等式来解决实际问题的步骤是什么？ 实际问题 设未知数，列不等式 数学问题 （一元一次不等式） 解 不 等 式 数学问题的解 （一元一次不等式的解集） 实际问题的解答 检验 数学建模 课堂小结 第九章 不等式与不等式组 9.3 一元一次不等式组 用每分钟可抽30t的抽水机来抽污水管道里积存的 污水，估计积存的污水走过1200t而不足1500t，那么将 污水抽完所用时间的范围是什么？ 情景导入 1.了解一元一次不等式组和它的解集的概念； 2.掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴表示一元 一次不等式组的解集，体验数形结合的数学思想． 学习目标 120030 x 150030 x 40x 50x 40 50 探究点一 一元一次不等式组及解集的概念 讲授新课   几个一元一次不等式组成一元一次不 等式组.   不等式组中所有不等式的解集的公共 部分叫做不等式组的解集. 你能利用数轴确定下列不等式组的解集吗？ 3 31 27 1 1 23 45 2 x x x x x x x x                  ， ，（） （ ）； ； ， ，（ ） （ ）； ． 说一说确定不等式组的解集的方法和技巧？ 一般地，几个不等式的解集的公共部分， 叫做由它们组成的不等式组的解集.可把不等式 组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，帮助 我们找不等式组的解集；一元一次不等式组的解 集的判断规则口诀：大大取大，小小取小，大小 小大取中间，大大小小找不到. 探究点二 解一元一次不等式组 例1．解下列不等式组： 2 1 11 8 4 1 2 3 11 2 2 5 1 23 x x x x x x x x               ，（ ） ； ， （ ） ． 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的 解集，再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直 观地表示不等式组的解集. 解一元一次不等式组的一般步骤？ 探究点二 解一元一次不等式组 例 x取哪些整数值时，不等式 与       都成立? 5 2 3 1x x  （ ） 1 31 72 2x x   探究点三 求一元一次不等式组的特殊解 x取哪些整数值时，成立？ 1 2 5 7x    这个式子是什么含 义？ 课堂练习 课堂小结 1. 两个概念： 一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集 2．解一元一次不等式组的一般步骤． 3．填表：