湘教版七年级数学下册第6章数据的分析

第6章 数据的分析 6.1 平均数、中位数、众数 6.1.1 平均数 在小学阶段，我们对平均数有过一些了 解，知道平均数是对数据进行分析的一 个重要指标. 一个小组10名同学的身高(单位：cm)如下表所示： 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思考 （1） 计算10名同学身高的平均数. 平均数： = 155.6（cm）. =(151+156+153+158+154+161+155+157 +154+157)÷10 x 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）在数轴上标出表示这些同学的身高 及其平均数的点. x 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）考察表示平均数的点与其他的点的 位置关系，你能得出什么结论？ 这些点都位于 的两 侧，不会都在平均数 的一侧. x 可以作为这组同学的 身高的代表值，它反映 了这组同学的身高的平 均水平. x 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均数作为一组数据的一个代表值，它 刻画了这组数据的平均水平. 【例1】某农业技术员试种了三个品种的棉花各10 株. 秋收时他清点了这30株棉花的结桃数如下表： 棉花品种 结桃数（个） 甲 84，79，81，84，85，82，83，86，87， 81 乙 85，84，89，79，81，91，79，76，82， 84 丙 83，85，87，78，80，75，82，83，81， 86 哪个品种较好？ 棉花品种 结桃数（个） 甲 84，79，81，84，85，82，83，86，87， 81 乙 85，84，89，79，81，91，79，76，82， 84 丙 83，85，87，78，80，75，82，83，81， 86 分析：平均数可以作为一组数据的代表值，它刻画了这组 数据的平均水平.当我们要比较棉花的品种时，可以计算出 这些棉花结桃数的平均数，再通过平均数来进行比较. 则 解：设甲、乙、丙三个品种的平均结 桃数分别 为 ，x x x甲 乙 丙， ， 84+79+81+84+85+82+83+86+87+81 83.210x = = 甲 个 ( )， 85+84+89+79+81+91+79+76+82+84 83.010x = = 乙 个 ( )， 83+85+87+78+80+75+82+83+81+86 82.010x = = 丙 个 ( )， 由于甲种棉花的平均结桃数高于其他两个品种的平均 结桃数，所以我们可以认为甲种棉花较好． 计算器一般有统计功能，我们可以利用该 功能求一组数据的平均数. 不同型号的计算器其操作步骤（按键）可能不同， 操作时需参阅计算器的说明书. 通常先按统计键，使计算器进入统计运算模式，然 后依次输入数据x1 ， ，x2， ，…，最后按求平 均数的功能键，即可得到该组数据的平均数. 在一次全校歌咏比赛中，7位评委给一个班级 的打分分别是： 9.00，8.00，9.10，9.10，9.15， 9.00，9.58. 怎样评分比较公正？ 思考 我们可以计算该班级歌咏比赛的 平均分 9.00+8.00+9.10+9.10+9.15+9.00+9.58 8.997x= = . 但实际上评委的评判受主观因素影响比较大，评分 也比较悬殊，为了消除极端数对平均数的影响，一 般去掉一个最高分和一个最低分，最后得分取  9.00+9.10+9.10+9.15+9.00 9.075x = = . 这个分数才比较合理地反映了这个班级的 最后得分. 1. 七年级（1）班举行1 min 跳绳比赛，以小组为单 位参赛.第1小组有8名同学，他们初赛和复赛时的成 绩如下表（单位：次）： 编 号 初 赛 90 85 85 78 101 105 97 96 复 赛 100 90 86 78 98 100 106 98 1 2 3 4 5 6 7 8 练习 （1）计算这组同学初赛和复赛的平均成 绩. 答：这组同学初赛的平均成绩为 92.125 ，复赛的平均成绩为94.5 . （2）你认为这组同学的初赛成绩好，还是复 赛成绩好？ 答：复赛的成绩好. 2. 某跳水队计划招收一批新运动员.请6位评委给选拔赛 参加者打分，平均分数超过8.5分才能被选上.刘明在比 赛时的成绩为8.30，8.25，8.45，8.20，8.30，9.60，你 认为刘明选得上吗？ 答：刘明的平均分数为8.52，所以 刘明能被选上. 3. 小明班上同学的平均身高是1.4m，小强班上 同学的平均身高是1.45m. 小明一定比小强矮吗？ 答：不一定. 学校举行运动会，入场式中有七年级的一个队列. 已知这个队列共100人，排成10行，每行10人.其中 前两行同学的身高都是160cm，接着3行同学的身高 都是155cm，最后5行同学的身高都是150cm. 怎样求 这个队列的平均身高？ 思考 100名同学的身高有 100个数，把它们加 起来再除以100，就 得到平均数. 这组数据中有许 多相同的数，相 同的数求和可用 乘法来计算. 用 表示平均身高， 则 x 160 20+155 30+150 50 100× × ×x= ÷( ) 20 30 50160 +155 +150100 100 100× × ×= 160 0.2+155 0.3+150 0.5× × ×= 1 5 3 . 5 c m = ( ) . 在上面的算式中，0.2，0.3，0.5分别表示160， 155，150这三个数在数据组中所占的比例，分别 称它们为这三个数的权数： 160的权数是0.2， 三个权数之和为0.2+0.3+0.5=1. 153.5是160，155，150分别以0.2，0.3，0.5为权的 加权平均数. 155的权数是0.3， 150的权数是0.5， 有一组数据如下： （1）计算这组数据的平均数. 1.60，1.60，1.60，1.64，1.64， 1.68，1.68，1.68. 这组数据的平均数为 1.60+1.60+1.60+1.64+1.64+1.68+1.68+1.68 1.64.8 = 思考 （2）这组数据中1.60，1.64，1.68的权数分别 是多少？求出这组数据的加权平均数. 有一组数据如下： 1.60，1.60，1.60， 1.64，1.64，1.68， 1.68，1.68. 31.60 8的权数为 ， 11 .6 4 4的 权 数 为 ， 31.68 8 的权数为 . 这组数据的加权平均数为 3 1 31.60 +1.64 +1.688 4 8× × × 0.6+0.41+0.63= = 1.64. （3）这组数据的平均数和加权平均数有什么 关系？ 有一组数据如下： 1.60，1.60，1.60， 1.64，1.64，1.68， 1.68，1.68. 这组数据的平均数和加权平均数相等，都等于 1.64，意义也恰好完全相同. 但我们不能把求加权平均数看成是求平均数的简 便方法，在许多实际问题中，权数及相应的加权平均 数都有特殊的含义. 平均数可看做是权数相同的加权平均数. 【例2】某纺织厂订购一批棉花，棉花纤维长短不一， 主要有3cm，5cm，6cm三种长度. 随意地取出10g棉花 并测出三种长度的棉花纤维的含量，得到下面的结果： 纤维长度（cm） 3 5 6 含量(g) 2.5 4 3.5 问：这批棉花纤维的平均长度是 多少？ 分析：在取出的10 g棉花中，长度为3cm，5cm， 6cm棉花的纤维各占25％，40％，35％，显然 含量多的棉花纤维的长度对平均长度的影响大， 所以要用求加权平均数的方法来求出这批棉花 纤维的平均长度． 解：这批棉花纤维的平均长 度是 答：这批棉花纤维的平均长度 是4.85cm． 2.5 4 3.53 +5 +6 =4.85 cm10 10 10× × × ( ). 1. 某棒球运动员近50场比赛的得分情况如 下表： 得分 0 1 2 3 4 次数 14 26 7 2 1 求该运动员50场比赛得分的平均数． 答：该运动员50场比赛得分的平均 数为 (14×0+26×1+7×2+2×3+1×4)÷50 =1． 2. 某出版社给一本书的作者发稿费，全书20 万字，其中正文占总字数的 ，每千字50元； 答案部分占总字数的 ，每千字30元．问全书 平均每千字多少元？ 4 5 1 5 答：全书平均每千字为46元． 4 120 10 50+20 10 30 20 10 =465 5× × × × × × ÷ ×( ) ( ) 通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步 6.1.2 中位数 张某管理一家餐馆，下面是该餐馆所有工作人员在 2010年10月的工资情况： 张某：15 000元； 会计：1 800元； 厨师甲：2 500元；厨师乙：2 000元； 杂工甲：1 000元； 杂工乙：1 000元； 服务员甲：1 500元；服务员乙：1 200元；服务员丙：1 000元． 计算他们的平均工资，这个平均工资能反映该餐馆 员工在这个月收入的一般水平吗？ 思考 解：设餐馆全体员工的平均工资为 ， 则（可用 计算器计算） x    15000+1800+2500+2000+1000 1000 1500 1200 1000 9 3000 x  （元） 实际上，3000元不能代表餐馆员工在这个月收 入的一般水平，因为员工中除张某外工资最高 的厨师甲的月收入2500元都小于这个平均数. 若不计张某的工资，设8名员工的平均工资为 ， 则（可用计算器计算） x     1800+2500+2000+1000 1000 1500 1200 1000= 8 = 1500 x 元( ) 不计张某的工资，餐馆员工的月平均工资为1500 元，这个数据能代表餐馆员工在这个月收入的一 般水平． 还有没有别的方法 呢？ 我们可以把餐馆中人员的月收入按从小到大的顺序 排列： 位于中间的数据，即第5个数据为1 500， 1000，1 000，1000，1200，1500，1800，2000，2500，15000. 它能比较合理地反映该餐馆员工的月收入水平. 1000，1000，1000，1200，1500，1800，2000， 2500，15000 中位数 把一组数据从小到大的顺序 排列，如果数据的个数是奇 数，那么位于中间的数称为 这组数据的中位数. 中间两个数的平 均数 1000，1000，1000，1200，1500，1800， 2000，2500 如果数据的个数是偶数，那 么位于中间的两个数的平均 数称为这组数据的中位数. 【例】求下列两组数据的中位数： （1）14，11，13，10，17，16，28； （2）453，442，450，445，446，457，448，449， 451，450 解： 把这组数据从小到大排 列： 10，11，13，14，16，17，28 位于中间的数是14，因此这组数据的 中位数是14. 中位数 把这组数据从小到大排列： 442，445，446，448，449，450，450， 451，453，457 位于中间的两个数是449和450，这两个数的平 均数是 449.5，因此这组数据的中位数是449.5. 中间的两 个数 中位数把一组数据分成相同数目的两部分， 其中一部分都小于或等于中位数，而另一 部分都大于或等于中位数． 因此，中位数常用来描述“中间位置”或“中等 水平”，但中位数没有利用数据组中所有的信息. 1. 求下列各组数据的中位数： （1）100，75，80，73，50，60，70； 解：把这组数据从小到大排列： 50，60，70，73，75，80，100 位于中间的数是73，因此这组数据的中位数是 73. 练习 （2）120，100，130，200，80，140， 125，180. 解：把这组数据从小到大排列： 80，100，120，125，130，140，180， 200 位于中间的数是125和130，所以这两个 数的平均数是127.5，因此这组数据的中 位数是127.5 . 2. 求下面各组数据的中位数和平均数： （1）17，12，5，9，5，14； 解：把这组数据从小到大排列： 5，5，9，12，14，17 位于中间的数是9和12，这两个数的 平均数是10.5，因此这组数据的中位 数是10.5； 这组数据的平均数是： (17+12+5+9+5+14)÷6=10.3 （2）20，2，2，3，9，1，22，11，28， 2，0，8，3，29，8，1，5 解：把这组数据从小到大排列： 0，1，1，2，2，2，3，3，5，8，8，9，11，20， 22，28，29 位于中间的数是5，因此这组数据的中位数是5； 这组数据的平均数是： (20+2+2+3+9+1+22+11+28+2+0+8+3+29+8 +1+5)÷17=9.06 通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步 6.1.3 众数 下面是一家鞋店在一段时间内各种尺码的男鞋 的销售情况统计表： 鞋的尺码(cm) 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售量(双) 5 6 6 10 17 10 12 7 思考 这家店销售量最多的男鞋是哪种尺码的？店 主最关心的问题是什么？ 这家店销售量最多的是25cm的鞋，店 主最关心的就是销售量，所以店主下 次进货时可以多进这个尺码的鞋. 在一组数据中，把出现次数最多的数叫做这 组数据的众数. 在上面的问题中，25是鞋的尺码中出现次数 最多的数，所以25是这组数据的众数. 当一组数据中某数据多次重复出现时，常可以用众 数作为这组数据的数值的一个代表值. 一组数据的众数可以不止一个. 【例】某公司全体职工的月工资如下： 试求出该公司工资数据中的众数、中位 数和平均数. 月工资 (元) 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1 (总经 理) 2 (副总 经理) 3 4 10 20 22 12 6 解： 在上述80个数据中，2000出现了22次，出 现的 次数最多，因此这组数据的众数是2000. 把这80个数据按从小到大的顺序 排列后，可以 发现位于中间的数是 2000，2500，因此这组数据的中位数 是 2000+2500 =2250.2 这组数据的平均数为 .                18000 12000 2 8000 3 6000 4 4000 10 2500 20 2000 22 1500 12 1200 6 80 249200 3115 80 x   我们把这组数据的众数、中位数、平均数 表示在图中： 在例4中，你认为用平均数、中位数或众数中的哪 一个更能反映该公司的工资水平？ 工资的平均数3115 偏高，因为大多数员 工的工资都达不到这个平均数，用它来 作为该公司员工工资的代表值并不合适. 众数是2000，中位数是2250，它们代表 了大多数人的工资水平，不偏高也不偏 低，较能反映工资水平的实际情况. 讨论 平均数、中位数和众数都是一组数据的代表， 它们从不同侧面反映了数据的集中趋势. 平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数 据提供的信息，因此在现实生活中应用较广，但它容 易受极端值的影响； 中位数对极端值不敏感，但没有利用数据中所 有的信息； 众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据， 也没有利用数据中所有的信息. 1. 求下列各组数据的众数： （1）3，4，4，5，3，5，6，5， 6； 解：根据题意可知，5出现的次数最多，因此， 5是这组数据的众数. 练习 （2）1.0，1.1，1.0，0.9，0.8， 0.9，1.1，0.9 解：根据题意可知，0.9出现的次数最多， 因此，0.9是这组数据的众数. 2. 某班30人所穿运动服尺码的情况为：穿75号码 的有5人，穿80号码的有6人，穿85号码的有15 人，穿90号码的有3人，穿95号码的有1人. 穿 哪一种尺码衣服的人最多？这个数据称为什 么数？ 解：根据题意可知，穿85号衣服的人最多. 因此85号是这组衣服尺码数据的众数. 通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步 第6章 数据的分析 6.2 方差 有两个女声合唱队，各由5名队员组成，她们 的身高为（单位：厘米）： 甲队：160，162，159，160，159 乙队：180，160，150，150，160. 如果单从队员的身高考虑，哪队的演出效果好？ 不难算出每个队的平均身高都是160厘米，但甲 队身高波动小，乙队身高波动大，单从身高考 虑，甲队比较整齐，演出的效果会好一些． 思考 一组数据中的数与这组数据的平均数的偏离程度是数据 的一个重要特征，它反映了一组数据的分散程度．如何 反映一组数据与数据与其平均数的偏离程度？给定一组 数据：3，3，4，6，8，9，9，其平均数是  3 3 4 6 8 9 9 7 6        这组数据中的每个数与平均数6 的偏差是： 363  363  264  066  268  369  369  将各个数与平均数的偏差相加， 能否得到总偏差？ ( -3 )+( -3 )+( - 2 )+0+2+3+3相加的结果 为0，不能反映总偏差， 这是因为偏差有正有负， 相加对正负相消，因而不 能反映总偏差． 你用什么方法可以反映总偏差的大小？ 可以考虑先取绝对值再相加. 但在今后的计算中，绝对值用起来不方便．其 实，一个数的绝对值是非负的，一个数的平方 也是非负的；并且绝对值较大的数，它的平方 也较大，因此这组数据的每一个数与平均数的 差的平方也能反映这个数与平均数的偏离程 度． 不如先将基数与平均数之差平方，然后再相加，就不会出现 正负相消的情况. 思考 一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均 值，称为这组数据的方差． 例如，上面所给的一组数据的方差是 7 44 我们将上面计算方差的过程用下面的表格来表示： 数据编号 1 2 3 4 5 6 7 数据 3 3 4 6 8 9 9 平均数 (3+3+4+6+8+9+9) ÷7=6 偏差 －3 －3 －2 0 2 3 3 偏差的平 方 9 9 4 0 4 9 9 偏差平方 和 9+9+4+0+4+9+9＝44 方差 4444 7 7   计算前面的实例中甲、乙两个女声合唱队各队队 员身高的方差，并说明计算结果的实际意义．          2 2 2 2 2160 160 162 160 159 160 160 160 159 160 5               2 22 2 220 0 10 10 0 5 120              2 22 2 20 2 1 0 1 5 1.2           乙队队员身高的方差是：          2 2 2 2 2180 160 160 160 150 160 150 160 160 160 5            解：甲、乙两队中，每队队员的平均身高都是160 厘米，甲队队员身高的方差是： 计算的结果表明：乙队队员身高的方差（120厘 米2）比甲队队员身高的方差（1.2厘米2）大得多， 即乙队中各队员的身高与她们的平均身高的偏差 大，而甲队中各队员的身高与她们的平均身高的 偏差小，这说明乙队的队员高的高，矮的矮而甲 队队员的身高比较整齐． 方差反映的是一组数据哪个方面的特征？ 方差反映的是一组数据与其平均数 的偏离程度，方差越小，数据越集 中；方差越大，数据越分散． 【例】5名篮球队员的身高分别为（单位：厘米）193 ， 182， 187 ， 174 ， 189，试求出这组数据的极差、方 差、并比较其具体涵义．    193 182 187 174 189 5 185      厘米          2 2 2 2 2193 185 182 185 187 185 174 185 189 185 5             42.8 厘米 极差是最高的队员和最矮的队员身高之差，它只与数据的最 大值和最小值有关而与其他的数据无关，所以没有充分利用 数据提供的信息；但极差很容易计算，用起来特别方便，直 接反映一组数据的所在的范围的跨度，方差是每个队员的身 高与她们的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及数据组 中的每个数据，反映了数据组与其平均数的偏离程度． 解：极差： 193－174＝19（厘米） 平均身高： 方差： 1.一个小组有8名同学，分别测量同一根绳子的长度， 测得的数据如下（单位：厘米） 108.5， 110，109.3，108.9 110.8 ，110.5 ，109.4 ，109.2 （1）如何确定这根绳子的长度的近似值？ （2）如何评价测量结果的准确程度？ 练习 这根绳子的长度的近似值是109.6厘米 计算其方差，方差越小准确程度越高 解：                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 105.5 109.6 110 109.6 109.3 109.6 108.9 109.61 2.5 8 110.8 109.6 110.5 109.6 109.4 109.6 109.2 109.6 S                       1 108.5 110 109.3 108.9 110.8 110.5 109.4 109.2 109.6 8 x          2.一组数据的方差为0，这组数据有什么特点？方差 可以是负数吗？为什么？ 每个数据都等于这组数据的平均数 不可以      2 2 22 1 2 1 ... 0nS x x x x x x n           因为 通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步