第1章 二元一次方程组
1.1 建立二元一次方程组
小红家今年1月份的天然气费和水费共60元，其中天
然气费比水费多20元. 你能算出1月份小红家的天然
气费和水费分别是多少吗？
可以设1月份的天然气费是x元，则水费
是（x-20）元.列一元一次方程得：x+
（x-20）=60.解得x=40，因此天然气费
是40元，水费是20元.
思考
想一想，还有其他的方法吗？
问题中既要求水费，又要求天然
气费，可以设1月份的天然气费
是x元，水费是y元.
根据题意得x+y=60， ①
x-y=20. ②
讨论
观察方程①、②各含有几个未知数？含未知数的项
的次数是多少？
二元一次方程（组）
像x+y=60，x-y=20这样，含有两个未知数(二元)，
并且含未知数的项的次数都是1，称这样的方程为二
元一次方程.
在方程①和②中，x都表示小红家1月份的天然气费，
y表示1月份的水费，它们必须同时满足方程①和②，
因此把方程①和②用大括号联立起来，得
60,
20.
x y
x y
像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程
（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联
立起来，组成的方程组，叫作二元一次方程组.
把x=40，y=20代入方程组 的每一个方程
中，每一个方程左、右两边的值相等吗？
60
,
20
x y
x y
40+20=60，40-20=20.每一
个方程左、右两边的值都
相等.
观察
解方程组
在一个二元一次方程组中，使每一个方程的左、右
两边的值都相等的一组未知数的值，叫做这个方程
组的一个解.
我们把x=40，y=20叫做二元一次方程组
的一个解.这个解通常写做
60
,
20
x y
x y
40,
20.
x
y
求方程组的解的过程叫做解方程组.
【例】小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，
共花去8元，其中购买的练习本比圆珠笔多花4元.
（1）为了知道练习本、圆珠笔的单价是多少元，你
能列出相应的方程组吗？
（2） 是列出二元一次方程组的解吗？
2,
1
x
y
解：（1）设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价
是y元.根据题意得
3 2 8,
3 2 4.
x y
x y
（2）把 代入方程①中，左边=右边，
把 代入方程②中，左边=右边，
所以 是方程组 的解.
2,
1
x
y
2,
1
x
y
2,
1
x
y
3 2 8,
3 2 4.
x y
x y
1. 是上例中方程组的解吗？
2,
2
x
y
答案：不是.
练习
2.一条船顺流航行，每小时行24km；逆流航行，每小
时行8km.
（1）为了求轮船在静水中的速度x与水的流速y，
你能列出相应的方程组吗？
（2） 是列出的二元一次方程组的解吗？
21,
3
x
y
答案：（1）
（2）是.
2 4
,
1 8
x y
x y
3. 是下列那个哪个方程组的解？2,
1
x
y
（1）2 3,
3 5.
x y
x y
（2）
3 4 2,
4 3 6.
x y
x y
答案：是（1）的解，
不是（2）的解.
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
我思 我进步
第1章 二元一次方程组
1.2 二元一次方程组的解法
1.2.1 代入消元法
新知探究
在上一节中，我们列出了二元一次方程组
并且知道x=40，y=20是这个方程组的一个解.这个解
是怎么得到的呢？
大家都会解一元一次方程，可是现在方程
①和方程②中都含有两个未知数，该如何
解决呢？
60,
20.
x y
x y
②
①
方程①和②中的x都表示一月份的天然气费，y都表
示一月份的水费，因此方程中②中的x，y分别与方
程①中的x，y的值相同.
由②式可得 x=y+20. ③
于是可以把③代入①式，得 （y+20）+y=60，
④
解方程④，得y=20.把y的值代入③式，得x=40.
因此原方程组的解是
40,
20.
x
y
同桌同学讨论，解二元一次方程组的基本思想法是
什么？
讨论
【例1】解二元一次方程组：
5 9,
3 1.
x y
x y
②
①
解：由②式，得 y= -3x+1. ③
把③代入①式，得5x-（-3x+1）=-9.
解得 x= -1.
把x= -1代入③式，得 y=4.
因此原方程组的解是
1,
4.
x
y
可以把求得的x，y
的值代入原方程组
检验，看是否为方
程组的解.
代入消元法
解二元一次方程组的基本思想是：消去一个未知数
（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这
个一元一次方程.
在上面的例子中，消去一个未知数的方法是：把其
中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的
代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得
到一个一元一次方程.这种解方程组的方法叫作代入
消元法，简称代入法.
【例2】用代入法解方程组：
2 3 0,
5 7 1.
x y
x y
②
①
解：由①式，得 ③
把③代入②式，得
解得 y=2.
把y=2代入③式，得 x=3.
因此原方程组的解是
3 .
2
x y
35 7 1.
2
y y
3,
2.
x
y
1. 把下列方程改写为用含x的代数式表示y的形式.
（1）2x-y=-1； （ 2）x+2y-2=0.
答案：（1）y=2x+1.
（2） 1 1.
2
y x
练习
2.用代入法解下列二元一次方程组.
（1） 128,
4.
x y
x y
（2）
3 2 5,
2 1.
x y
y x
（3）
5 2 11,
3 7.
a b
a b
（4）
3 1 0,
2 3 3 0.
m n
m n
答案：（1） 66,
62.
x
y
（2）
1,
1.
x
y
（3）
3,
2.
a
b
（4）
0,
1.
m
n
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
我思 我进步
1.2.2 加减消元法
新知探究
如何解下面的二元一次方程组？
2 3 1,
2 3 5.
x y
x y
②
①
我们可以用学过的代
入消元法来解这个方
程组，得 1,
1.
x
y
还有没有更简单的解法呢？
我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知
数，使方程转化为一个一元一次方程.
分析方程①和②，可以发现未知数x的系数相同，因
此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去
其中一个未知数x，得到一个一元一次方程.
即①-②，得 2x+3y-（2x-3y）=-1-5，
解得y=-1. 把y=-1代入①式，解得x=1.
因此原方程组的解是
1,
1.
x
y
分析方程①和②，可以发现未知数y的系数互为相反
数，因此也可以把这两个方程的两边分别相加，就
可以消去其中一个未知数y，得到一个一元一次方程.
【例1】解二元一次方程组：
7 3 1,
2 3 8.
x y
x y
②
①
解：①+②，得 7x+3y+2x-3y=1+8，
解得x=1.
把x=1代入①式，可求出 y= -2.
因此原方程组的解是
1,
2.
x
y
加减消元法
消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未
知数的系数相等，那么把这两个方程相减（或相加）；
否则，先把其中一个方程乘以适当数，将所得方程与
另一个方程相减（或相加），或者先把两个方程分别
乘以适当的数，再把所得到的方程相减（或相
加）．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法
简称加减法.
【例2】解二元一次方程组：
2 3 11,
6 5 9.
x y
x y
②
①
解：①×3，得 6x+9y=-33. ③
②-③，得 -14y=42，
解得y=-3.
把y=-3代入①式，可求出 x=-1.
因此原方程组的解是
1,
3.
x
y
在例2中如果先消去y应如何解？会与上述结果一致
吗？
讨论
用加减法解一元二次方程组：
（1）
2 2,
2 3 18.
x y
x y
（2）
5 2 11,
5 3 4.
a b
a b
（3） 3 2 8,
6 5 47.
m n
m n
（4）
2 4 34,
5 2 31.
x y
x y
答案：（1） 3,
4.
x
y
（2）
1,
3.
a
b
（3） 2,
7.
m
n
（4）
8,
9.
2
x
y
练习
加减消元法和代入消元法是解二元一次方程的两种方
法，它们都是通过消去其中一个未知数（消元），使
二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解，只
是消元的方法不同，我们可以根据方程组的具体情况
来灵活选择适合它的消元方法.
【例3】解二元一次方程组：
2,
5 2
2 3 4.
m n
m n
②
①
解：①×10，得 2m-5n=20. ③
②-③，得 3n-（-5n）=4-20，
解得 n=-2.
把n=-2代入①式，可求出 m=5.
因此原方程组的解是
5,
2.
m
n
【例4】解二元一次方程组：
3 4 8,
4 3 1.
x y
x y
②
①
解：①×4，得 12x+16y=32. ③
②×3，得 12x+9y= -3. ④
③-④，得 16y-9y=32-（-3）， 解得 y=5.
把y=5代入①式，可求出 x=-4.
因此原方程组的解是
4,
5.
x
y
【例5】在方程y=kx+b中，当x=1时，y= -1；当x= -1时，
y=3.试求k和b的值.
解：根据题意得
①+②，得 2=2b，
解得 b=1.
把b=1代入①式，得k=-2.
所以k=-2，b=1.
1 ,
3 .
k b
k b
②
①
1.解下列二元一次方程组：
（1）
2 1 5,
3 2
3 6.
x y
x y
（2）
2 5 24,
5 2 31.
x y
x y
答案：（1）
36 ,
5
2 .
5
x
y
（2） 7,
2.
x
y
练习
2.已知 和 都是方程y=ax+b的解，求a，
b的值.
1,
0
x
y
2,
3
x
y
答案：
1,
1.
x
y
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
我思 我进步
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一. 大约
在1500年前成书的《孙子算经》中就有关于“鸡兔
同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，
下有九十四足，问雉兔各几何？”
这四句话的意思是：有若干只鸡兔
关在一个笼子里，从上面数，
有 35 个头；从下面数，有 94 条腿.
问笼中各有几只鸡和兔？
思考
本题涉及的等量关系有：鸡头数+兔头数=35，
鸡的腿数+兔子的腿数=94.
设鸡有x只，图有y只.
根据灯亮关系，得
解这个方程组，得
答：笼中有23只鸡，12只兔.
35,
2 4 94.
x y
x y
23,
12.
x
y
【例1】某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项
训练.某次训练中，他骑自行车的平均速度为10m/s，跑
步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共
5km，共用时15min.求自行车路段和长跑路段的长度.
10
3
分析：本问题涉及的等量关系有：
自行车路段长度+长跑路段长度=总路程，
骑自行车的时间+长跑时间=总时间.
解：设自行车路段的长度为xm，长跑路段的长度
为ym.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
因此自行车路段长度为3000m，长跑路段的长度为
2000m.
5000,
15 60.1010
3
x y
x y
3000,
2000.
x
y
【例2】某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100kg现
在有含蛋白质分别为20%和12%的甲乙两种配料. 用这
两种配料可以配制出所要求的食品吗?如果可以的话，
它们各需多少千克?
分析：本问题涉及的等量关系有：
甲配料质量+乙配料质量=总质量，
甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋
白质质量.
解：设含蛋白质20%的配料需用xkg，含蛋白质12%的
配料需用ykg.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20%的
配料需用37.5kg，含蛋白质12%的配料需用62.5kg.
100,
20% 12% 100 15%.
x y
x y
37.5,
62.5.
x
y
建立二元一次方程组解决实际问题的步骤如下：
实际
问题
列二元
一次方
程组
解方
程组
检验解是
否符合实
际情况
分析等量
关系
设两个未
知数
1.一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了
16g.已知金在水中称，金重减轻 ；银在水中称，
银重减轻 .求这块合金中含金、银各多少克.
1
19
1
10
答案：这块合金中含金190g，含银60g.
练习
2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变
化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两
种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、
乙两种商品原来的单价.
答案：甲商品原来的单价40元，乙商品原来的单
价60元.
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假
设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走
80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
要10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多
远？
思考
小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路（回家
所走的上坡路长即为去学校的下坡路长）.根据问题
中涉及的路程、速度与时间的数量关系，可得
走平路的时间+走下坡路的时间=10min，
走上坡路的时间+走平路的时间=15min.
设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.
根据等量关系得
10,
60 80
15.
60 40
x y
x y
解这个方程组，得
300,
400.
x
y
因此，平路长为300m，下坡长为400m，小华家离
学校700m.
【例3】某城市规定：出租车起步价所包含的路程为
0~3km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘
这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出
租车走了23km，付了35元.”请你算一算：出租车的起
步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
分析：本问题涉及的等量关系有：
总车费=0~3km的车费（起步价）+超过3km后的
车费.
解：设出租车的起步价是x元，超过3km后每千米收
费y元.
根据等量关系，得
即
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米
收费1.5元.
11 3 17,
23 3 35.
x y
x y
8 17,
20 35.
x y
x y
5 ,
1 .5 .
x
y
【例4】某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，
其中每包书的数目相等.第一次它们领来这批书的 ，
结果打了14个包还多35本；第二次他们把剩下的书全部
取出来，连同第一次打包打包剩下的书一起，刚好又打
了11包.那么这批书共有多少本？
7
12
解：设这批书共有x本，每包书有y本.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
答：这批书共有1500本.
7 14 35,
12
71 35 11 .
12
x y
x y
1500,
60.
x
y
1.星期日，小军与小明所在年级分别有同学去颐和
园和圆明园参观，其参观人数和门票花费如下表：
颐和园
参观人数
圆明园
参观人数
门票花费
总 计
小军所在
年级
30 30 750 元
小明所在
年级
30 20 650 元
问：颐和园和圆明园的门票各多少元？
答案：颐和园门票15元，圆明园门票10元.
思考
2.王先生家厨房需更换地面瓷砖，他采用两种颜色
的地砖搭配使用，其中彩色地砖24元/块，单色地砖
12元/块，购买的单色地砖数比彩色地砖数的2倍少
15块，买两种地砖共花去2220元.求购买的彩色地砖
数和单色地砖数.
答案：购买彩色地砖50块，单色地砖85块.
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
我思 我进步
第1章 二元一次方程组
1.4 三元一次方程组
小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈
大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的 .问这家
人的年龄分别是多少岁?
1
7
可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为
x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）
岁.根据题意得
6 80,
1 6 .
7
x y x
y x x
思考
解上述方程组得x=38，y=10.
因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽
的年龄为10岁.
想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？
因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸
的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽
的年龄为z岁.根据题意，得 x+y+z=80，
x-y=6，x+y=7z.
三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我
们把这三个方程联立在一起写成： 80,
6,
7 .
x y z
x y
x y z
可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方
程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方
程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知
数的值，叫做这个方程组的一个解.
解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一
个未知数，使其转化为一元一次方程来求解，那么
我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入
法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为
二元一次方程组或一元一次方程呢？
思考
现在我们来解下面的三元一次方程组：
80,
6,
7 .
x y z
x y
x y z
①
②
③
我们把①、②两式相加得到一个只含x和z的二元一
次方程，即2x+z=86.再把②、③两式相加又得到一
个只含x和z的二元一次方程，即2x=6+7z.
由此可得到一个关于x，z的二元一次方程组：2 86,
2 7 6.
x z
x z
解得
38,
10.
x
z
把x=38，z=10代入①式，得 38+y+10=80，
解得 y=32.
因此，三元一次方程组的解为
38,
32,
10.
x
y
z
从上面解方程组的过程可以看出，解三元一次方程
组的基本思想是：先消去一个未知数，将解三元一
次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为
解二元一次方程.消元的基本方法仍然是代入法和加
减法.
【例】解三元一次方程组：
分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可
以先下去消去z或y来求解.
5 4 0,
3 4 1,
2.
x y z
x y z
x y z
①
②
③
解：②×4-①，得 7x-17z=4.
②-③，得2x-5z=3.
两次转化都必须
是消去同一个未
知数.
由此得到
7 17 4,
2 5 3.
x z
x
解这个二元一次方程组得
31,
13.
x
z
把x=-31，z=-13代入③式，得y=42.
所以原方程组的解为
31,
42,
13.
x
y
z
1.解下列三元一次方程组：
（1）
7,
2 6,
7.
x y
y z
x z
（2）
2 2 4,
2 2 7,
2 2 6.
x y z
x y z
x y z
答案：（1）
1,
6,
6.
x
y
z
（2）
8,
5,
2.
x
y
z
练习
2.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，
乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17
岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
答案：甲8岁，乙7岁，丙9岁.
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
我思 我进步
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