第
2
章 整式的乘法
2.1
整式的乘法
2.1.1
同
底数幂的乘法
2
2
×
2
4
=
；
a
2
·
a
4
=
；
a
2
·
a
m
=
；（
m
是正整数）
a
m
·
a
n
=
.
（
m
、
n
均为正整数）
2
2
×
2
4
=
（
2
×
2
）×（
2
×
2
×
2
×
2
）
=
2
×
2
×
2
×
2
×
2
×
2=2
6
.
2
个
2
4
个
2
（
2+4
）个
2
a
2
·
a
4
=
（
a
·
a
）·（
a
·
a
·
a
·
a
）
=
a
·
a
·
a
·
a
·
a
·
a
=
a
6
.
2
个
a
4
个
a
（
2+4
）个
a
思考
a
2
·
a
m
=
（
a
·
a
）·（
a
·
a
·
…
·
a
·
a
）
=
a
·
a
·
…
·
a
=
a
2+
m
.
2
个
a
m
个
a
（
2+
m
）个
a
通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？
底数不变，指数相加
.
我们把上述运算过程推广到一般情况（即
a
m
·
a
n
），即
a
m
·
a
n=
（
a
·
a
·
…
·
a
）·（
a
·
a
·
…
·
a
）
=
a
·
a
·
…
·
a
=
a
m
+
n
（
m
，
n
都是正整数）
.
m
个
a
n
个
a
（
m
+
n
）个
a
a
m
·
a
n
=
a
m
+
n
（
m
，
n
都是正整数）
.
所以，我们得到：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
.
【例
1
】计算：（
1
）
10
5
×
10
3
； （
2
）
x
3
·
x
4
.
解：（
1
）
10
5
×
10
3
=10
5+3
=10
8
；
（
2
）
x
3
·
x
4
=
x
3+4
=
x
7
.
【例
2
】计算：（
1
）
-
a
·
a
3
；
（
2
）
y
n
·
y
n
+1
（
n
是正整数）
.
解：（
1
）
-
a
·
a
3
= -
a
1+3
= -
a
4
；
（
2
）
y
n
·
y
n
+1
=
y
n
+
n
+1
=
y
2
n
+1
.
当三个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算
的结果
呢？
讨论
【例
3
】计算：（
1
）
3
2
×
3
3
×
3
4
；
（
2
）
y
·
y
2
·
y
4
.
解法一：（
1
）
3
2
×
3
3
×
3
4
=
（
3
2
×
3
3
）×
3
4
=3
5
×
3
4
=3
9
；
（
2
）
y
·
y
2
·
y
4
=
（
y
·
y
2
）·
y
4
=
y
3
·
y
4
=
y
7
.
解法二：（
1
）
3
2
×
3
3
×
3
4
=3
2+3+4
=3
9
；
（
2
）
y
·
y
2
·
y
4
=
y
1+2+4
=
y
7
.
1.
计算：（
1
）
10
6
×
10
4
； （
2
）
x
5
·
x
3
；
（
3
）
a
·
a
4
； （
4
）
y
4
·
y
4
.
答案：（
1
）
10
10
；（
2
）
x
8
；
（
3
）
a
5
； （
4
）
y
8
.
练习
2.
计算：（
1
）
2
×
2
3
×
2
5
；（
2
）
x
2
·
x
3
·
x
4
；
（
3
）
-
a
5
·
a
5
；
（
4
）
a
m
·
a
（
m
是正整数）；
（
5
）
x
m
+1
·
x
m
-1
（其中
m
＞
1
，且
m
是正整数）
.
答案：（
1
）
2
9
； （
2
）
x
9
；
（
3
）
-
a
10
；（
4
）
a
m
+1
.
（
5
）
x
2
m
.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
2.1.2
幂
的乘方与积的乘方
( 2
2
)
3
=
；
(
a
2
)
3
=
；
(
a
2
)
m
=
;
（
m
是正整数）
(
a
m
)
n
=
.
（
m
、
n
均为正整数）
( 2
2
)
3
=2
2
·
2
2
·
2
2
=
2
2+2+2
=2
2
×
3
=2
6
.
(
a
2
)
3
=
a
2
·
a
2
·
a
2
=
a
2+2+2
=
a
2
×
3
=
a
6
.
(
a
2
)
m
=
a
2
·
a
2
·
…
·
a
2
=
a
2+2+
…
+
2
=
a
2
×
m
=
a
2
m
.
m
个
a
2
m
个
2
思考
通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？
底数不变，指数相乘
.
同样，我们把上述运算过程
推广到
一般情况，即
(
a
m
)
n
=
a
m
·
a
m
·
…
·
a
m
=
a
m
+
m
+
…
+
m
=
a
mn
（
m
，
n
都是正整数）
.
n
个
a
m
n
个
m
(
a
m
)
n
=
a
mn
（
m
，
n
都是正整数）
.
可以得到：幂的乘方，底数不变，指数相乘
.
【例
1
】计算：（
1
）
( 10
5
)
2
；（
2
）
-(
a
3
)
4
.
解：（
1
）
( 10
5
)
2
=10
5
×
2
=10
10
；
（
2
）
-(
a
3
)
4
= -
a
3
×
4
= -
a
7
.
【例
2
】计算：（
1
）
(
x
m
)
4
；（
2
）
(
a
4
)
3
·
a
3
.
解：（
1
）
(
x
m
)
4
=
x
m
×
4
=
x
4
m
；
（
2
）
(
a
4
)
3
·
a
3
=
a
4
×
3
·
a
3
=
a
15
.
1.
填空：（
1
）
( 10
5
)
2
=
；
（
2
）
(
a
3
)
3
=
；
（
3
）
-
(
x
3
)
5
=
；
（
4
）
(
x
2
)
3
·
x
2
=
.
10
10
a
9
-
x
15
x
8
练习
2.
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）
(
a
4
)
3
=
a
7
； （
2
）
(
a
3
)
2
=
a
9
.
答案：（
1
）、（
2
）均不对；
（
1
）
(
a
4
)
3
=
a
12
；
（
2
）
(
a
3
)
2
=
a
6
.
( 3
x
)
2
=
；
(
4
y
)
3
=
；
(
ab
)
3
=
；
(
ab
)
n
=
.
( 3
x
)
2
=3
x
·
3
x
=( 3
·
3 )
·
(
x
·
x
)=9
x
2
.
( 4
y
)
3
=( 4
y
)
·
( 4
y
)
·
( 4
y
)
=( 4
·
4
·
4 )
·
(
y
·
y
·
y
)
=64
y
3
.
(
ab
)
3
=(
ab
)
·
(
ab
)
·
(
ab
)
=(
a
·
a
·
a
)
·
(
b
·
b
·
b
)
=
a
3
b
3
.
思考
通过观察，你能推导出第四个式子吗？
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
（
n
是正整数）
.
(
ab
)
n
=(
ab
)
·
(
ab
)
·
…
·
(
ab
)
= (
a
·
a
·
…
·
a
)
·
(
b
·
b
·
…
·
b
)
=
a
n
b
n
（
n
是正整数）
.
n
个
ab
n
个
a
n
个
b
所以，我们得到：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
.
(
abc
)
n
=
？（
n
是正整数）
讨论
【例
3
】计算：（
1
）
( -2
x
)
3
；
（
2
）
( -4
xy
)
2
；
（
3
）
(
xy
2
)
3
；
（
4
）
解：（
1
）
( -2
x
)
3
=
( -2 )
3
·
x
3
= -8
x
3
；
（
2
）
( -4
xy
)
2
= ( -4 )
2
·
x
2
·
y
2
= 16
x
2
y
2
；
（
3
）
(
xy
2
)
3
=
x
3
·
(
y
2
)
3
=
x
3
y
6
；
（
4
）
【例
4
】计算：
2(
a
2
b
2
)
3
-3(
a
3
b
3
)
2
解：
2(
a
2
b
2
)
3
-3(
a
3
b
3
)
2
=2
a
6
b
6
-3
a
6
b
6
=-
a
6
b
6
.
1.
计算：（
1
）
；
（
2
）
( -
xy
)
4
；
（
3
）
( -2
m
2
n
)
3
；
（
4
）
( -3
ab
2
c
3
)
4
.
答案：（
1
） ；（
2
）
x
4
y
4
；
（
3
）
-8
m
6
n
3
；（
4
）
81
a
4
b
8
c
12
.
练习
2.
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）
(
ab
3
)
2
=
ab
6
； （
2
）
( 2
xy
)
3
=6
x
3
y
3
.
答案：（
1
）、（
2
）均不正确；
（
1
）
(
ab
3
)
2
=
a
3
b
6
；
（
2
）
( 2
xy
)
3
=8
x
3
y
3
.
3.
计算：
-(
xyz
)
4
+( 2
x
2
y
2
z
2
)
2
.
答案：
3
x
4
y
4
z
4
.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
2.1.3
单项式
的乘法
怎样计算
4
xy
与
-3
xy
2
的乘积？
一般地，单项式与单项式相乘，把他们的系数、同底数幂分别相乘
.
思考
【例
1
】计算：
（
1
）
( -2
x
3
y
2
)
·
( 3
x
2
y
)
；
（
2
）
( 2
a
)
3
·
( -3
a
2
b
)
；
（
3
）
（
1
）（
-2
x
3
y
2
）（
3
x
2
y
）
=[
（
-2
）·
3]
（
x
3
·
x
2
）（
y
2
·
y
）
=-
6
x
5
y
3
.
解：
（
2
）
( 2
a
)
3
·
( -3
a
2
b
)
=[2
3
·（
-3
）
]
（
a
3
·
a
2
）
b
=-24
a
5
b
.
【例
2
】天文学上计算星球之间的距离用
“
光年
”
做单位的
，
1
光年就是光在
1
年内所走过的距离
.
光的速度约为
3
×
10
8
m/s
，
1
年约
3
×
10
7
s.
计算
1
光年约多少米
.
解：根据题意，得
3
×
10
8
×
3
×
10
7
=
（
3
×
3
）×（
10
8
×
10
7
）
= 9
×
10
15
（
m
）
.
答：
1
光年约
9
×
10
15
m.
1.
计算：
答案：（
1
） ；（
2
）
.
练习
2.
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）
4
x
2
·
3
x
3
=12
x
6
；
（
2
）
-
x
2
·（
2
x
）
2
=4
x
4
.
答案：（
1
）、（
2
）均不对；
（
1
）
4
x
2
·
3
x
3
=12
x
5
；
（
2
）
-
x
2
·（
2
x
）
2
= -4
x
4
.
3.
计算（其中
n
是正整数）：
（
1
）（
-2
x
n
+1
）·
3
x
n
（
2
）
答案：（
1
）
-6
x
2
n
+1
；
（
2
）
-2
x
n
+1
y
3
.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
2.1.4
多项式
的乘法
怎样计算单项式
2
x
与多项式
3
x
2
-
x
-5
的积？
可以运用乘法对加法的分配律
.
2
x
·（
3
x
2
-
x
-5
）
= 2
x
·
3
x
2
+2
x
·（
-
x
）
+2
x
·（
-5
）
= 6
x
3
-2
x
2
-10
x
.
思考
【例
1
】计算：
（
1
）
；
（
2
）
.
解：（
1
）
（
2
）
【例
2
】求 的值，其中
x
=3
，
y
=-1.
解：
= -
x
3
y
+2
x
2
y
2
+4
x
3
y
=3
x
3
y
+2
x
2
y
2
.
当
x
=2
，
y
=-1
时，
原式
=3
×
2
3
×（
-1
）
+2
×
2
2
×（
-1
）
2
= -24+8= -16.
1.
计算：
（
1
）
-2
x
2
·
(
x
-5
y
)
；
（
2
）
( 3
x
2
-
x
+1 )
·
4
x
；
（
3
）（
2
x
+1
）·（
-6
x
）；
（
4
）
3
a
·（
5
a
-3
b
）
.
答案：（
1
）
-2
x
3
+10
x
2
y
；（
2
）
12
x
3
-4
x
2
+4
x
；
（
3
）
-12
x
2
-6
x
； （
4
）
15
a
2
-9
ab
.
练习
2.
先化简，再求值：
；
其中
x
= -2
，
答案：
1.
a
b
m
n
有一套居室的平面图如图所示，怎样用代数表示它的总面积呢？
南北向总长为
a
+
b
，东西向总长为
m
+
n
，所以居室的总面积为：
(
a
+
b
)
·
(
m
+
n
).
①
N
思考
北边两间房的面积和为
a
（
m
+
n
），南边两间房的面积和为
b
（
m
+
n
），所以居室的总面积为：
a
(
m
+
n
)+
b
(
m
+
n
).
②
四间房的面积分别为
am
，
an
，
bm
，
bn
所以居室的总面积为：
am
+
an
+
bm
+
bn
.
③
上面的三个代数式都正确表示了该居室的总面积，因此有：
(
a
+
b
)(
m
+
n
) =
a
(
m
+
n
) +
b
(
m
+
n
) =
am
+
an
+
bm
+
bn
.
撇开上述式子的实际意义，想一想，这几个代数式为什么相等呢？它们利用了乘法运算的什么性质？事实上，由代数式①到代数式②，是把
m
+
n
看成一个整体，利用乘法分配律得到
a
(
m
+
n
)+
b
(
m
+
n
)
，继续利用乘法分配律，就得到结果
am
+
an
+
bm
+
bn
.
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
.
【例
3
】计算：（
1
）
( 2
x
+
y
)(
x
-3
y
)
；
（
2
）
( 2
x
+1 )( 3
x
2
-
x
-5 )
；
（
3
）
(
x
+
a
)(
x
+
b
).
解：（
1
）
( 2
x
+
y
)(
x
-3
y
)=2
x
·
x
+2
x
·（
-3
y
）
+
y
·
x
+
y
·
（
-3
y
）
=2
x
2
-6
xy
+
yx
-3
y
2
=2
x
2
-5
xy
-3
y
2
.
（
2
）
( 2
x
+1 )( 3
x
2
-
x
-5 )=
6
x
3
-2
x
2
-10
x
+3
x
2
-
x
-5=6
x
3
+
x
2
-11
x
-5.
（
3
）
(
x
+
a
)(
x
+
b
)=
x
2
+
bx
+
ax
+
ab
=
x
2
+(
a
+
b
)
x
+
ab
.
【例
4
】计算：（
1
）
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
；
（
2
）
(
a
+
b
)
2
；
（
3
）
(
a
-
b
)
2
.
解：（
1
）
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
ab
+
ba
-
b
2
=
a
2
-
b
2
.
（
2
）
(
a
+
b
)
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
+
ab
+
ba
+
b
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
.
（
3
）
(
a
-
b
)
2
=(
a
-
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
ab
-
ba
+
b
2
.
1.
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）
( 3
a
-
b
)( 2
a
+
b
)=3
a
·
2
a
+( -
b
)
·
b
=6
a
2
-
b
2
.
（
2
）
(
x
+3 )( 1-
x
)=
x
·
1+
x
·
x
+3-3
·
x
=
x
2
-2
x
+3.
答案：（
1
）、（
2
）均不对；
（
1
）
( 3
a
-
b
)( 2
a
+
b
)=6
a
2
+3
ab
-2
ab
-
b
2
=6
a
2
+
ab
-
b
2
；
（
2
）
(
x
+3 )( 1-
x
)=
x
·
1-
x
·
x
+3-3
·
x
= -
x
2
-2
x
+3.
练习
2.
计算：
（
1
）
(
x
-2 )(
x
+3 )
；
（
2
）
(
x
+1 )(
x
+5 );
（
3
）
(
x
+4 )(
x
-5 )
；
（
4
）
(
x
-3 )
2
.
答案：（
1
）
x
2
+
x
-6
；（
2
）
x
2
+6
x
-5
；
（
3
）
x
2
-
x
-20
；（
4
）
x
2
-6
x
+9.
3.
计算：
（
1
）
(
x
+2
y
)
2
；
（
2
）
(
m
-2
n
)( 2
m
+
n
)
；
（
3
）
(2
a
+
b
)( 3
a
-2
b
)
；
（
4
）
( 3
a
-2
b
)
2
.
答案：（
1
）
x
2
+4
xy
+4
y
2
；
（
2
）
2
m
2
-3
mn
-2
n
2
；
（
3
）
6
a
2
-
ab
-2
b
2
；
（
4
）
9
a
2
-12
ab
+4
b
2
.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
第
2
章 整式的乘法
2.2
乘法公式
2.2.1
平方差
公式
计算下列各式，你能发现什么规律：
(
a
+1 )(
a
-1 )=
a
2
-
a
+
a
-1
2
=
，
(
a
+2 )(
a
-2 )=
a
2
-2
a
+2
a
-2
2
=
，
(
a
+3 )(
a
-3 )=
a
2
-3
a
+3
a
-3
2
=
，
(
a
+4 )(
a
-4 )=
a
2
-4
a
+4
a
-4
2
=
.
a
2
-1
2
a
2
-2
2
a
2
-3
2
a
2
-4
2
我们用多项式乘法来推导一般情况
：
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
ab
+
ab
-
b
2
=
a
2
-
b
2
.
思考
我们把
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
.
叫做
平方差公式
，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
.
如图（
1
），将边长为
a
的大正方形剪去一个边长为
b
的小正方形，
并将
剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（
2
）所示的长方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？
a
b
（
1
）
a
b
a-b
（
2
）
讨论
图（
2
）中的面积为：
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
，图（
1
）中的剩余部分的面积为
a
2
-
b
2
.
由题可知，图（
2
）的面积为图（
1
）剩余部分的面积，所以
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算
.
【例
1
】运用平方差公式计算：
（
1
）
( 2
x
+1 )( 2
x
-1 )
；
（
2
）
(
x
+2
y
)(
x
-2
y
)
解：（
1
）
( 2
x
+1 )( 2
x
-1 )
= ( 2
x
)
2
-1
2
= 4
x
2
-1.
（
2
）
(
x
+2
y
)(
x
-2
y
)
=
x
2
-( 2
y
)
2
=
x
2
-4
y
2
.
【例
2
】运用平方差公式计算：
（
1
）
；
（
2
）
( 4
a
+
b
)( -
b
+4
a
).
解：（
1
）
（
2
）
( 4
a
+
b
)( -
b
+4
a
)
= ( 4
a
+
b
)( 4
a
-
b
)
= ( 4
a
)
2
-
b
2
= 16
a
2
-
b
2
.
【例
3
】计算：
1002
×
998.
解：
1002
×
998
=( 1000+2 )( 1000-2 )
=1000
2
-2
2
=999996.
运用平方差公式可以简化一些运算
.
1.
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）
(
x
-2
)(
x
+2
)=
x
2
-2
；
（
2
）
( -2
x
-1 )( 2
x
-1
)=4
x
2
-1.
答案：（
1
）、（
2
）均不对；
（
1
）
(
x
-2
)(
x
+2
)=
x
2
-4
；
（
2
）
( -2
x
-1 )( 2
x
-1
)=1-4
x
2
.
练习
2.
运用平方差公式计算：
（
1
）
(
m
+2n )(
m
-2
n
)
；
（
2
）
( 3
a
+
b
)( 3
a
-
b
)
；
（
3
）
(0.5
x
-
y
)( 0.5
x
+
y
)
；
（
4
）
( -1+5
a
)( -1-5
a
).
答案：（
1
）
m
2
-4
n
2
；
（
2
）
9
a
2
-
b
2
；
（
3
）
0.25
x
2
-
y
2
；
（
4
）
1-25
a
2
.
3.
计算：
（
1
）
202
×
198
； （
2
）
49.8
×
50.2.
答案：（
1
）
39996
；（
2
）
2499.96.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
2.2.2
完全
平方公式
计算下列各式，你能发现什么规律：
(
a
+1 )
2
=(
a
+1 )(
a
+1 )=
a
2
+
a
+
a
+1
2
=
a
2
+2
·
a
·
1+1
2
，
(
a
+2 )
2
=(
a
+2 )(
a
+2 )=
a
2
+2
a
+2
a
+2
2
=
a
2
+2
·
a
·
2+2
2
，
(
a
+3 )
2
=(
a
+3 )(
a
+3 )=
a
2
+3
a
+3
a
+3
2
=
a
2
+2
·
a
·
3+3
2
，
(
a
+4 )
2
=(
a
+4 )(
a
+4 )=
a
2
+4
a
+4
a+
4
2
=
a
2
+2
·
a
·
4+4
2
.
我们用多项式乘法来推导一般情况：
(
a
+
b
)
2
=(
a
+
b
)=
a
2
+
ab
+
ab+b
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
.
思考
(
a
-
b
)
2
=?
把
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
中的
“
b
”
换做
“-
b
”
，试试看
.
(
a
-
b
)
2
=[
a
+( -
b
)]
2
=
a
2
+2
a
( -
b
)+( -
b
)
2
=
a
2
-2
ab
+
b
2
.
我们把
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
，
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-2
ab
+
b
2
.
都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的
2
倍
.
讨论
把一个边长为
a
+
b
的正方形按如图分割成
4
块，你能用这个
图来
解释完全平方公式吗？
ab
ab
a
2
b
2
a
b
a
b
由图可知，大正方形的面积
为
(
a
+
b
)
2
；分割
成的四块的面积和
为
a
2
+
ab
+
ab
+
b
2
，即
a
2
+2
ab
+
b
2
.
由题可知，大正方形的面积与四个小正方形的面积相等，所以有
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
.
讨论
【例
1
】运用完全平方公式计算：
（
1
）
( 3
m
+
n
)
2
； （
2
）
解：（
1
）
( 3
m
+
n
)
2
= ( 3
m
)
2
+2
·
3
m
·
n
+
n
2
= 9
m
2
+6
mn
+
n
2
.
（
2
）
1.
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）
(
x
+2
)
2
=
x
2
+4
；
（
2
）
( -
a
-
b
)
2
=
a
2
-2
ab
+
b
2
.
答案：（
1
）、（
2
）均不对；
（
1
）
(
x
+2
)
2
=
x
2
+
4
x
+4
；
（
2
）
( -
a
-
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
.
练习
2.
运用完全平方公式计算：
（
1
）
(
x
+4 )
2
； （
2
）
( 2
a
-3 )
2
；
（
3
）
答案：（
1
）
x
2
+8
x
+16
；（
2
）
4
a
2
-12
a
+9
；
（
3
）
(
a
-
b
)
2
与
(
b
-
a
)
2
，
(
a
+
b
)
2
与
( -
a
-
b
)
2
相等吗？为什么？
相等
.
因为
(
b
-
a
)
2
=[-(
a
-
b
)]
2
=(
a
-
b
)
2
，所以
(
a
-
b
)
2
=(
b
-
a
)
2
；又
因为
( -
a
-
b
)
2
=[-(
a
+
b
)]
2
=(
a
+
b
)
2
，所以
(
a
+
b
)
2
=( -
a
-
b
)
2
.
也可用完全平方公式将它们分别展开，也可得到相等
.
讨论
【例
2
】运用完全平方公式计算：
（
1
）
( -
x
+1 )
2
；
（
2
）
( -2
x
-3 )
2
.
解：（
1
）
( -
x
+1 )
2
= ( -
x
)
2
+2( -
x
)
·
1+1
2
=
x
2
-2
x
+1.
（
2
）
( -2
x
-3 )
2
.
= [-( 2
x+
3 )]
2
.
= ( 2
x
+3 )
2
.
= 4
x
2
+12
x
+9.
【例
3
】计算：
（
1
）
(
a
+
b
)
2
-(
a
-
b
)
2
； （
2
）
(
a
+
b
+1 )
2
.
解：（
1
）
(
a
+
b
)
2
-(
a
-
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
-(
a
2
-2
ab
+
b
2
)
=
4
ab
.
（
2
）
(
a
+
b
+1 )
2
= (
a
+
b
)
2
+2(
a
+
b
)+1
=
a
2
+2
ab
+
b
2
+2
a
+2
b
+1.
【例
4
】计算：
（
1
）
104
2
； （
2
）
198
2
.
解：（
1
）
104
2
=( 100+4 )
2
=
100
2
+2
×
100
×
4+4
2
=
10000+800+16
= 10816.
（
2
）
198
2
=( 200-2 )
2
=
200
2
-2
×
200
×
2+2
2
=
40000-800+16
=
39204.
1.
运用完全平方公式计算：
（
1
）
( -2
a
+3 )
2
； （
2
）
( -3
x
+0.5 )
2
；
（
3
）
( -
x
2
-4
y
)
2
； （
4
）
( 1-2
b
)
2
.
答案：（
1
）
4
a
2
-12
a
+9
；
（
2
）
9
x
2
-3
b
+0.25
；
（
3
）
x
4
+8
x
2
y+
16
y
2
；
（
4
）
1-4
b
+4
b
2
.
练习
2.
计算：
（
1
）
(
x
+2
y
)
2
-(
x
-2
y
)
2
； （
2
）
(
a
-
b
+1 )
2
.
答案：（
1
）
8
xy
；
（
2
）
a
2
-2
ab
+
b
2
+2
a
-2
b
+1.
3.
计算：
（
1
）
103
2
；
（
2
）
297
2
.
答案：（
1
）
10609
；（
2
）
88209.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
2.2.3
运用
乘法公式进行计算
（
1
）
(
x
+1 )(
x
2
+1 )(
x
-1 )=
？
（
2
）
(
x
+
y
+1)(
x
+
y
-1 )=?
思考
对于问题（
1
），如果直接按从左至右的运算顺序进行
计算
，计算过程很繁琐而且容易出错
.
通过观察，发现
(
x
+1
)
与
(
x
-1 )
可以凑成平方差公式，然后再与
(
x
2
+1 )
相乘可以化简运算
.
(
x
+1 )(
x
2
+1 )(
x
-1 )
=(
x
+1 )(
x
-1 )(
x
2
+1 )
（交换律）
=(
x
2
-1 )(
x
2
+1 )
=
x
4
-1.
对于问题（
2
），通过观察，发现可以把
x
+
y
看作一个
整体
，这样就可以用平方差公式来计算
.
(
x
+
y
+1)(
x
+
y
-1 )
=[(
x
+
y
)+1][(
x
+
y
)-1]
=(
x
+
y
)
2
-1
=
x
2
+2
xy
+
y
2
-1.
遇到多项式的乘法时，我们要首先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的
.
【例
1
】运用乘法公式计算：
（
1
）
[(
a
+3 )(
a
-3 )]
2
；
（
2
）
(
a
-
b
+
c
)(
a
+
b
-
c
).
解：（
1
）
[(
a
+3 )(
a
-3 )]
2
= (
a
2
-9 )
2
= (
a
2
)
2
-2
a
2
·
9+9
2
=
a
4
-18
a
2
+81.
（
2
）
(
a
-
b
+
c
)(
a
+
b
-
c
)
= [
a
-(
b
-
c
)][
a
+(
b
-
c
)]
=
a
2
-(
b
-
c
)
2
=
a
2
-(
b
2
-2
bc
+
c
2
)
=
a
2
-
b
2
+2
bc
-
c
2
.
【例
2
】一个正方形花圃的边长增加到原来的
2
倍还多
1m
，它
的面积就增加到原来的
4
倍还多
21m
2
，求这个正方形
花圃原来
的边长
.
解：设正方形花圃原来的边长为
x
m.
由数量关系，得
( 2
x
+1 )
2
=4
x
2
+21
，
化简，得
4
x
2
+4
x
+1=4
x
2
+21
，
即
4
x
=20
，
解得
x
=5.
答：这个正方形花圃原来的边长为
5m.
1.
运用乘法公式计算：
（
1
）
(
x
-2 )(
x
+2 )(
x
2
+4 )
；
（
2
）
(
a
+2
b
-1 )(
a
+2
b
+1 )
；
（
3
）
( 2
m
+
n
-1 )( 2
m
-
n
+1 )
；
（
4
）
(
x
+1 )
2
(
x
-1 )
2
.
答案：（
1
）
x
4
-16
；
（
2
）
a
2
+4
ab
+4
b
2
-1
；
（
3
）
4
m
2
-
n
2
+2
n
-1
； （
4
）
x
4
-2
x
2
+1.
练习
2.
计算：
(
a
-
b
-
c
)
2
.
答案：
a
2
+
b
2
+
c
2
-2
ab
-2
ac
+2
bc
.
3.
一个正方形的边长增加
2cm
，它的面积就增加
16cm
2
，
求
这个
正方形原来的边长
.
答案：
5cm.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
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