湘教版七年级数学下册第5章轴对称与旋转

第 5 章 轴对称与旋转 5.1 轴对称 5.1.1 轴对称图形 下列图形有什么共同的特征？ 观察 像这样，对折后两边能够完全重合的图形就是 轴对称图形 . 这条直线（折痕）就是 对称轴 . 轴对称图形 0 c 下列图形哪些是轴对称图形，如果是轴对称图形，找出它们的对称轴 . 观察 哪些图形是轴对称图形？各有几条对称轴？ 思考 长方形有两条对称轴 正方形有四条对称轴 圆有 无数条对称轴 …… 等腰三角形有一条对称轴 不是轴对称图形 不是轴对称图形 不是轴对称图形 1. 找出下列各图形的对称轴 . 练习 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步 5.1.2 轴对称 变换 如图，用印章在一张纸上盖一个印（ a ），趁印迹未干之时 ，将 纸张沿着直线 l 对折，得到印（ b ），随后打开，观察图形（ a ）与图形（ b ）有怎样的关系 . ( a ) ( b ) 观察 把图形 ( a ) 沿着直线 l 翻折并将图形“复印”下来得到图形 ( b ) ，就叫做该图形关于直线 l 作了 轴对称变换 ， 也叫 轴反射 . 图形 ( a ) 叫做 原像 ，图形 ( b ) 叫做图形 ( a ) 在这个轴反射下的 像 . ( a ) ( b ) 如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线对称， 也称这两个图形成 轴对称 . 这条直线叫做 对称轴 . 原像与像中能互相重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的 对应点 . ( a ) ( b ) 上图中，对称轴 l 两边的图形 ( a ) 与 ( b ) 的形状和大小发生变化了吗？ 轴对称变换具有下述性质： 例如：长度、角度和面积等都不改变 . 上图中，两图形的形状和大小均没有发生改变 . 轴对称变换不改变图形的形状与大小 . 讨论 如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“ 14” 这个数字，将纸打开后铺平： 上图中，两个“ 14” 有什么关系？ 关于直线 m 成轴对称 m 讨论 对应线段：相等 线段 AB 与 A ′ B ′ ， CD 与 C ′ D ′ ， CE 与 C'E' ， DF 与 D'F' 有什么关系？ m 打开 ∠ 1 与∠ 2 有什么关系？∠ 3 与∠ 4 呢？ 对应角：相等 打开 m 如果连接 C 、 C ′ ， F 、 F ′ 那么所构造的线段与直线 m 有什么关系？ 对应点所连接的线段被对称轴垂直平分 打开 m 轴对称的性质 1. 对应点的连线被对称轴垂直平分 2. 对应线段相等，对应角相等 如图， AD 为 △ ABC 的高，∠ B ＝ 2∠ C ，借助于轴对称的性质想一想： CD 与 AB ＋ BD 相等吗？请说明你的理由 . 练习 答：相等，理由如下： 在 DC 上截取 DE 使 DE ＝ DB ，连接 AE ∵ AD ⊥ BE 且 DB ＝ DE ∴ B 、 E 关于 AD 对称 ∴△ ABD 与△ AED 关于直线 AD 对称 ∴ △ ABD ≌ △ AED ∴ AB ＝ AE ，∠ AED ＝ ∠ B 又∵ ∠ B ＝ 2 ∠ C ∴ ∠ AED ＝ 2 ∠ C 而∠ AED ＝ ∠ C ＋ ∠ CAE ∴ ∠ CAE ＝ ∠ C ∴ AE ＝ CE ∴ AB ＝ CE 故 AB ＋ BD ＝ DE ＋ EC 即： AB ＋ BD ＝ CD 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步 第 5 章 轴对称与旋转 5.2 旋转 如图 , 观察钟表的指针，电风扇的叶片，汽车的雨刮器 在转动 的过程中有什么共同的特征 . 钟表的指针绕中间的固定点旋转，电风扇的叶片绕电机的轴旋转，汽车的雨刮器绕支点旋转 . 思考 将一个平面图形 F 上的每一个点，绕这个平面内一定点 O 旋转 同一个角 α ，（即把图形 F 上每一个点与定点的连线绕 定点 O 旋转角 α ），得到图形 F' ，如图，图形的这种变换叫做 旋转 . 这个定点 O 叫 旋转中心 ，角 α 叫做 旋转角 . 原位置的图形 F 叫做 原像 ，新位置的图形 F' 叫做图形 F 在旋转下的 像 . 图形 F 上的每一个点 P 与它在旋转下的像点 P' 叫做在旋转下的 对应点 . 旋转的决定因素： 旋转中心和旋转角度 ( 旋转方向 ). 垂直的定义 一般地，旋转具有下述性质： A' B' C' A B C O . . P ' P 60º 一个图形和它经过旋转所得到的图形中， 对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 . 观察右图△ ABC 旋转到△ A'B'C' 位置时，形状和大小是否发生改变 . 旋转不改变图形的形状和大小 . 【例】如图，将三角形 ABC 按逆时针方向旋转 45º ，得到 三角形 AB'C' . （ 1 ）图中哪一点是旋转中心？ （ 2 ） ∠ B'CB 和 ∠ C'AC 有何关系？它们的度数是多少 ？（ 3 ） AB 与 AB' ， AC 与 AC' 有何关系？ 解：（ 1 ）点 A 是旋转中心 . （ 2 ） B 与 B' ， C 与 C' 是对应点 . 因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，所以 ∠ B'AB =∠ C'AC =45º. （ 3 ）因为对应点到旋转中心的距离相等，所以 AB = AB' ， AC = AC' . 1. 如图 , 此图案可看成是由图中的哪个基础图形经过怎样的变换而得到 ? 解：由左图旋转 4 次可得； （方法不唯一） 练习 A B O A B O 2. 如图，将直角三角形 ABO 绕点 O 顺时针旋转 90º ， 作出旋转后的直角三角形 . 解：以 O 点为旋转中心可得，如图： 1 、相同： 2 、不同 运动方向 运动量的衡量 平移 直线 移动一定距离 旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度 平移和旋转的异同： 都是一种运动；运动前后 不改变 图形的 形状和大小 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步 第 5 章 轴对称与旋转 5.3 图形变换的简单应用 图（ 1 ）是由正方形图案 作平移得到的 . 欣赏图案 ，说出 它分是 由哪个基础图形经过怎样 的变换 得到的，在图中把基础图形标出来 . （ 1 ） 观察 【例 】 以图的右边缘所在的直线为轴，将该图形向右 作轴对称 变换，再绕中心 O 按顺时针方向旋转 180° ，所得到 的图形 是（ ） 【分析】将图以右边缘所在的直线为轴作轴对称变换，得到图 ， A 再绕中心 O 按顺时针方向旋转 180° ，得到图 . 1. 下图中只能用其中一部分平移可以得到的是（ ） . B D A B C 2 、当一个字母 F 旋转 90 度或 180 度时，其中旋转 后位置正确的是（ ） A B C D C 练习 生活中的图形变换现象 数学问题 图形变换的规律 实际问题 转化 依据 解决 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步