湘教版七年级数学下册第3章因式分解

第 3 章 因式分解 3.1 多项式的因式分解 （ 1 ） 21 等于 3 乘那个数？ （ 2 ） x 2 -1 等于 x +1 乘哪个多项式？ 21=3 × 7. 因为 ( x +1 )( x -1 )= x 2 -1 ， 所以 x 2 -1=( x +1 )( x -1 ). 讨论 对于整数 21 于 3 ，有整数 7 使得 21=3 × 7 ，我们把 3 叫做 21 的 一个 因数，同理 7 也是 21 的一个因数 . 类似地，对于多项式 x 2 -1 与 x +1 ，由整式的乘法有多项式 x -1 使得 x 2 -1=( x +1 )( x -1 ) 成立，我们把多项式 x +1 叫做 x 2 -1 的一个因式 . 同理， x -1 也是 x 2 -1 的一个因式 . 因式分解 一般地，对于两个多项式 f 与 g ，如果有多项式 h 使得 f = gh ， 那么 我们把 g 叫做 f 的一个 因式 . 此时， h 也是 f 的一个因式 . 把 x 2 -1 写成 ( x +1 )( x -1 ) 的形式叫做把这个多项式因式分解 . 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式 因式分解 . 为什么要把一个多项式因式分解呢？ 每一个大于 1 的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式 . 如 ： 12=2 × 2 × 3 ， 30=2 × 3 × 5. 根据这两个式子，很容易看出 12 和 30 的最大公因数为 2 × 3=6 ，进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以 6 ，得 同样地，每一个多项式可以表示成若干个基本的多项式乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁 . 例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解 . 思考 【例 1 】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解 ，哪些 不是，为什么？ （ 1 ） a 2 +2 ab + b 2 =( a + b ) 2 ； （ 2 ） m 2 + m -4=( m +3 )( m -2 )+2. 解：（ 1 ）是 . 因为从左边到右边是把多项式 a 2 +2 ab + b 2 表示成了 a + b 与 a + b 乘积的形式 . （ 2 ）不是 . 因为 ( m +3 )( m -2 )+2 不是几个多项式乘积的形式 . 【例 2 】检验下列因式分解是否正确 . （ 1 ） x 2 + xy = x ( x + y ) ； （ 2 ） a 2 -5 a +6=( a -2)( a -3) ； （ 3 ） 2 m 2 - n 2 =( 2 m - n )( 2 m + n ). 解：（ 1 ）因为 x ( x + y )= x 2 + xy ，所以（ 1 ）正确； （ 2 ）因为 ( a -2 )( a -3 )= a 2 -5 a +6 ，所以（ 2 ）正确； （ 3 ）因为 ( 2 m - n )( 2 m + n )=4 m 2 - n 2 ≠2 m 2 - n 2 ， 所以 （ 3 ）不正确 . 1. 求 4 ， 6 ， 14 的最大公因数 . 答案： 2. 练习 2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解 ， 哪些不是 ，为什么？ （ 1 ） ( x +1 )( x +2 )= x 2 +3 x +2 ； （ 2 ） 2 x 2 y +4 xy 2 =2 xy ( x +2 y ) ； （ 3 ） x 2 -2=( x +1 )( x +1 )-1 ； （ 4 ） 4 a 2 -4 a +1=( 2 a -1 ) 2 . 答案：（ 1 ）、（ 3 ）不是因式分解；（ 2 ）、（ 4 ）是因式分解 . 3. 检验下列因式分解是否正确 . （ 1 ） -2 a 2 +4 a =-2 a ( a +2 ) ； （ 2 ） x 3 + x 2 +x= x （ x 2 + x ）； （ 3 ） m 2 +3 m +2= ( m +1 )( m +2 ) 答案：（ 1 ）、（ 2 ）不正确；（ 3 ）正确 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步 空白演示 在此输入您的封面副标题 3.2 提公因式法 第 3 章 因式分解 下列每个式子含字母的因式有哪些？ xy ， xz ， xw . xy 的因式有 x ， y ， … xz 的因式有 x ， z ， … xw 的因式有 x ， w ， … 讨论 几个多项式的公共的因式称为它们的 公因式 . 如何把多项式 xy + xz + xw 因式分解？ 把乘法分配律从右到左地 使用 , 使得 xy + xz + xw = x ( y + z + w ). 像右边那样，如果一个 多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提到 括号外面，这种把多项式 因式分解 的方法叫做 提公因式法 . 【例 1 】把 5 x 2 -3 xy + x 因式分解 . 解： 5 x 2 -3 xy + x = x ( 5 x -3 y +1 ). 【例 2 】把 4 x 2 -6 x 因式分解 . 解： 4 x 2 -6 x =2 x ( 2 x -3 ). 【例 3 】把 8 x 2 y 4 -12 xy 2 z 因式分解 . 解： 8 x 2 y 4 -12 xy 2 z =( 4 xy 2 ) · 2 xy 2 -( 4 xy 2 ) · 3 z =4 xy 2 ( 2 xy 2 -3 z ). 1. 说出下列多项式中各项的公因式： （ 1 ） -12 x 2 y +18 xy -15 y ； （ 2 ）π r 2 h + π r 3 ； （ 3 ） 2 x m y n -1 -4 x m -1 y n （ m ， n 均为大于 1 的整数） . 答案：（ 1 ） 3 y ；（ 2 ）π r 2 ；（ 3 ） 2 x m-1 y n-1 . 练习 2. 在下列括号内填写适当的多项式： （ 1 ） 3 x 3 -2 x 2 + x = x （ ）； （ 2 ） -30 x 3 y 2 +48 x 2 yz =-6 x 2 y （ ） . 3 x 2 -2 x +1 5 xy -6 z 3. 把下列多项式因式分解： （ 1 ） 3 xy -5 y 2 + y ； （ 2 ） -6 m 3 n 2 -4 m 2 n 3 +10 m 2 n 2 ； （ 3 ） 4 x 3 yz 2 -8 x 2 yz 4 +12 x 4 y 2 z 3 . 答案：（ 1 ） y ( 3 x -5 y +1 ) ；（ 2 ） 2 m 2 n 2 ( -3 m -2 n +5 ) ； （ 3 ） 4 x 2 yz 2 ( x -2 z 2 +3 x 2 yz ). 下列多项式中各项的公因式是什么？ （ 1 ） 2 am ( x +1 )+4 bm ( x +1 )+8 cm ( x +1 ) ； （ 2 ） 2 x ( 3 a - b )- y ( b -3 a ). 2 am ( x +1 ) ， 4 bm ( x +1 ) 与 8 cm ( x +1 ) 的公因式是 2 x ( x +1 ). b -3 a 可以看做 -( 3 a - b ) ，所以 2 x ( 3 a - b ) 与 y ( b -3 a ) 的公因式是 3 a - b . 讨论 【例 4 】把下列多项式因式分解： （ 1 ） x ( x -2 )-3( x -2 ) ； （ 2 ） x ( x -2 )-3( 2 - x ) ； 解： （ 1 ） x ( x -2 )-3( x -2 ) = ( x -2 )( x -3 ). （ 2 ） x ( x -2 )-3( 2- x ) ； = x ( x -2 )+3( x -2 ) = ( x -2 )( x +3 ). 【例 5 】把 ( a + c )( a - b ) 2 -( a - c )( b - a ) 2 因式分解 . 解： ( a + c )( a - b ) 2 -( a - c )( b - a ) 2 = ( a + c )( a - b ) 2 -( a - c )( b - a ) 2 = ( a - b ) 2 [( a + c )-( a - c )] = ( a - b ) 2 -( a + c - a + c ) = 2 c ( a - b ) 2 . 【例 6 】把 12 xy 2 ( x + y )-18 x 2 y ( x + y ) 因式分解 . 解： 12 xy 2 ( x + y )-18 x 2 y ( x + y ) = 6 xy ( x + y )( 2 y -3 x ). 把下列多项式因式分解： （ 1 ） y ( x - y )+ x ( x - y ) ； （ 2 ） y ( x - y )+ x ( y - x ) ； （ 3 ） a ( x - y ) 2 - b ( y - x ) 2 ； （ 4 ） 4 a 2 b ( a - b )-6 ab 2 ( a - b ). 答案：（ 1 ） ( x - y )( x + y ) ； （ 2 ） -( x - y ) 2 ； （ 3 ） ( x - y ) 2 ( a - b ) ；（ 4 ） 2 ab ( a - b )( 2 a -3 b ). 练习 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步 第 3 章 因式分解 3.3 公式法 如何把 x 2 -25 因式分解？ 我们学过平方差公式 ( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 ，把这个乘法公式从右到左地使用，得 a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). 因此 x 2 - 25 = x 2 - 5 2 = ( x +5 )( x -5 ). a 2 - b 2 ( a + b )( a - b ) 像上面那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 . 思考 【例 1 】把 25 x 2 -4 y 2 因式分解 . 解： 25 x 2 -4 y 2 =( 5 x ) 2 - ( 2 y ) 2 =( 5 x +2 y )( 5 x -2 y ). 【例 2 】把 ( x + y ) 2 - ( x - y ) 2 因式分解 . 解： ( x + y ) 2 - ( x - y ) 2 = [( x + y )+( x - y )][( x + y ) - ( x - y )] = 2 x · 2 y = 4 xy . 【例 3 】把 x 4 - y 4 因式分解 . 解： x 4 - y 4 = ( x 2 ) 2 - ( y 2 ) 2 = ( x 2 + y 2 )( x 2 - y 2 ) = ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) ( x - y ). 在因式分解时，必须进行到 每一个因式都不能分解为止 . 【例 4 】把 x 3 y 2 - x 5 因式分解 . 解： x 3 y 2 - x 5 = x 3 ( y 2 - x 2 ) = x 3 ( y + x )( y - x ). 1. 填空 （ 1 ） 9 y 2 =( ) 2 ； （ 2 ） =( ) 2 ； 3 y 2. 把下列多项式因式分解： （ 1 ） 9 y 2 -4 x 2 ； （ 2 ） ( x + y ) 2 -( y - x ) 2 ； （ 3 ） x 4 -16 ； （ 4 ） a 3 - ab 2 . 答案：（ 1 ） ( 3 y +2 x )( 3 y -2 x ) ；（ 2 ） 4 xy ； （ 3 ） ( x 2 +4 )( x +2 )( x -2 ) ；（ 4 ） a ( a + b )( a - b ). 练习 3. 计算： （ 1 ） 49.6 2 -50.4 2 （ 2 ） 13.3 2 -11.7 2 答案：（ 1 ） -80 ；（ 2 ） 40. 4. 手表表盘的外圆直接为 D =3.2cm ，内院直接 d =2.8cm ，在外圆与内 圆直径 之间涂有防水材料 . 试求涂上防水材料的圆环的面积（结果保留π） . 怎样 计算较简便？ 答案： 0.6 π cm 2 . 你能将多项式 a 2 +2 ab + b 2 或 a 2 -2 ab + b 2 进行因式分解吗？ 我们学过完全平方公式 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ， ( a - b ) 2 = a 2 -2 ab + b 2 ，把这个乘法公式从右到左地使用，就可以把形如这样的多项式进行因式分解 . 例如， x 2 +4 x +4= x 2 + 2 · x · 2 + 2 2 = ( x +2 ) 2 . 思考 【例 5 】把 9 x 2 -6 x +1 因式分解 . 解： 9 x 2 -6 x +1 = ( 3 x ) 2 -2 · ( 3 x ) · 1+1 2 = ( 3 x +1 ) 2 . 【例 6 】把 -4 x 2 +12 xy -9 y 2 因式分解 . 解： -4 x 2 +12 xy -9 y 2 = -( 4 x 2 -12 xy +9 y 2 ) = -[( 2 x ) 2 -2 · 2 x · 3 y +( 3 y ) 2 ] = -( 2 x -3 y ) 2 . 【例 7 】把 a 4 +2 a 2 b + b 2 因式分解 . 解： a 4 +2 a 2 b + b 2 = ( a 2 ) 2 +2 · a 2 · b + b 2 = ( a 2 + b ) 2 . 【例 8 】把 x 4 -2 x 2 +1 因式分解 . 解： x 4 -2 x 2 +1 = ( x 2 ) 2 -2 · x 2 · 1+1 2 = ( x 2 -1 ) 2 =( x +1 ) 2 ( x -1 ) 2 . 1. 填空（若某一栏不适用，填入 “ 不适用 ” ）： 多项式 能否表示成 ( a + b ) 2 或 ( a - b ) 2 的形式 a ， b 各表示什么？ x 2 -10 x +25 x 2 +2 x +4 1+ y +0.25 y 2 4 x 2 -12 xy +9 y 2 能 a 表示 x ， b 表示 5. 不适用 能 a 表示 1 ， b 表示 0.5 y . 能 a 表示 2 x ， b 表示 3 y . 练习 2. 把下列多项式因式分解： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 答案：（ 1 ） ； （ 2 ） ( 4 y -3 ) 2 ； （ 3 ） ；（ 4 ） 3 x 2 ( x + y 2 ) 2 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。 我思 我 进步