湘教版七年级数学下册第4章测试题及答案

湘教版七年级数学下册第4章测试题及答案 ‎4.1 平面上两条直线的位置关系 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（　　）个．‎ A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 ‎2．下列选项中正确的是（　　）‎ A．相等的角是对顶角 ‎ B．两直线平行，同旁内角相等 ‎ C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离 ‎ D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ‎3．图中，∠1、∠2是对顶角的为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（　　）‎ A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c ‎ C．若a∥b，a⊥c，则b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，则b∥c ‎5．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎6．如图，直线AB、CD、EF交于点O．‎ ‎（1）∠COE的对顶角是　 　．‎ ‎（2）∠AOF的对顶角是　 　．‎ ‎（3）∠BOF的邻补角是　 　．‎ ‎（4）∠BOE的邻补角是　 　．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．观察下列图形，并阅读，图形下面的相关字．‎ ‎（第7题图）‎ 两条直线相交最多有1个交点 三条直线相交最多有3个交点 四条直线相交最多有6个 交点 ‎ 则n条直线最多有　 　个交点．‎ ‎8．同一平面内的5条直线两两相交，最多有　 　个交点，最多把平面分成　 　个部分，最多构成　 　对对顶角．‎ ‎9．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=∠BOD+18°，则∠AOD=　 　．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图所示，其中共有　 　对对顶角．‎ ‎（第10题图）‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎11．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．‎ ‎（1）填空：∠AOC=50°，∠FOD=　 　度；‎ ‎（2）∠AOC=α°．则∠EOD=　 　（用含α的式子表示）；‎ ‎（3）探究∠EOD与∠FOD的数量关系，并说明理由．‎ ‎ （第11题图）‎ ‎12．（合作探究题）在同一平面内三条直线交点有多少个？‎ 甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c，如图（1）所示．‎ 乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c交于同一点O，如图（2）所示．‎ 以上说法谁对谁错？为什么？‎ ‎ （第12题图）‎ ‎13．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．‎ ‎（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；‎ ‎（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？‎ ‎ （第13题图）‎ ‎14．探索研究：‎ A：观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：‎ ‎（第14题图）‎ ‎（1）如图a，图中共有　 　对不同对顶角；‎ ‎（2）如图b，图中共有　 　对不同的对顶角；‎ ‎（3）如图c，图中共有　 　对不同的对顶角；‎ ‎（4）研究（1）﹣（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成　 　对对顶角；‎ ‎（5）计算2013条直线相交于一点，则可形成　 　对对顶角．‎ B：‎ ‎（1）3条直线两两相交最多有　 　个交点，此时有　 　对不同的对顶角；‎ ‎（2）4条直线两两相交最多有　 　个交点，此时有　 　对不同的对顶角；‎ ‎（3）n条直线两两相交最多有　 　个交点，此时有　 　对不同的对顶角；‎ ‎（4）计算2013条直线最多有　 　个交点，则可形成　 　对不同的对顶角，那么2013条直线最多形成　 　对不同的对顶角．‎ 参考答案 一．1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 二． 6．∠DOF；∠BOE；∠AOF和∠BOE；∠AOE和∠BOF．‎ ‎7． 8． 10；16；20 9． 144° 10．4‎ 三．11．解：（1）∵∠AOC=50°，‎ ‎∴∠BOD=∠AOC=50°，‎ ‎∵OF平分∠BOD，‎ ‎∴∠FOD=；‎ ‎（2）∵OE平分∠AOD，‎ ‎∴∠EOD=，‎ ‎∵∠AOD=180°﹣∠AOC=（180﹣α）°，‎ ‎∴∠EOD=（180﹣α）°=（90﹣α）°．‎ ‎（3）∠EOD+∠FOD=90°，‎ 理由：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，‎ ‎∴∠DOE=∠AOD，∠DOF=∠BOD，‎ ‎∵∠BOD+∠AOD=180°，‎ ‎∴∠DOE+∠DOF=（∠BOD+∠AOD）=90°．‎ ‎12．解：甲、乙说法都不对，都少了三种情况．a∥b，c与a，b相交如答图（1）；‎ a，b，c两两相交如答图（2），所以三条直线互不重合，交点有0个或1个或2个或3个，共四种情况．‎ ‎（第12题答图）‎ ‎13．解：（1）（2）如答图.‎ ‎（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1=∠O，∠2+∠O=180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．‎ ‎（第13题答图）‎ ‎14． A．解：（1）有2对对顶角；‎ ‎（2）有6对对顶角；‎ ‎（3）有12对对顶角；‎ ‎（4）有n条直线时，有n（n﹣1）对对顶角；‎ ‎（5）n=2013时，可形成2013×2012=4050156对顶角．‎ B解：（1）如答图（1），可得三条直线两两相交，最多有3个交点；有6对对顶角．‎ ‎（2）如图（2），可得四条直线两两相交，最多有6个交点；又12对对顶角．‎ ‎（3）由（1），得=3，‎ 由（2），得=6；‎ ‎∴可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）．有n（n﹣1）对对顶角．‎ ‎（第14题答图）‎ ‎（4）当n=2013时，有2025078个交点，有4050156对对顶角．‎ ‎4.2 平移 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'=1，则A'D等于（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．3 B．2 C．32 D．23‎ ‎2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎3．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎4．下列现象是平移的是（　　）‎ A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 ‎ C．碟片在光驱中运行 D．树叶从树上落下 ‎5．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接．有下列结论：①AC∥DF；②AD∥BE，AD=BE；③∠ABE=∠DEF；④ED⊥AC．其中正确的结论有（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共3小题）‎ ‎6．如图，图中是重叠的两个直角三角形．现将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=9cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为　 　cm2．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．如图，在△ABC中，BC=5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC=2cm，则平移的距离为　 　cm．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．如图，将周长为6的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　 　．‎ ‎（第8题图）‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎9．四边形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，解答下列各题：‎ ‎（1）请在图中画出四边形A1B1C1D1；‎ ‎（2）请写出四边形A1B1C1D1的顶点B1、D1坐标；‎ ‎（3）请求出四边形A1B1C1D1的面积．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，AC=3cm．将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到△DEF．‎ ‎（1）四边形ABDF是什么四边形？‎ ‎（2）求阴影部分的面积？‎ ‎ （第10题图）‎ 参考答案 一．1．B 2．D 3．B 4．A 5．A 二．6．30 7．3 8．8‎ 三．9．解：（1）如答图，四边形A1B1C1D1即为所求；‎ ‎（第9题答图）‎ ‎（2）B1坐标为（﹣2，1）、D1坐标为（1，1）；‎ ‎（3）四边形A1B1C1D1的面积=×3×2+×3×3=7.5．‎ ‎10．解：（1）由平移，可得DF=AB，DF∥AB，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ 又由平移的方向可得，∠ABD=90°，‎ ‎∴四边形ABDF是矩形；‎ ‎（2）由平移，可得△ABC≌△FDE，BD=3cm，‎ ‎∴S△ABC=S△FDE，‎ ‎∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=6×3=18cm2．‎ ‎4.3 平行线的性质 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．20° B．30° C．45° D．50°‎ ‎2．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．58° B．42° C．32° D．28°‎ ‎3．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5‎ ‎4．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．10° B．15° C．20° D．25°‎ ‎5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．132° B．134° C．136° D．138°‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎6．如图，a∥b，∠1=110°，∠3=40°，则∠2=　 　°．‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD=　 　度．‎ ‎（第7题图）‎ ‎8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为　 　．‎ ‎9．如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于　 　．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是　 　．‎ ‎（第10题图）‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．‎ ‎（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？‎ ‎②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？‎ ‎③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．‎ ‎（2）拓展应用，如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．‎ ‎（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是　 　；‎ 证明：‎ ‎（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是　 　；‎ 证明：‎ ‎（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　；‎ ‎（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？‎ 解：‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．‎ ‎（1）如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC=　 　°．‎ ‎（2）如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC=　 　°．‎ ‎（3）如图③，若∠A=α，∠C=β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．已知△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．‎ ‎（第14题图）‎ ‎（1）如图1，连接CE，‎ ‎①若CE∥AB，求∠BEC的度数；‎ ‎②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．‎ ‎（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．‎ ‎15．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．‎ ‎ （第15题图）‎ 参考答案 一．1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 二．6．70 7．270 8．6cm或2cm 9．80° 10．60°‎ 三．11．解：（1）①过点E作EF∥AB，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴AB∥CD∥EF，‎ ‎∵∠A=30°，∠D=40°，‎ ‎∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，‎ ‎∴∠AED=∠1+∠2=70°；‎ ‎②过点E作EF∥AB，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴AB∥CD∥EF，‎ ‎∵∠A=20°，∠D=60°，‎ ‎∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，‎ ‎∴∠AED=∠1+∠2=80°；‎ ‎③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．‎ 理由：过点E作EF∥CD，‎ ‎∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），‎ ‎∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），‎ ‎∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．‎ ‎（2）如答图2，当点P在①区域时，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠CFE=180°，‎ ‎∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）﹣180°．‎ ‎∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，‎ ‎∴∠EPF=180°﹣（∠PEF+∠PFE）=180°﹣（∠PEB+∠PFC）+180°=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；‎ 当点P在区域②时，如答图3所示，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠CFE=180°，‎ ‎∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，‎ ‎∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．‎ ‎（第11题答图）‎ ‎12．解：（1）∠1=∠2．‎ 证明如下：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵BE∥DF，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠2；‎ ‎（2）∠1+∠2=180°．‎ 证明如下：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵BE∥DF，‎ ‎∴∠2+∠3=180°，‎ ‎∴∠1+∠2=180°；‎ ‎（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；‎ ‎（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，‎ 当x=3x﹣60°，解得x=30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；‎ 当x+3x﹣60°=180°，解得x=60°，则这两个角的度数分别为60°，120°．‎ ‎13．解：如答图，过点E作EF∥AB，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴AB∥CD∥EF．‎ ‎（1）∵∠A=20°，∠C=40°，‎ ‎∴∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，‎ ‎∴∠AEC=∠1+∠2=60°；‎ ‎（2）∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，‎ ‎∵∠A=x°，∠C=y°，‎ ‎∴∠1+∠2+x°+y°=360°，‎ ‎∴∠AEC=360°﹣x°﹣y°；‎ ‎（3）∠A=α，∠C=β，‎ ‎∴∠1+∠A=180°，∠2=∠C=β，‎ ‎∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣α，‎ ‎∴∠AEC=∠1+∠2=180°﹣α+β．‎ ‎（第13题答图）‎ ‎14．解：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，‎ ‎∴∠ABC=80°，‎ ‎∵BM平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=ABC=40°，‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠BEC=∠ABE=40°；‎ ‎②∵∠A=60°，∠ACB=40°，‎ ‎∴∠ABC=80°，∠ACD=180°﹣∠ACB=140°，‎ ‎∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，‎ ‎∴∠CBE=ABC=40°，∠ECD=ACD=70°，‎ ‎∴∠BEC=∠ECD﹣∠CBE=30°；‎ ‎（2）①如答图1，当CE⊥BC时，‎ ‎∵∠CBE=40°，‎ ‎∴∠BEC=50°；‎ ‎②如答图2，当CE⊥AB于F时，‎ ‎∵∠ABE=40°，‎ ‎∴∠BEC=90°+40°=130°，‎ ‎③如图3，当CE⊥AC时，‎ ‎∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，‎ ‎∴∠BEC=180°﹣40°﹣40°﹣90°=10°．‎ ‎（第14题答图）‎ ‎15．证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）‎ ‎∠1+∠2=180°（已知）‎ ‎∴∠2=∠4（同角的补角相等）‎ ‎∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）‎ ‎∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）‎ 又∵∠B=∠3（已知），‎ ‎∴∠ADE=∠B（等量代换），‎ ‎∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）‎ ‎∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．‎ ‎4.4 平行线的判定 一．选择题（共7小题）‎ ‎1．如图所示，下列条件能判断a∥b的有（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．∠1+∠2=180° B．∠2=∠4 C．∠2+∠3=180° D．∠1=∠3‎ ‎2．如图，下面推理中，正确的是（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．∵∠A=∠D，∴AB∥CD B．∵∠A=∠B，∴AD∥BC ‎ C．∵∠A+∠D=180°，∴AB∥CD D．∵∠B+∠C=180°，∴AD∥BC ‎3．如图，已知∠1=∠2，∠3=71°，则∠4的度数是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．19° B．71° C．109° D．119°‎ ‎4．如图，结合图形作出了如下判断或推理：‎ ‎（第4题图）‎ ‎①如图甲，CD⊥AB，D为垂足，那么点C到AB的距离等于C、D两点间的距离；‎ ‎②如图乙，如果AB∥CD，那么∠B=∠D；‎ ‎③如图丙，如果∠ACD=∠CAB，那么AD∥BC；‎ ‎④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BCD=60°．‎ 其中正确的个数是（　　）个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．如图，直线a，b被直线c所截，∠1=62°，∠3=80°，现逆时针转动直线a至a′位置，使a′∥b，则∠2的度数是（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．8° B．10° C．18° D．28°‎ ‎6．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A．∠1=∠3 B．如果∠2=30°，则有AC∥DE ‎ C．如果∠2=30°，则有BC∥AD D．如果∠2=30°，必有∠4=∠C ‎7．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，‎ 小明说：“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB．”‎ 小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，‎ 可得到∠CDG=∠BFE．”‎ 小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”‎ 小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”‎ 他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．‎ ‎（第7题图）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎8．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是　 　．‎ ‎ （第8题图）‎ ‎9．如图，根据图形填空 ‎（1）∵∠A=　 　（已知）∴AC∥DE（　 　）‎ ‎（2）∵∠2=　 　（已知）∴DF∥AB（　 　）‎ ‎（3）∵∠2+∠6=180°（已知）∴　 　∥　 　（　 　）‎ ‎（4）∵AB∥DF（已知）∴∠A+∠　 　=180°（　 　）．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D=∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是　 　（只填序号）‎ ‎（第10题图）‎ ‎11．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，‎ 改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值　 　．‎ ‎（第11题图）‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎12．完成下面的证明：‎ 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．‎ 求证：AB∥CD．‎ 证明：∵DE平分∠BDC（已知），‎ ‎∴∠BDC=2∠1（　 　）．‎ ‎∵BE平分∠ABD（已知），‎ ‎∴∠ABD=　 　（角的平分线的性质）．‎ ‎∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（　 　）．‎ ‎∵∠1+∠2=90°（已知），‎ ‎∴∠ABD+∠BDC=　 　（　 　）．‎ ‎∴AB∥CD（　 　）．‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图①是大众汽车的图标，图②是该图标轴抽象的几何图形，且AE∥BF，∠A=∠B，试猜想AC与BD的位置关系，并说明理由．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B=∠C+10°，∠D=∠E=105°．‎ ‎（第14题图）‎ ‎（1）求∠F的度数．‎ ‎（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　 　．（直接写出结果）‎ ‎（3）连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．‎ ‎15．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠（AM∥BN，AD∥BC），AB为折痕，AD交BN于点E．‎ ‎（1）试说明∠MAD=∠NBC的理由；‎ ‎（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数；‎ ‎（3）如若按图2形式折叠．‎ ‎试问（2）中的关系式是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎‚若∠ABE的度数是∠MAD的两倍，求此时∠MEC的度数．‎ ‎（第15题图）‎ ‎16．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．‎ ‎（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．‎ ‎①当点G在点F的右侧时，若β=50°，求α的度数；‎ ‎②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．‎ ‎（第16题图）‎ 参考答案 一．1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 二．8．内错角相等，两直线平行 ‎9．（1）∠4；同位角相等，两直线平行；（2）∠4；内错角相等，两直线平行；（3）AB，DF，同旁内角互补，两直线平行；（4）7；两直线平行，同旁内角互补 ‎10．①④ 11．15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．‎ 三．12．证明：∵DE平分∠BDC（已知），‎ ‎∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的性质）．‎ ‎∵BE平分∠ABD（已知），‎ ‎∴∠ABD=2∠2（角的平分线的性质）．‎ ‎∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．‎ ‎∵∠1+∠2=90°（已知），‎ ‎∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．‎ ‎∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．‎ ‎13．解：AC∥BD，理由：‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴∠B=∠DOE.‎ ‎∵∠A=∠B，‎ ‎∴∠DOE=∠A，‎ ‎∴AC∥BD．‎ ‎14．解：（1）∵AF∥DE，‎ ‎∴∠F+∠E=180°，‎ ‎∴∠F=180°﹣105°=75°；‎ ‎（2）如答图，延长DC交AF于点K.‎ ‎（第14题答图）‎ 可得：∠B﹣∠CGF=∠C+10°﹣∠CGF=∠GKC+10°=∠D+10°=115°.‎ ‎（3）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，‎ ‎∵AF∥DE，‎ ‎∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，‎ ‎∴∠GAD=∠CGF，‎ ‎∴BC∥AD．‎ ‎15．解：（1）∵AM∥BN，AD∥BC，‎ ‎∴∠MAD=∠NED，∠NED=∠NBC，‎ ‎∴∠MAD=∠NBC；‎ ‎（2）如答图1，∵AM∥BN，‎ ‎∴∠ABE=∠BAF，MAD=∠BEA=x，‎ 由折叠可得，∠FAB=∠BAE，‎ ‎∴∠ABE=∠BAE，‎ 即△ABE是等腰三角形，‎ 又∵∠BEA=x，‎ ‎∴∠ABE=；‎ ‎（3）第（2）问中的关系式成立，理由：‎ 如答图2，∵AM∥BN，‎ ‎∴∠ABF=∠BAE，MAD=∠BEA=x，‎ 由折叠可得，∠FBA=∠ABE，‎ ‎∴∠ABE=∠BAE，‎ 即△ABE是等腰三角形，‎ 又∵∠BEA=x，‎ ‎∴∠ABE=；‎ ‎∵∠ABE的度数是∠MAD的两倍，‎ ‎∴∠ABE=2x，‎ 又∵∠ABE=，‎ ‎∴2x=，‎ 解得x=36°，‎ ‎∴∠MAD=36°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠MEC=∠MAD=36°．‎ ‎（第15题答图）‎ ‎16．解：（1）∵EM平分∠AEF ‎∴∠AEF=∠FME，‎ 又∵∠FEM=∠FME，‎ ‎∴∠AEF=∠FEM，‎ ‎∴AB∥CD；‎ ‎（2）①如答图2，∵AB∥CD，β=50°‎ ‎∴∠AEG=130°，‎ 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ‎∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，‎ ‎∴∠MEH=∠AEG=65°，‎ 又∵HN⊥ME，‎ ‎∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣65°=25°，‎ 即α=25°；‎ ‎②分两种情况讨论：‎ 如答图2，当点G在点F的右侧时，α=．‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEG=180°﹣β，‎ 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ‎∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，‎ ‎∴∠MEH=∠AEG=（180°﹣β），‎ 又∵HN⊥ME，‎ ‎∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣∠MEH=90°﹣（180°﹣β）=，‎ 即α=；‎ 如答图3，当点G在点F的左侧时，α=90°﹣．‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEG=∠EGF=β，‎ 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ‎∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，‎ ‎∴∠MEH=∠MEF﹣∠HEF ‎=（∠AEF﹣∠FEG）‎ ‎=∠AEG ‎=β，‎ 又∵HN⊥ME，‎ ‎∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣∠MEH，‎ 即α=90°﹣．‎ ‎（第16题答图）‎ ‎4.5 垂线 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．4.5 B．5 C．6 D．7‎ ‎2．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，且∠AOC=50°，则∠EPF=（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．50° B．60° C．40° D．30°‎ ‎3．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．2.5cm B．3cm C．4cm D．5cm ‎5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（　　）‎ A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ‎ B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短 ‎ C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线 ‎ D ‎．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 二．填空题（共7小题）‎ ‎6．在同一平面内，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则　 　．‎ ‎7．在△ABC中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点B到斜边AC的距离是　 　．‎ ‎8．在数学课上，老师提出如下问题：‎ 如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，‎ 请你设计一种最节省材料的修建方案．‎ 小军同学的作法如下：①连接AB：②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求，老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是　 　．‎ ‎（第8题图）‎ ‎9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE=40°，则∠AOD等于　 　度．‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，直线AB．CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠AED=145°，则∠CEF=　 　°．‎ ‎（第10题图）‎ ‎11．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OM⊥CD，若∠BOM=25°，则∠AOC的度数为　 　°．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE=68°．若OG平分∠BOF，则∠DOG=　 　度．‎ ‎（第12题图）‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎13．如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．‎ ‎（1）求∠DOE的度数；‎ ‎（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．‎ a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；‎ b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOC=50°．求∠BOE的度数．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，‎ ‎（1）与∠1互为补角的角是　 　；‎ ‎（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．‎ ‎（第15题图）‎ ‎16．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．‎ ‎（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；‎ ‎（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OD，OE平分∠AOF．‎ ‎（1）∠BOD与∠DOF相等吗？请说明理由．‎ ‎（2）若∠DOF=∠BOE，求∠AOD的度数．‎ ‎（第17题图）‎ 参考答案 一．1．A 2．A 3．C 4．A 5．A 二．6． a∥b 7． 8．两点之间，线段最短，垂线段最短 9．130 10．55‎ ‎11．115 12．56‎ 三．13．解：（1）∵点A，O，B在同一条直线上，‎ ‎∴∠AOC+∠BOC=180°，‎ ‎∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，‎ ‎∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC ‎∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=90°，‎ ‎∴∠DOE=90°；‎ ‎（2）a．∵OC⊥OF，‎ ‎∴∠COF=90°，‎ ‎∵∠DOF=αo，‎ ‎∴∠COD=90°﹣α°，‎ ‎∵∠AOD=∠COD，‎ ‎∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=90°﹣α°﹣α°=（90﹣2α）°，‎ b．∵∠BOD是∠AOF的2倍，‎ ‎∴180°﹣（90﹣α）°=2（90﹣2α）°，‎ α=18°，‎ 即∠DOF=18°．‎ ‎14．解：∵∠BOD=∠AOC=50°，‎ ‎∵OE⊥CD，‎ ‎∴∠DOE=90°，‎ ‎∴∠BOE=90°﹣50°=40°，‎ ‎15．解：（1）与∠1互为补角的角是∠EOD；‎ ‎（2）∵∠AOC：∠2=3：2，‎ ‎∴设∠AOC=3x，则∠2=2x，‎ 故3x+2x=180°，‎ 解得x=36°，‎ 则∠2=72°，‎ ‎∵EO⊥AB垂足为O，‎ ‎∴∠AOE=90°，‎ ‎∴∠1的度数为18°．‎ ‎16．解：（1）∵OM⊥AB，‎ ‎∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，‎ ‎∴∠NOD=180°﹣∠NOC=180°﹣90°=90°；‎ ‎（2）∵OM⊥AB，‎ ‎∴∠AOM=∠BOM=90°，‎ ‎∵∠1=∠BOC，‎ ‎∴∠BOC=∠1+90°=3∠1，‎ 解得∠1=45°，‎ ‎∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，‎ ‎∠MOD=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．‎ ‎17．解：（1）∠BOD=∠DOF，‎ ‎∵OE⊥OD，‎ ‎∴∠DOE=90°，‎ ‎∴∠EOF+∠DOF=90°，∠AOE+∠BOD=90°，‎ ‎∵OE平分∠AOF，‎ ‎∴∠AOE=∠EOF，‎ ‎∴∠BOD=∠DOF；‎ ‎（2）∵∠DOF=∠BOE，‎ ‎∴设∠DOF=x°，则∠BOE=4x°，∠BOD=x°，‎ ‎∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=3x°，‎ ‎∵∠DOE=90°，‎ ‎∴3x=90，即x=30，‎ ‎∴∠BOD=30°，‎ ‎∴∠AOD=180°﹣∠BOD=150°．‎