青岛版八年级数学下册第10章一次函数

10.1 函数的图象 第10章 一次函数 复习回顾 1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千 米，行驶时间为t小时，则s与t的函数关系式 是 ； S=60t 3.如图是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵 坐标y表示心脏部位的生物电流，y是关于x的函数吗？ 2.右表是我国人口统计表，人口数y是年份x的函数吗? 这里用了函数的哪几种表示方法？ 1.在某一问题中，保持 的量叫常量，可以取 的量，叫做变量. 不变 不同数值 2.函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x 的每—个值，y都有______________与之对应，我们就把y 叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的 值是b，就把b叫做x=a时的函数值. 唯一确定的值 3.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直而且有公 共原点的数轴，水平的一条叫做x轴或横轴，习惯上取 向 的方向为正方向， 的一条叫做 或 ， 取向上的方向为正方向，这就组成了平面直角坐标系. 铅直 y轴 纵轴右 （6）通过上面的问题，你体会用图象表示函数关系有什么 优点？ 用图象可以直观、形象 地刻画变量之间的函数 关系和变化趋势. 新 知 探 究 下图是某气象站记录的某一天昼夜气温变化的曲线， 请根据此图回答下列问题： （1）这天6时、8时和20时的气温T各是多少？ （2）怎样确定这天某一时刻t的气温T？ （3）这条曲线反映的是哪两个变量之间的关系？ （4）请你找出曲线上位置最高和最低的点，你能分别说 出这两点的坐标吗？你能解释这两个点坐标的实际意义吗？ （5）从4时到14时气温发生了怎样的变化？曲线是怎样 刻画这种变化的？ （6）你从图上还能得到哪些信息？ 例1：小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要 的书籍，然后回家.小亮和家的距离与他离开家之后的时间 之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？ 用图象表示变量之间函数关系的方法叫做图象法 （900米）（15分钟） （3）小亮去书店和回家的 步行速度各是多少？ （4）小亮从家里走出10分钟离家多远？走出50 分钟 离家多远？ ( 45米/分、60米/分) （450米） （300米） （2）小亮在书店停留多长时间？回家用了多长时间？ （20分钟） （20分钟） 例2： 一台家用淋浴器在使用前，水箱中的注水量是0L. 使用时先向水箱注水，注满水后关闭水源并通电加热，加 热完毕时切断电源，开始淋浴，水匀速放出，直至将水箱 中的水用完.在这一过程中，淋浴器中水箱的贮水量V（L） 与时间t（min）的函数图象如图10-3.根据图象回答下列问 题： （1）注水、加热和淋浴分别用了多少时间？ （2）水箱的最大贮水量是多少升？ （3）当淋浴开始后15min，水箱中还有水多少升？ 1 ．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果 两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米， 图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系， 由图中信息可知，下列结论正确的是（   ） ． Ａ．李华先到达终点 Ｂ．弟弟的速度是8米／秒 Ｃ．弟弟先跑了10米 Ｄ．弟弟的速度是10米／秒 s/米 t/秒 B 如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直 线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行 驶时间t（时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给 出下列说法： ①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小 时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为80/3千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减 少. 其中正确的说法 共有（ ） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 甲、乙两工程队参加同一项水利建设.图10-4是在直角坐 标系中画出的甲、乙两工程队施工的土方量V（m3）与 施工时间t（天）的函数图像.请根据图象回答下列问题： （1）乙工程队比甲工程队晚开工几天？ 早完工几天？ （2）甲工程队在施工中间休息了几天？ （3）甲工程队在哪一段时间内施工进度 最快？ （4）从图象中你还能得到哪些信息？ 1、函数图象上点的横、纵坐标分别对应 值和 的值。 自变量 函数 2、从函数图象中获得的信息来研究实际问题关键要注意 分清横轴和纵轴表示的 实际含义. 10.2 一次函数和它的图象 （第1课时） S=10+300t   一列高铁列车自北京站出 发 ， 运 行 1 0 k m 后 ， 便 以 300km∕h的速度匀速行驶。如 果从运行10km后开始计时， 你能写出该列车离开浦东机场 站的距离s（单位：米）与时 间t（单位：秒）之间的函数 关系式吗？ 1、今有小李带50元去买笔记本，已知笔记本每本售价3元， 小李剩下的钱Y（元）与买笔记本的数量X（本）之间的函 数关系式为      。 2.小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有60 元，从现在起每个月节存12元。试写出小张的存款Y(元)与 从现在开始的月份数X之间的函数关系式          。 3.某同学的家离学校2000米，骑自行车返校时他每分钟行驶 200米。他骑车所用的时间X(分)与剩下的路程Y(米)之间的 函数关系式为      。 y=50-3x y=60+12x y=2000-200x 一次函数的定义 形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做x的一次函 数。 思考：当b=0时，观察一次函数y=kx+b会有什么变化？ y=kx+b(k≠0) 当b＝0时,一次函数y=kx（k≠0)也叫做正比例函数. k叫做 比例系数。 b=0 y=kx（k≠0) 归纳与总结 是一次函数，也是正比例函数。 是一次函数，不是正比例函数。 不是一次函数，也不是正比例函数。 是一次函数，不是正比例函数。 不是一次函数，也不是正比例函数 是一次函数，不是正比例函数。 一次函数和正比例函数的关 系 正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数 正比例函数 例1.铜的质量m（单位：g）与它的体积v（单位：cm3） 是成正比例的量。当铜的体积v=3cm3时，测得它的质量 是m=26.7g （1）求铜的质量m与体积v之间的函数表达式； （2）当铜块的体积为2.5cm3时，求它的质量。 1.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时, (1)此函数为正比例函数 (2)此函数为一次函数 (2)由题意，得2-m≠0, m≠2,所以m≠2时,此函数为一次函数 拓展提高 2、若函数y=(m-1)x|m|+m是关于x的一次函数,试求m的值. 解:(1)由题意得,2m-3=0,m= ,所以当 m= 时,函数为正比例函数y= 2 3 2 3 x2 1 3.汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,求 油箱的油量y(单位:升)随行驶时间x(单位:时)变化的函数 关系式,并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗? 解:由题意得,函数关系式为y=50-5t. 自变量x的取值范围是0≤t≤10，y是x的一次函数. 1.一次函数的定义； 2.正比例函数是特殊的一次函数； 3.对于日常生活中的实际问题,解题的关键是把问题转 化成数学问题,即构建相应的数学模型,建立函数关系式, 通过题中条件做出答案. 第2课时 1、一次函数的一般形式为 正比例函数的一般形式为 两者有什么联系？ )0(  kkkxy 是常数， )0,(  kbkbkxy 为常数， 正比例函数是特殊的一次函数 2、用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 列表 描点 连线 y x 30 21- 1 - 2 - 3 - 1 - 2- 3 1 2 3 4 5 y=2x+1 1、画一次函数y=2x+1的图象 x … -2 -1 0 1 2 … y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 … 2、画出函数 的图象.xy 2 1 1、解：（１）列表: （2）描点并连线 xy 2 12、画出函数 的图象 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ● ● ● ● ● ● 观察并思考：通过画图象，你能 发现一次函数的图象形状有什么 共同特征吗？ ● 1 2 3 4-1-2-3-4 -1 1 2 3 4 O y x （1）你能求出一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标 和图象与y轴交点的纵坐标吗？ （3）由（2）你发现一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的 横坐标和一元一次方程kx+b=0的解有什么关系？ （4）已知一次函数y=2x+4，你能用比较简单的方法画 出它的图象吗？与同学交流. 横坐标是 ，纵坐标是b； 即当y=0时x= ，当x=0时，y=b. b k  b k  χ y 0 Y=kx+b(k≠0) (0,b)0b k （ ， ） （5）一般地，你认为选取怎样的点画直线y=kx+b（k≠0）比 较简便？作直线y=kx（k≠0） 画直线y=kx(k≠0)时，只要再求出 直线上一个不是原点的点，画经过 这点和原点的直线就可以了 χ y 00 y=kx+b（k≠0） (0,b)1 ∟ y=kx（k≠0） χ y (0,0) ∟ (1,k) k 0b k （ ， ） 你会画出函数y=2x-1与 y=x+1 的图象吗？ y xo 2 1 · · · · y=2x-1 y=x+1 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点A(0，b)，的一条 直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象 时，只要描出两点即可画出一条直线 x 0 1 y=2x-1 y=x+1 -1 1 1 2 ∴ y=2x -1的图象是经过点(0， -1)和点(1，1)的直线； y=x+1 是经过点(0， 1 ) 点(1， 2) 的直线。 例3 已知一次函数的图象如图，写出这个函数的表达式. 解： 设所求函数的表达式为y=kx+b.由图 可知，该函数的图象与x轴、y轴的交点 坐标分别为(0，-2)，(3，0)，将它们分别 代入y=kx+b，得 -2=0•k+b， 0=3•k+b. 解这个关于k，b的二元一次方程组，得 2 3k  ， b=-2. 再将 和b=-2代入y=kx+b，得所求的一次函数的 表达式为 . 2 3k  2 23y x  已知一次函数的图象经过点(3,5)与（－4，－9）.求这个 一次函数的表达式． 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b. ∵y=kx+b的图象过点（3，5）与（-4，-9）. ∴ 3k+b=5 -4k+b=-9 解得 k=2 b=-1 ∴这个一次函数的表达式为y=2x-1. 在本节的例1和例3中，通过先设出表达式中的未知系 数，再根据所给条件，利用解方程或方程组确定这些未 知系数.这种方法叫做待定系数法. 2、一次函数y=kx+b （ｋ、ｂ是常数，且ｋ≠０）的图 像是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线 y=kx+b。 ３、画一次函数的图象时，通常选取图象与坐标轴的两交 点来确定这条直线．正比例函数是过原点的一条直线. 4、确定函数表达式的方法：待定系数法. 10.3 一次函数的性质 1.作函数图象的步骤是什么？ （1）列表； （2）描点 ；（3）连线 2.一次函数图象的特点是什么？ 是一条直线，所以我们在作一次图象的时候只需 要确定两个点，再过这两 个点作直线就可以了。 x 正比例函数性质 当k>0，图象过一、三象限，y随x的增大而增大。 当k3 13 2  xy x增大 y增大 （1）当k＞0时，y随x的增大而增大 1 xy x增 大 y减少 （2） 当k＜0时，y随x的增大而_____。减小 一次函数y＝kx＋b有下列性质： （1） 当k＞0时，y随x的增大而_____ ； （2） 当k＜0时，y随x的增大而_____。 概括 减小 增大 (1) 在同一坐标系中作出下列函数的图象 13 1  xy xy 3 1 13 1  xy xy 3 1（1） （2） （3） -3 o -2 23 1 2 3 -1 -1-2 x y 1 13 1  xy 思考：k,b的值跟图象有什么关系？ 1 13y x  （2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？ -6 o -4 4 6 2 4 6 -2 -2-4 x y 2 y=-x+6 y=-x 平行 xy 3 1 13 1  xy 13 1  xy （2）在同一坐标系中作出下列函数的图象 （1） （2） （3） -3 o -2 2 3 1 2 3 -1 -1-2 x y 1 xy 3 1 13 1  xy 13 1  xy 1、在平面直角坐标系中，函数y=-2x+3的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 2、已知一次函数y=x-2的大致图象为 （ ） o y x o y x o y x y xo A B C D D C 小结： 本节课的主要内容有： １.正比例函数的特点是什么？ ２.一次函数及其图象的性质有哪些？ ３.函数图象的位置关系有几种？ ４.关于函数ｙ＝ｋx+b图象的大致位置跟k,b的关系。 10.4 一次函数与二元一次方程 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图 象上.反过来, 一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方 程的解. 以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数 _____的图象 上。 y=2x-1 求二元一次方程组的解 就是求其两个二元一次方程 对应一次函数图象的交点坐 标 是确定两条直线交点 的坐标 就是求由两直线的表达式组 成的二元一次方程组的解 二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数 图象的交点坐标相对应。 1、方程组 的解是 ，由此可 知一 次函数 与 的图象必有一个交 点，且交点坐标是 。 x-y=4 3x-y=16 x=6 y=2 y=x+4 y=-3x+16 (6，2) 2、根据下列图象，你能说出它表示哪个方程组的解？ 这个解是什么？ 1 1 x y o y=2x-1 y=-3x+4 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象 上.反过来,一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元 一次方程的解. 2.二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函 数图象的交点坐标相对应。 3.图象法解二元一次方程组的步骤： (1)写函数；(2)作图象；(3)找交点；(4)下结论. 10.5 一次函数与一元一次不等式 思考：  （1）以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：2x－4＞0 ②当x为何值时，函数y=2x －4的值大于0？ （2）你如何利用图象来说明②？ （3）“解不等式2x－4＜0”可以与怎样的一次函数问 题是同一的？怎样在图象上加以说明？ y=2x-4即：x＞2时, y=2x-4 ＞0 由此可知：通过函数图象可 以求不等式的解集 2 -4 x y 0 同理 x< 2时, y=2x-4 < 0 可以看出当x＞2时，直线上 的点全在x轴的上方。 观察函数y=2x-4 的图象, “解不等式ax+b>0(a,b为常数,a≠0)”与“求自变量x为什 么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系? （同一个问题） 由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax +b