北师大版八年级数学下册第一章同步测试题及答案

北师大版八年级数学下册第一章同步测试题及答案 1 等腰三角形 一、选择题 1．如图 1－22 所示，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝AD，则∠A 等于 ( ) A．30° B．40° C．45° D．36° 2．在等腰梯形 ABCD 中，∠ABC＝2∠ACB，BD 平分∠ABC，AD∥BC，如图 1－23 所示，则图中的等腰三角 形有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图 1－24 所示，在 □ ABCD 中，已知 AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平 分∠ADC 交 BC 边于点 E，则 BE 等于 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 4．下面几种三角形： ①有两个角为 60°的三角形； ②三个外角都相等的三角形； ③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形； ④有一个角为 60°的等腰三角形． 其中是等边三角形的有 ( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D． 1 个 二、填空题 5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60°”时，第一步应假设 . 6．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分 成了两个等腰三角 形，那么α的度数为 ． 三、解答题 7．如图 1－25 所示，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠1＝∠2，∠3＝ ∠4．求证： (1)△ABC≌△ADC； (2)BO＝DO． 8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，如图 1－26 所示， 写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D． 彬彬：作△ABC 的角平分线 AD． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要改正．” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里； (2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程． 9．已知四边形 ABCD 是正方形． (1)如图 1－27(1)所示，点 G 是 BC 边上任意一点(不与 B，C 两点重合)，连接 AG，作 BF⊥AG 于点 F，DE ⊥AG 于点 E．求证△ABF≌△DAE. (2)在(1)中，线段 EF 与 AF，BF 的等量关系是 .(不需证明，直接写出结论即可) (3)如图 1－27(2)所示，若点 G 是 CD 边上任意一点(不与 C，D 两点重合)，作 BF⊥AG 于点 F，DE⊥AG 于点 E，那么图中的全等三角形是 ，线段 EF 与 AF，BF 的等量关系是 ．(不需证明，直接写出结论即可) 10．如图 1－28 所示，D 为△ABC 的边 AB 的延长线上一点，过 D 作 DF⊥AC，垂足为 F，交 BC 于 E，且 BD ＝BE，求证△ABC 是等腰三角形． 11．如图 1－29 所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，点 E 在 AC 上．CE ＝BC，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F，求证 AB＝FC． 参考答案 1．D[提示：本题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形的性质．由 AD＝BD，得∠A＝∠ ABD，∠BDC＝2∠A，由 BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由 AB＝AC，得 ∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．] 2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC 都是等腰三角形．] 3．A[提示：由 DE 平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由 AD∥BC，得∠ADE＝∠CED， ∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．] 4．B［提示：利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形．] 5．三角形中没有大于或等于 60°的角(或三角形的所有内角都小于 60°) 6．108°[提示：画出图形，利用三角形内角和求解．] 7．证明：(1)在△ABC 和△ADC 中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4， ∴△ABC≌△ADC． (2)由(1)知 AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD． 8．解：(1)过点 A 作 BC 的垂线，不一定过 BC 的中点，如果连接点 A 和 BC 中点 D，则 AD 与 BC 不一定垂 直． (2)证明：作△ABC 的角平分线 AD，则∠BAD＝∠CAD， 又∵∠B＝∠C，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB＝AC． 9．(1)证明：在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝90°． 在 Rt△ABF 中，∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DAE． 在△ABF 与△DAE 中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA， ∴△ABF≌△DAE(AAS)． (2)EF＝AF－BF. (3)△ABF≌△DAE EF＝BF－AF. 10．证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°， ∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝90°， ∴∠A+∠D＝∠C+∠1． 又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等边对等角)． 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D， ∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角对等边)， ∴△ABC 是等腰三角形． 11．证明：∵FE⊥AC 于点 E，∠ACB＝90°， ∴∠FEC＝∠ACB＝90°， ∴∠F+∠ECF＝90°． 又∵CD⊥AB 于点 D， ∴∠A+∠ECF＝90°， ∴∠A＝∠F． 在△ABC 和△FCE 中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE， ∴△ABC≌△FCE， ∴AB＝FC． 2 直角三角形 1. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是( ) A. 一组边对应相等 B. 两组直角边对应相等 C. 两组锐角对应相等 D. 一组锐角对应相等 2. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使 Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ 的是( ) A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40° 3. 在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形( ) A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 以上都不是 4. 如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等．以下给出的条 件适合的是( ) A. AC＝AD B. AB＝AB C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 5. 如图所示，在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中，若 AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是( ) A. OA＝OB B. E 是 AC 的中点 C. △AOE≌△BOD D. AE＝BD 6. 如图，四边形 ABCD 中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD 的度数为_____. 7. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 相交于 F.若 BF＝AC，那么∠ABC 的大小 是_____. 8. 如图所示，过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 a，过点 A、C 作 a 的垂线，垂足分别为点 E、F，若 AE＝ 1，CF＝3，则 AB 的长度为_____. 9. 如图，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 和 过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，当 AP＝_____时，才能使△ABC≌△PQA. 10. 如图，△ABC、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点 E 在 AB 上．求证：△CDA≌△CEB. 11. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，且 DE⊥AB 于 E，AC＝AE.求证：AD 平分∠BAC. 12. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离带的空隙 O，刚好浏览 完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两 平行线间的距离相等．AC、BD 相匀于 O，OD⊥CD 垂足为 D.已知 AB＝20 米．请根据上述信息求标语 CD 的长度． 13. 如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF. (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF 的度数． 14. 如图，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC 与 DE 相交于点 F，连接 CD、EB. (1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举. (2)求证：CF＝EF. 参考答案 1.B 【解析】A、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，现已知一组边对应相等 ，要判定两直角三角 形全等，还需要一组角对应相等地或是另一组边对应相等才能进行判定，故选项错误；B、可以利用边角 边判定两三角形全等，故本选项正确； C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错 误；D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选 项错误.故选 B． 2.B 3.C 4.A【解析】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，然后由 AC=AD，可根据 HL 判定两直角三角形全等， 故符合条件；而 B 答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确；C 答案符合 AAS，证明两 三角形全等，故不正确；D 答案是符合 AAS，能证明两三角形全等，故不正确.故选 A. 5.B 6.110°【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，且 CA=CA，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA， ∵∠BAC=35°，∠ABC=90°，∴∠BCA=55°，∴∠BCD=2∠BCA=110°． 7.45° 8. 【 解 析 】 ∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴∠CBF+∠FBA=90° ， ∠CBF+∠BCF=90° ， ∴∠BCF=∠ABE.∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）,∴AE=BF，BE=CF， ∴AB= ． 9.5 或 10【解析】∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，又∵AP=CB=5，PQ=AB，∴△ABC≌△PQA．点 P 运动到 C 点时，△ABC≌△PQA．∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠BCA=∠QAP =90°，又∵AP=CA=10，PQA=AB， ∴△ABC≌△PQA． 10.【证明】∵△ABC、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CE=CD，BC=AC， ∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE， ∴∠ECB=∠DCA， 在△CDA 与△CEB 中， ， ∴△CDA≌△CEB． 11.【证明】∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， 在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠CAD=∠EAD，即 AD 平分∠BAC. 12.【解】∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即 OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OD=OB， 在△ABO 与△CDO 中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m）. 13.（1）【证明】∵AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF. （2）【解】∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， 又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°， 由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°． 14.(1)【解】图中有 3 对全等三角形有 Rt△ABC≌Rt△ADE，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF. (2)【证明】连接 AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL). ∴BC＝DE. 在 Rt△ABF 和 Rt△ADF 中，AB＝AD，AF＝AF， ∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)， ∴BF＝DF， ∴BC－BF＝DE－DF，即 CF＝EF. 3 线段的垂直平分线 1．如图，已知线段 a、h，作等腰三角形 ABC，使 AB＝AC，且 BC＝a，BC 边上的高 AD＝h.张红的作法 是：①作线段 BC＝a；②作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；③在直线 MN 上截取线 段 h；④连接 AB、AC，则△ABC 为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是 ( ) A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为( ) A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 3．如图，有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市 到三个小区的距离相等，则超市应建在( ) A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边中线的交点处 C．在∠A、∠B 两内角平分线的交点处 D． 在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 4．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠A 的度数是 . 5．如图，在锐角三角形 ABC 中，∠BAC＝60°，边 AC、AB 的垂直平分线交于点 O，交 AC、AB 于点 D、 E，则∠BOC 等于 . 6．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到的锐角为 50°，则∠B 等 于 . 7．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 . 8．如图，点 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE＝DF.求证：AD 垂直平分 EF. 9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 BC 延长线上一点，E 是 BD 垂直平分线与 AB 的交点，DE 交 AC 于点 F.求证：点 E 在 AF 的垂直平分线上． 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F.若 BF ＝3cm.求 BC. 11. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.求∠ECD 的度数. 12．如图，已知线段 AB. (1)用尺规作图的方法作出线段 AB 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)中所作的直线 l 上任意取的两点 M、N(在线段 AB 的上方)，连接 AM、AN、BM、BN.求证：∠ MAN＝∠MBN. 参考答案 1. C 2. C 3. D 4. 50° 5. 120° 6. 70°或 20° 7. 相等 8.【证明】∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵DE＝DF，AD＝AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE＝AF，∴AD 垂直平分 EF. 9.【证明】∵E 是 BD 垂直平分线上一点， ∴EB＝ED，∴∠B＝∠D. ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D. ∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A. ∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A， ∴EF＝EA， ∴点 E 在 AF 的垂直平分线上． 10.【解】连接 AF.∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵EF 垂直平分 AB， ∴BF＝AF，∴∠B＝∠BAF＝30°， ∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ACF 中，∠C＝30°，∴AF＝1 2CF，∴CF＝2AF. ∵AF＝BF，∴CF＝2BF. ∴BC＝3BF＝3×3＝9(cm)． 11.∠ECD＝36° 12.【解】(1)画图略. (2)∵点 M、N 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴MA＝MB，NA＝NB， ∴∠MAB＝∠MBA，∠NAB＝∠NBA， ∴∠MAB－∠NAB＝∠MBA－∠NBA， ∴∠MAN＝∠MBN. 4 角平分线 1. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA＝2，则 PQ 的最小值 为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，DE＝ 1，则 BC 等于( ) A. 3 B．2 C．3 D. 3＋2 3．如图，AB∥CD，O 为∠BAC，∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC，垂足为 E，若 OE＝2 cm，则 AB 与 CD 间的距离为( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 4. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为 D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B 等于( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 5. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为( ) A．2 B．2 3 C. 3 D．3 6．在△ABC 中，∠C＝90°，O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD⊥BC 于点 D，OE⊥AC 于点 E，OF⊥AB 于点 F，且 AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为( ) A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm 7．如图，O 为△ABC 内任意一点，OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，OF⊥BC 于点 F，若 OD＝OE＝ OF，连接 OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( ) A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠COF D．AD＝AE 8．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 D，垂足为 E.则下列结论错 误的是( ) A．DE＋BD＝BC B．BD＝2CD C．BE＋DE＝BC D．BE＋AC＝AB 9．如图，在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，则 OD 与 OE 的大小关系是( ) A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．无法确定 10. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且 BD∶CD＝3∶2，则点 D 到线段 AB 的距离为____． 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，点 D 在 BC 上，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DE＝DF， 若 DE＝4，则 AD＝____． 12．如图，已知 DB⊥AN 于点 B，交 AE 于点 O，OC⊥AM 于点 C，且 OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB ＝____． 13. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且 DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC 的度数 为____． 14. 如图，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于点 D，且 OD＝3.若△ABC 的周长是 22，则△ ABC 的面积是____． 15. 如图，AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E.求证：PD＝PE. 16. 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求 AC 的长． 参考答案 1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10. 4 11. 8 12. 40° 13. 137° 14. 33 15.【证明】连接 AP.∵AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP， ∴△ABP≌△ACP(SSS)， ∴∠BAP＝∠CAP. 又∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 16.【解】过点 D 作 DF⊥AC. ∵AD 是∠BAC 平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2. ∵S△ABD＝4×2 2 ＝4，∴S△ACD＝7－4＝3. ∴2AC 2 ＝3，即 AC＝3