北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程

第五章 分式与分式方程 5.1认识分式 第1课时 1.知道分式的概念,明确分式和整式的区别. 2.掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为0 的条件. 解:由题意，得x+1=1或x+1=2或x+1=3或x+1=6, 即x=0或x=1或x=2或x=5. 第2课时 1.能说出分式的基本性质. 2.能根据分式的基本性质约分. 3.知道最简分式的概念,会将分式化为最简分式. 你能说出分数的基本性质吗?我们常根据分数的基 本性质对分数进行约分,那么分式是不是也可以约分呢? B 1.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以) 同一个不等于0的整式,分式的值不变. 2.把分式中分子、分母的公因式约去叫约分. 3.分子和分母没有公因式的分式叫最简分式,化简分 式的结果要是最简分式或整式. 第五章 分式与分式方程 5.2分式的乘除法 1.能说出分式乘除法的法则. 2.会进行分式的乘除法运算. 5 2 5 22 7 9 7 9   （ ）  ＝ 2 4 2 4 3 5 3 5   (1)  ＝   5 2 5 9 5 94 7 9 7 2 7 2    （ ）   ＝ ＝ 2 4 2 5 2 53 3 5 3 4 3 4    （ ）  ＝ ＝   两个分式相乘，把分子相乘的积 作为积的分子，把分母相乘的积作为 积的分母。    用符号语言表达：   两个分式相除，把除式的分子和 分母颠倒位置后再与被除式相乘。   用符号语言表达： v 分数的乘除法法则: v 两个分数相乘,把分子相 乘的积作为积的分子,把 分母相乘的积作为积的 分母; v 两个分数相除,把除数的 分子分母颠倒位置后,再 与被除式相乘. v 分式的乘除法法则: v 两个分式相乘,把分子相乘 的积作为积的分子,把分母 相乘的积作为积的分母; v 两个分式相除,把除式的分 子分母颠倒位置后,再与被 除式相乘. 分数与分式的乘除法法则类似 注意：按照法则 进行分式乘除运算，如果运算结果 不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简 分式. 例1 计算： 323 4 x y y x  cd ba c ab 4 3 2 22 2 2 ⑴ ⑵ 例2 计算： 将除法转化为乘法, 再按乘法去做. 当分子或分母是多项式时,怎么办？ 能分解因式的要进行分解因式. 2 2 4 12(1) 8 3 6 a ab a b a   2 2 2 1 1(2) 4 4 4 a a a a a     2(2)( ) x yxy x xy   练习 6 9 12 4(3) 1 4 4 2 1 2 2 a a - a a a a      结果通常要化成最简分式或整式. 2 2 1(1) 2 2 a a a a    计算: 2 4 a b c      分式的乘方与分数的乘方类似,只 要把分子、分母分别乘方. 即时巩固 计算 2 5(1) 3y      32 3 2(2) a b c      小检测：计算下列各题： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） . 3 2 2 327 6 aba b a b       2 2 6 12 a b a b a b a b     n m m n   2 2 2 2 2 18 6 5 5 a b b a xy x y  2 2 2 2 2 2 2ab a b a b a b       1.分式乘除法的法则: 两个分式相乘,把______________作为积的分子,把 ______________作为积的分母;两个分式相除,把除 式的分子和分母__________后再与被除式相乘. 2.用字母表达分式乘除法的法则： 分子相乘的积     分母相乘的积     颠倒位置  a d ad b c bc   a d a c ac b c b d bd     第五章 分式与分式方程 5.3分式的加减法 一、引入课题： a 1 b 1 + = ? a 1 b 1 + = ab b ab a + = ab ab  议一议 小明这样做: 2 2 2 3 1 3 4 a 1 a a 4 a a 4 a 4 a a 1 2 a a 4 a 4 a 1 3 a 1 3 4 a 4 a          小亮这样做: 3 1 3 4 1 a 4 a a 4 4 a 1 2 1 4 a 4 a 1 3 4 a       你对这两种做法有何 评论? 异分母分式加减法法则与异分母分数加减法的法则类似 § 异分母分式加减法的法则: § 先通分，把异分母分式化为同分母分式，再按同分母 分式相加减的法则进行计算. 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的 分式, 这一过程叫做通分. 为了计算方便,异分母的分式通分时,通常取最简单的公 分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母. 练习 § 1.把下列各式通分： ;4 1,3,2)1( 2 xyy x x y ;3 1,3 1)2(  xx ;2 1,4 1)3( 2  aa .)( 3,5)4( 2xyyx    ;12 3,12 4,12 61: 22 2 2 3 xy y xy x xy y解      ;33 3,)3)(3( 32     xx x xx x         ;22 2,22 13    aa a aa         .3,54 22 yxyx yx   ;3 1 3 1)1(  xx 3 1 3 1)1(  xx 解： )3)(3( 3 )3)(3( 3    xx x xx x   33 )3()3(   xx xx   33 33   xx xx .9 6 2  x 计算：例1 .2 1 4 2)2( 2  aa a )2)(2( 2 )2)(2( 2   aa a aa a )2)(2( )2(2   aa aa )2)(2( 22   aa aa )2)(2( 2   aa a .2 1  a 2 1 4 2 2  aa a解: (2) a2 -4 能分解 : a2 -4 =(a+2)(a-2), 其中 (a-2)恰好为第 二个分式的分母. 所以 (a+2)(a-2) 即为最简公分母. 先找最简公 分母. 练一练 29x 2 6x 1 （1） 2y 12x y x 2x y （2） yx 1 yx x 22 （3） 22 x9 2x 3x 1 96xx x （4） 拓展练习 工效问题 一项工程 , 甲单独做 a h 完成, 乙单独做 b h 完成 .甲、 乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？ 1.“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加 减.在这里要注意分数线的作用. 注意 2.在“把分子相加减”的过程中,会用到整式的加减中的 去括号、合并同类项等知识,运算要准确. 3.分式加减的结果, 能约分的要约分,要化成最简分式. 小结 【异分母分式加减法的法则】 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同 分母分式的加减法法则进行计算. 通分时主要运用分式的基本性质. 【通分】 利用分式的基本性质 ,把异分母的分式 化为同分母的过程 【通分的原则】 异分母通分时, 通常取各分母的 最简公分母作为它们的共同分母. 小结 【异分母分式加减法的法则】 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同 分母分式的加减法法则进行计算. 通分时主要运用分式的基本性质. 【通分】 利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分 母的过程. 【通分的原则】异分母通分时, 通常取各分母的最简公分 母作为它们的共同分母. 第五章 分式与分式方程 5.4分式方程 第1课时 1.能说出分式方程的概念. 2.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示. “五一”期间，一批八年级学生租了一辆面包车前往某 旅游景点游览，面包车的租金为300 元.出发时，又增加 了4 名同学，且租金不变，这样每名同学所摊的车费是 原来的 ，那么参加游览的同学一共有多少人？ （1）你认为应该用我们学过的哪类数学模型来解决上 面的问题？试着用你想到的模型将这个问题抽象为数学 问题. （2）你得到的数学模型与你熟悉的数学模型有什么不 同？你能给这个模型起一个恰当的名称吗？ 3 5 1.某工程公司承担了一段河底清淤任务,需清淤4万方,清 淤1 万方后,该公司为了加快施工进度,又新增一批工程机 械参与施工,工效提高到原来的2倍,共用25天完成任务.如 果该工程公司新增工程机械后每天清淤x 万方,那么x应 满足的分式方程是: 1 4 1 251 2 xx     B 2.某工地调来72人参加挖土和运土，已知三人挖出的土一 人恰好能全部运走.怎样调配劳动力才能使挖出的土能及 时运走且人力充分发挥作用？解决此问题，可设派x人挖 土，其他人运土，列出如下方程： ① ，② ，③x+3x=72，④ .72 1 3 x x   72 3 xx  372 x x  上述所列方程正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分式方程的特点是什么?与整式方程有什么不同?   分式方程的分母中含有未知数. 第2课时 1.知道解分式方程的一般步骤. 2.明确分式方程产生增根的原因及分式方程检验 的方法. 我们已经学过一元一次方程,你还记得什么是一元一次方程的解吗?你能 想象一下,如何得到分式方程的解吗? 解:去分母，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得x=1. 检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0. ∴x=1是增根. ∴原分式方程无解.   解分式方程的基本思想是将分式方程化为______方 程,基本方法是_______——用各分母的最简公分母乘方 程两边.解分式方程时要检验根,检验时可将所求得的未 知数的值代入最简公分母,看其值是否为_____. 整式   去分母    0   第3课时 1.能根据题意寻找等量关系. 2.能通过列分式方程解决现实情境中的问 题. 甲 、 乙 两 名 同 学 玩 “ 托 球 赛 跑 ” 的 游 戏 , 商 定 : 用 球 拍 托 着 乒 乓 球 从 起 跑 线 l 起 跑 ( 如 图 ) , 绕 过 点 P 跑 回 起 跑 线 ; 途 中 乒 乓 球 掉 下 时 须 捡 起 并 回 到 掉 球 处 继 续 赛 跑 , 用 时 少 者 胜 . 结 果 : 甲 同 学 由 于 心 急 , 掉 了 球 , 浪 费 了 6 秒 钟 , 乙 同 学 则 顺 利 跑 完 . 比 赛 结 束 后 , 甲 同 学 说 : “ 我 俩 所 用 的 全 部 时 间 和 为 5 0 秒 . ” 乙 同 学 说 : “ 捡 球 过 程 不 算 在 内 时 , 甲 的 速 度 是 我 的 1 . 2 倍 . ” 根 据 图 文 信 息 回 答 : 哪 位 同 学 获 胜 ? 1. 水果店的小李就用3 000元购进了一批乌梅,前两天 以高于进价40%的价格卖出150 kg,第三天她发现市 场上乌梅数量陡增,而自己的乌梅卖相已不大好,于是 果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出, 前后一共获利750元,求小李所进的乌梅有多少千克. 2.“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3 000元购进第 一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5 000元购进第二 批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花 盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一 批盒装花每盒的进价是多少元. 本节课主要是在分式方程的概念和分式方程的解 法的基础上对分式方程的应用进行学习,在应用中要 注意寻找等量关系,根据等量关系列出分式方程.