北师大版八年级数学下册第六章平行四边形

第六章 平行四边形 6.1平行四边形的性质 1知识点 平行四边形的定义 两组对边分别平行 四边形 平行四 边形 ∠A与∠C，∠B与∠D叫做对角. AB与CD，AD与BC叫做对边. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. A D CB A D CB 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段 叫做它的对角线. 四边形ABCD是平行四边形， 记作 ABCD. 线段AC就是 ABCD 的一条对角线. 平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义 既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分 别平行；又是判定平行四边形的一种方法：两组对 边分别平行的四边形是平行四边形．即对于任何一 个几何定义，都具有两种功能，顺用是它的判定， 逆用是它的性质． 对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小 到大等)分类计数，做到不重复不遗漏． 总 结 如图，在 ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平 行于AB，BC，那么图中共有平行四边形_____个． 例1 根据平行四边形的定义，知AB∥CD， AD∥BC，由已知可知，EF∥AB， GH∥BC，所以根据平行四边形的定义 可以判定四边形ABFE是平行四边形， 导引： 9 同理可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边 形GBCH、四边形AGPE、四边形EPHD、四边形 GBFP、四边形PFCH都是平行四边形，最后还要 加上 ABCD，即共有9个平行四边形． 2知识点 平行四边形的中心对称性 做一做 (1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你 能找出它的对称中心并验证你的结论吗？ 平行四边形是中心对称图形，两条对角线 的交点是它的对称中心. 3知识点 平行四边形的性质——对边相等 做一做 (2)你还发现平行四边形有哪些性质？ 我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等. 请你尝试证明这些结论. 边的性质： 平行四边形对边平行；平行四边形对边相等． 数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC. 4知识点 平行四边形的性质——对角相等 1. 角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻 角互补． 数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°. 如图，在 ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°， 求平行四边形各角的度数． 例2 由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，结合 已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C 的度数；再根据平行线的性质，进而求出∠B， ∠D的度数． 导引： 在 ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠A＋∠C＝120°， ∴∠A＝∠C＝60°. ∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°. ∴∠B＝∠D＝120°. 解： 例3 如图，四边形ABCD是平行四边形. 求： (1) ∠ADC和∠BCD的度数； (2) AB和BC的长度. (1)因为∠B＝56°，且平行四边形的对角相 等，邻角互补， 所以∠ADC＝56°， ∠BCD＝180°－56°＝124°. (2)因为CD＝25，AD＝30，且平行四边形的 对边相等， 所以AB＝25，BC＝30. 解： 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形. 2.平行四边形具有中心对称性. 3.平行四边形的对角相等. 4.平行四边形的对角相等. 平行四边形的性质： 对边相等； 对角相等 回顾旧知 1知识点 平行四边形的性质——对角线互相平分 在上一课的“做一做”中，我们还发现：平 行四边形的对角线互相平分. 请你尝试证明这一 结论. 例1 已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相 交于 点O.求证：OA＝OC, OB＝OD. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD(平行四边形的对边 相等)， AB∥CD(平行四边形的定义). ∴∠BAO＝∠DCO, ∠ABO＝∠CDO. ∴△ABO≌ △CDO. ∴OA＝OC，OB＝OD. 你还有其他证明方法吗？与同伴交流. 证明： 定理 平行四边形的对角线互相平分. 总 结 数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， 对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD. 例2 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分）， AD∥BC(平行四边形的定义）. ∴∠ODE＝∠OBF. ∵∠DOE＝∠BOF, ∴△DOE≌ △BOF. ∴OE＝OF. 已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点 O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：OE＝OF. 已知▱ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB 的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以AC＝2OA＝6 ，BD＝2OB＝8 . 又因为OA2＋OB2＝32＋42＝52＝AB2，所以AC⊥BD. 由勾股定理，可得AD2＝OA2＋OD2， 而OD＝OB，所以AD2＝32＋42. 所以AD＝5. 同理，可得DC＝5，BC＝5. 解： 2知识点 平行四边形的面积 1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为 平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对 边间的距离)； 2.等底等高的平行四边形的面积相等． 例3 如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6， BE＝2，则 ABCD的周长是________．20 求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需 求出AD的邻边AB或CD的长即可． ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2， ∴AD＝BC＝6，AD∥BC. ∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∠ADE＝∠DEC. ∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC. ∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4. ∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20. 导引： 1. 平行四边形的对角线互相平分． 2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任 意一条边，高为这条边与其对边间的距离)． 课堂小结 第1课时 2.平行四边形的性质：平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分. 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是 平行四边形． 复习回顾   我们知道一个四边形如果是平行四边形,那么我们 可以得到它的边、角、对角线的关系.反过来,当一个四 边形边、角、对角线具备怎样的条件时,它是不是一个 平行四边形呢? （1）根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平 行四边形. 所以定义既是性质也是判别． 将两根木条AC、BD的中点重合，并用钉子固定， 然后用木条AB、BC、CD、DA加固. 操作一 D B A C O 两条对角线互相平分的 四边形是平行四边形. ∵AO=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 将两根同样长的木条AB、CD平行放置， 再用木条AD、BC加固. 操作二 A B C D C D 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形. ∵AD∥BC ， AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 判别方法归纳： （1）两组对边分别平行的四边形叫做平 行四边形.（定义） （2）两条对角线互相平分的四边形是平 行四边形. （3）一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形. 思考：判别和性质有何区别？ A B C D O 如图，AB∥CD，点E在AB上，且AE=EB=DC .找出 图中的平行四边形，并说明理由. A C BE D 四边形AECD，四边形BCDE都是平 行四边形. 因为AE=DC， AB∥CD， 所以四边形AECD是平行四边形. 同理，因为EB=DC， AB∥CD， 所以四边形BCDE是平行四边形. 大 显 身 手 已知在平行四边形ABCD 中，点E、F在对角线AC 上，并且OE=OF. D B O A C E F (１)OA与OC、OB与OD相等吗？ (２)四边形BFDE是平行四边形吗？ 课堂小结： 两条对角线互相平分的四边形 是平行四边形. 边 对角线 角 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 1、两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形.（定义） 2、一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形. 第2课时 已知：在四边形ABCD中， AB∥CD， BC∥AD，那 么四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是什么？ A D CB 根据平行四边形的定义，两组 对边互相平行的四边形是平行 四边形. AB∥CD BC∥AD 四边形ABCD 是平行四边形 已知：在四边形ABCD中， AO=OC，BO=OD，那么 四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是什么？ A D CB O 根据平行四边形的判别1，对角线互 相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD 是平行四边形 AO=OC BO=OD 已知：在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD， 那么四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是 什么？ A D CB 根据平行四边形的判别2，一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 四边形ABCD 是平行四边形 AB∥CD AB=CD A B C D E F 如图，AB ∥DC∥EF, 且AB=DC=EF,则图中的平 行四边形__________________.理由 是 . □ABCD、□CDEF 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 用两根长40 cm的木条和两根长30 cm的木条作为四边 形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴交流． 根据图中的条件，你能证明四边形ABCD是平行 四边形吗？试试看. （可用多种方法证明） 平行四边形的判别3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. A D CB 四边形ABCD 是平行四边形 AD=BC AB=CD 说一说： 在下图中，AB=CD=EF=15，AD=BC=16，DE=CF=9， 图中有哪些互相平行的线段． A B C D E F 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是 平行四边形吗？ 题目如何变化得到的四边形一定是平行四边形？ 平行四边形的判别方法 ： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 第六章 平行四边形 6.3三角形的中位线 平行四边形的性质与判定 性质 判定 边 角 对角线 推论 平行四边形的①两组 对边分别平行②两组 对边分别相等 平行四边形的①对角 相等②邻角互补 平行四边形的对角线 互相平分 夹在两条平行线间的平行线段相等 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形 回顾与思考 w你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? w连接每两边的中点,看看得到了 什么样的图形? w四个全等的三角形. w请你设法验证上面的结论,你敢 应战吗? w连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 猜一猜,三角形中位线有什么性质? B C A D · · E · F 想一想 三角形中位线的性质 w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第 三边的一半. w已知:如图,DE是△ABC的中位线. w分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加 倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四 边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全 等三角形来证明相应的边相等. D E B C A .2 1 BCDE 求证:DE∥BC, w证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ABC≌ △CDA(SAS). ∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD∥CF. ∵AD=BD, ∴BD=CF. D E B C A F ∴四边形BCDF是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC, 三角形中位线性质的运用 w利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证:△ADE≌ △DBF≌ △EFC≌ △FED. B C A D E F 证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌ △DBF≌ △EFC≌ △FED(SSS). w分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明 三角形全等. 已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况 下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外 选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由 此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗? C M B A N 测量两点之间不能到达的距离的方法——中位线法 其中的道理是:连结AB,∵MN是 △ABC的的中位线,∴AB=2MN. 运用中位线的 “模型” w如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形 EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD 都成立吗? 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结 论对所有的四边形ABCD都成立. 求证:四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点. w分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线 可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 三角形中位线的性质 w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边 的一半. w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系 的根据. 课堂小结 应用模型:连接任意四边形各边中点所成的 四边形是平行四边形. 要重视这个模型的证明过程 反映出来的规律:对角线的 关系是关键.改变四边形的 形状后,对角线具有的关系( 对角线相等,对角线垂直,对 角线相等且垂直)决定了各 中点所成四边形的形状. A B C H D E F G 第六章 平行四边形 6.4多边形的内角和与外角和 第1课时 1.掌握多边形的内角和定理. 2.能运用多边形的内角和定理解决简单的实际问题. 我们知道三角形的内角和是180°,四边形的内角和 是360°.那么五边形的五个内角的和是多少度?n边形的 内角和又是多少度呢? 1.将一张五边形纸片剪去一个角后,剩下的多边 形的内角和是多少度? 2.如果用一种正多边形地板砖无缝隙、不重叠地 铺地板,这种正多边形的边数可以是几? 解:要分类讨论.剩下的多边形的边数可能为四 或五或六,所以内角和可能为360°,540°,720°.  解:正三角形的每个内角是60°,能整除360°,能密铺; 正四边形的每个内角是90°,能整除360°,能密铺; 正六边形的每个内角是120°,能整除360°,能密铺. 故这种正多边形的地板砖可以是正三角形,正四边形或 正六边形. 1.多边形的内角和可通过把这个多边形分割成三角 形来求,也可根据定理—— n边形的内角和等于 ___________来求. 2.正多边形的每个内角________.正多边形的每个内 角等于________度. (n-2)·180°  相等   ( 2) 180n n   第2课时 1.掌握多边形的外角定义. 2.掌握多边形外角和定理,并会运用其解决实际问 题. 如 图 , ∠ D A B , ∠ A B C , ∠ B C D , ∠ C D A 都 是 四 边 形 A B C D 的 内 角 , 那 么 , 与 之 相 对 应 的 ∠ E A B , ∠ F B C , ∠ G C D , ∠ H D A 又 是 四 边 形 A B C D 的 什 么 角 呢 ? 如 同 内 角 和 一 样 , 这 四 个 角 的 和 是 否 也 会 与 边 数 4 存 在 着 特 殊 的 对 应 关 系 呢 ? 1.在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角?最多 能有几个锐角? 2.如图,小亮从点A出发前进10 m,向右转15°,再前 进10 m,又向右转15°,照这样一直下去,他第一次回 到出发点A时,一共走了多少米? 解:最多能有3个钝角;最多能有3个锐角. 解：因为都是前进10 m，向右转都是15°，所以 路线组成的图形是正多边形， 边数 ， 周长为10×24=240（m），即一共走了240 m. 360 2415n   多边形的内角和是___________, 多边形的外角和是_____.    (n-2)·180°  360°