沪科版八年级数学下册第18章测试题及答案

沪科版八年级数学下册第 18 章测试题及答案 18.1 勾股定理 基础巩固 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°且 c＝13，a＝12，则 b＝( )． A．11 B．8 C．5 D．3 2．下列说法正确的是( ) A．若 a，b，c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 B．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 C．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠A＝90°，则 a2＋b2＝c2 D．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2 3．如图 18－1－1 所示，字母 S 所表示的正方形的面积是(图中的数字表示正方形的面积)( ) 图 18－1－1 A．12 B．13 C．144 D．194 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝10，BC＝8，则 AC 的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图 18－1－2 所示，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B 都是格点，则线 段 AB 的长度为( ) 图 18－1－2 A．5 B．6 C．7 D．25 6．如图 18－1－3，点 A 表示的实数是( ) 图 18－1－3 A. 3 B. 5 C．－ 3 D．－ 5 7．如图 18－1－4 是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形 A，B，C，D 的面积分别为 2，5，1，2，则最大的正方形 E 的面积是________． 图 18－1－4 8．曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明方法．如 图 18－1－5，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．图形整体上是一个直角梯形．所以它的面积 有两种表示方法．既可以表示为________，又可以表示为______________．对比两种表示方法可得 ________________．化简，可得 a2＋b2＝c2.他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话． 图 18－1－5 9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)若 a＝8，b＝15，则 c＝________；(2)若 c＝41，b＝9，则 a＝________； (3)若 a＝7，c＝25，则 b＝________． 10．若直角三角形的两直角边长为 a，b，且满足 a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为 ________． 11．若一个矩形的一条边长为 4 cm，一条对角线长为 5 cm，则它的面积为________cm2. 12．如图 18－1－6，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，AC＝5，AB＝13，BD＝8，求线 段 AD 的长度． 图 18－1－6 13．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对边为 a，∠B 的对边为 b，斜边为 c. (1)已知 a∶b＝1∶2，c＝5，求 a； (2)已知 b＝15，∠A＝30°，求 a，c. 能力提升 14．小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为 58 厘米，宽为 46 厘米，则这台电视机的尺寸(屏幕的对 角线长度为电视机的尺寸)最有可能是( )． A．9 英寸(23 厘米) B．21 英寸(54 厘米) C．29 英寸(74 厘米) D．34 英寸(87 厘米) 15．在△ABC 中，∠C＝90°，周长为 60，斜边与一直角边之比是 13∶5，则这个三角形三边长分别是 ( )． A．5,4,3 B．13,12,5 C．10,8,6 D．26,24,10 16．如图 18－1－7 所示，一段楼梯，高 BC 是 2 m，斜边 AB 为 4 m，在楼梯上铺红地毯，至少需要 ( )． 图 18－1－7 A．4 m B．6 m C． (2 2 3)m＋ D． (4 2 3)m＋ 17．如图 18－1－8，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 AC 上一点，且 DA＝DB＝5.又△DAB 的面积为 10，那么 DC 的长是( )． 图 18－1－8 A．4 B．3 C．5 D．4.5 18．图 18-1-9 为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为__________ mm. 图 18－1－9 19．如图 18－1－10，一直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD＝__________. 图 18－1－10 20．在一棵树的 10 m 高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20 m 的池塘 A 处，另一只爬到 树顶后直接跃向池塘的 A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？ 21．如图图 18－1－11，在△ABC 中，AB＝AC，D 点在 CB 的延长线上，求证：AD2－AB2＝BD·CD. 图 18－1－11 参考答案 1. 答案：C 点拨：根据勾股定理求出 b＝5，故选 C. 2．D [解析] 根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在确定三角形是直角 三角形，且能确定直角边、斜边时，才能有确定的等式，本题 D 选项中∠C＝90°，c 是斜边，a2＋b2 ＝c2 正确．故选 D. 3．C [解析] 根据勾股定理，得图形上所给的面积关系：以两条直角边为边向三角形外所作正方形的 面积和等于以斜边为边向三角形外所作正方形的面积，因此 25＋S＝169，S＝144.故选 C.. 4．B 5．A 6．D 7．10 [解析] 根据勾股定理的几何意义，可得 A，B 的面积和为 S1，C，D 的面积和为 S2，S1＋S2 ＝S3，所以 S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案是 10. 8.1 2(a＋b)(a＋b) 1 2(ab×2＋c2) 1 2(a＋b)(a＋b)＝1 2(ab×2＋c2) 9．(1)17 (2)40 (3)24 [解析] 根据勾股定理，得(1)c＝ a2＋b2＝ 82＋152＝ 289＝17；(2)a＝ c2－b2＝ 412－92＝ 1600 ＝40；(3)b＝ c2－a2＝ 252－72＝ 576＝24. 10．5 [解析] 由已知条件，根据非负数的性质得 a2－6a＋9＝0，b－4＝0，解得 a＝3，b＝4，由勾 股定理可求出斜边长为 5. 11．12 12．解：∵在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2，∴BC＝ AB2－AC2＝ 132－52＝12，∴CD＝BC－ BD＝12－8＝4.在 Rt△ACD 中，AD＝ AC2＋CD2＝ 52＋42＝ 41. 13. 答案：分析：(1)根据勾股定理列方程求解；(2)由 30°角所对的直角边是斜边的一半，设 a＝x(x ＞0)，那么 c＝2x，根据勾股定理列方程求解． 解：(1)设 a＝x(x＞0)，那么 b＝2x，由勾股定理可知 x2＋(2x)2＝52，解得 5x＝ ，即 5a＝ . (2)设 a＝x(x＞0)，那么 c＝2a＝2x.由勾股定理可知，x2＋b2＝(2x)2，即 x2＋152＝(2x)2，解得 5 3x＝ ， 所以 5 3a＝ ，所以 10 3c＝ . 14. 答案：C 点拨：实质是已知直角三角形的一条直角边长为 58，另一条直角边长是 46，求斜边．因 为 2 258 46 74.03(cm)＋ ，所以选 C. 15. 答案：D 点拨：根据斜边与一直角边之比是 13∶5，求出另一条直角边所占的比例是 12 份，60÷(13 ＋12＋5)＝2，所以各边长分别是 13×2＝26，12×2＝24,5×2＝10，故选 D. 16. 答案：C 点拨：我们把楼梯想象为由一根绳子围成的图形，将它拉成为一个长和宽分别为直角 边 AC 和 BC 的长方形，所以地毯的总长实质就是长方形的长和宽之和．(也可根据平移思想) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2， ∴42＝AC2＋22，∴ 2 3AC＝ ， ∴ (2 2 3)(m)BC AC＋ ＝ ＋ ， ∴至少需要 (2 2 3)m＋ 地毯． 17. 答案：B 点拨：根据△ABD 的面积知， 1 102 AD BC ＝ ，可求出 BC＝4.在 Rt△BCD 中，由勾股 定理直接求出 DC＝3.故选 B. 18. 答案：150 点拨：根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2，由 AC＝150－60＝90，BC＝180－60＝120， 得 AB2＝902＋1202＝22 500＝1502，即 AB＝150 mm. 19. 答案：3 cm 点拨：由△ACD≌△AED，得 AC＝AE＝6 cm，CD＝ED.由勾股定理知 AB＝10 cm. 设 CD 长为 x cm，则 DE 为 x cm，BD 为(8－x) cm，BE＝4 cm.在 Rt△DBE 中，x2＋42＝(8－x)2，x＝3. 20. 答案：分析：如答图所示，一只猴子经过的路径是 B→C→A，共走了 10＋20＝30(m)，另一只猴 子经过的路径是 B→D→A，也走了 30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，可利用勾 股定理解决． 第 20 题答图 解：如图所示，设 BD＝x， 则 CD＝BD＋BC＝x＋10. ∴BC＋CA＝BD＋DA＝30， ∴AD＝30－BD＝30－x. 在 Rt△ADC 中，AD2＝CD2＋AC2， ∴(30－x)2＝(x＋10)2＋202， 解得 x＝5. ∴CD＝x＋10＝15(m)． 答：这棵树高 15 m. 21. 答案：分析：根据勾股定理尝试将 AD2，AB2 向线段 BD，BC，CD 转化，因此过 A 点作 CD 的垂 线 AE，如图，得 AD2＝AE2＋DE2，AB2＝AE2＋BE2，借助于等式变换消去 AE2，根据和差关系得出结论． 证明：过 A 作 AE⊥BC 于 E. 第 21 题答图 ∵AB＝AC，∴BE＝CE. 在 Rt△ADE 中， AD2＝AE2＋DE2. 在 Rt△ABE 中， AB2＝AE2＋BE2， ∴AD2－AB2＝(AE2＋DE2)－(AE2＋BE2) ＝DE2－BE2＝(DE＋BE)·(DE－BE) ＝(DE＋CE)·(DE－BE)＝BD·CD. 18．2 勾股定理的逆定理 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，3 2．在△ABC 中，已知 AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论中，错误的是( ) A．△ABC 是直角三角形，且 AC 为斜边 B．△ABC 是直角三角形，且∠B＝90° C．△ABC 的面积为 60 D．△ABC 是直角三角形，且∠A＝90° 3．如图 18－2－1 所示，小明家里刚铺了正方形地砖，他把其中的三个顶点 A，B，C 连成了三角形， 则这个三角形是( ) 图 18－2－1 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 4.如图 18－2－2，以△ABC 的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是 S1，S2，S3.如果 S1 ＋S2＝S3，那么△ABC 的形状是________三角形． 图 18－2－2 5．若三角形的三边长分别为 41，9，40，则这个三角形最大角的度数是________． 6．在下列各组数中，是勾股数的一组是( ) A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C.3 5 ，4 5 ，1 D．4，5，6 7．请完成以下未完成的勾股数：(1)7，________，24；(2)8，________，17. 8．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：__________；__________；__________． 9．在△ABC 中，AB＝12 cm，BC＝16 cm，AC＝20 cm，则 S△ABC 等于( ) A．96 cm2 B．120 cm2 C．160 cm2 D．200 cm2 10．某数学兴趣小组在一次数学课外活动时测得一块三角形稻田的三边长分别为 14 m，48 m，50 m， 则这块稻田的面积为________． 11．如图 18－2－3，在四边形 ABCD 中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形 ABCD 的面积为________． 图 18－2－3 12．如图 18－2－4，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，AC＝12，BC＝5，BD＝25 13. (1)求 AD 的长； (2)判断△ABC 是否是直角三角形． 图 18－2－4 13．如图 18－2－5，正方形 ABCD 由 9 个边长为 1 的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点， 连接 AE，AF，则∠EAF 的度数是( ) 图 18－2－5 A．30° B．45° C．60° D．35° 14．如图 18－2－6，在 4×5 的网格中，A，B 为两个格点，再选一个格点 C，使∠ACB 为直角，则满 足条件的点 C 的个数为( ) 图 18－2－6 A．3 B．4 C．5 D．6 15.如图 18－2－7 所示，在一块地中，∠ADC＝90°，AD＝12 m，CD＝9 m，AB＝39 m，BC＝36 m．求 这块地的面积． 图 18－2－7 16.如图 18－2－8 所示，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝1 4BC. 求证：∠EFA＝90°. 图 18－2－8 17．已知△ABC 的三边长分别为 m2＋n2，m2－n2，2mn. (1)当 m＝2，n＝1 时，△ABC 是否为直角三角形？请说明理由； (2)当 m＝3，n＝2 时，△ABC 是否为直角三角形？请说明理由； (3)当 m，n 为任意正整数时(m＞n)，你能说明△ABC 为直角三角形吗？ 18．夏老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 … (1)请你分别探究 a，b，c 与 n 之间的关系，并且用含 n(n>1)的式子表示： a＝________，b＝________，c＝________； (2)猜想以 a，b，c 为三边的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想． 参考答案 1．B 2．D [解析] 由 82＋152＝172，可知 AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC 是直角三角形，AC 为斜边，∠B ＝90°，AB，BC 为直角边，S△ABC＝1 2AB·BC＝60.因此，A，B，C 项均正确，D 项错误． 3．A [解析] 先利用勾股定理求得这个三角形三边的长，再利用直角三角形的判别条件进行判断． 4．直角 [解析] ∵S1＋S2＝S3，S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC 是直角 三角形． 5．90° 6．B [解析] 一组勾股数必须同时满足两个条件：①两个较小数的平方和等于最大数的平方；②这三 个数都是正整数．符合条件的只有 B 项．故选 B. 7．25 15 8．3，4，5 6，8，10 5，12，13 9．A [解析] 因为 122＋162＝202，所以此三角形是直角三角形，故其面积＝1 2×12×16＝96(cm2)． 10．336 m2 [解析] 首先利用勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，然后利用面积公式进 行计算(直角三角形的面积＝两条直角边乘积的一半)． 11．144 [解析] 连接 AC.由勾股定理可求得 AC＝10.通过计算可知：AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB 是直角，分别求两个直角三角形的面积，即可得答案为 144. 12．解：(1)在 Rt△CDB 中，CD2＝52－(25 13)2， 在 Rt△CAD 中，AD2＝AC2－CD2＝122－52＋(25 13)2，∴AD＝144 13 ＝11 1 13. (2)AB＝AD＋BD＝11 1 13 ＋25 13 ＝13， ∵AB2＝132＝169，AC2＝122＝144， BC2＝52＝25， ∴AB2＝AC2＋BC2， ∴△ABC 是直角三角形． 13．B [解析] 连接 EF.根据勾股定理可以得到 AE＝EF＝ 5，AF＝ 10.∵( 5)2＋( 5)2＝( 10)2，∴AE2 ＋EF2＝AF2，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°. 第 13 题答图 14．D [解析] 如图，根据勾股定理知 AB2＝12＋32＝10.∵12＋32＝10，( 2)2＋(2 2)2＝10，( 5)2＋( 5)2 ＝10，∴符合条件的点 C 有 6 个．故选 D. 第 14 题答图 15．[解析] 连接 AC，由∠ADC＝90°，根据勾股定理可求出 AC，再由勾股定理的逆定理判断出∠ACB ＝90°，从而求出面积． 解：连接 AC，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC2＝AD2＋DC2， 即 AC2＝122＋92＝225， ∴AC＝15. 在△ABC 中，AC2＋BC2＝152＋362＝392， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S＝S△ABC－S△ADC ＝1 2×15×36－1 2×12×9 ＝216(m2)． ∴这块地的面积为 216 m2. 16．[解析] 要证明∠EFA＝90°，在所学的现有知识的基础上，设法证明 AF2＋EF2＝AE2 成立，这里 设 CE＝k，用 k 表示出 AE2，EF2，AF2，再判断即可． 证明：设 EC＝k， ∴BC＝4EC＝4k，BE＝3k，AD＝DC＝4k. ∵F 是 DC 的中点， ∴DF＝FC＝2k， ∴AE2＝AB2＋BE2＝(4k)2＋(3k)2＝25k2， AF2＝DA2＋DF2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2， EF2＝CF2＋EC2＝(2k)2＋k2＝5k2. ∴AF2＋EF2＝AE2， ∴△AEF 是直角三角形， ∴∠EFA＝90°. 17．解：(1)△ABC 是直角三角形． 理由：∵当 m＝2，n＝1 时， (m2＋n2)2＝25， (m2－n2)2＝9， (2mn)2＝16， ∴(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2， ∴△ABC 是直角三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由：当 m＝3，n＝2 时，仍有(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2， ∴△ABC 是直角三角形． (3)∵(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4＋2m2n2＝(m2＋n2)2， ∴当 m，n 为任意正整数时(m＞n)，△ABC 都是直角三角形． 18．解：(1)观察表格可知： a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1. (2)猜想：以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形． 证明：∵(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1， (n2＋1)2＝n4＋2n2＋1， ∴a2＋b2＝c2， ∴以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形．