第16章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是 .a
用 (a≥0)表示.a
复习引入
正数有两个平方根且它们互为相反数；
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
3.平方根的性质：
4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？
0的平方根是0,算术平方根也是0.
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为______.
S
如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 . b-3
25002 a 3b
S
表示一些正数的算术平方根．
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
3b
自主学习
1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
a请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
二次根式的定义
理解要点：两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开数a ≥0
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.
知识要点
例1 下列各式是二次根式吗?
.1 32 5 (7) , a (6)
， xy (5) m-(4)
,12 (3) 6, (2) ,32 (1)
(m≤0）, (x,y 异号)
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1
属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）
中xy≥a(
b
a
=
b
a
0b0，
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理
化运算.
课堂小结
3.最简二次根式的概念
被开方数不含分母；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4.如何化去分母中的根号，请举例说明．
可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质
化去分母中的根号．
5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？
把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的
基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质．
第16章 二次根式
16.2 二次根式的运算
第3课时
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
复习引入
观察下列二次根式有什么共同特征：
（
1） … ，
.
2 23 2
3
12
5
2
， ， ，
（2） … ， . 3 35317 3
13
2
， ， ，
每组的二次根式的被开方数相同.
合作探究
活动1：探究同类二次根式
2 8 18 32 5.0
2
9
（3） …
228
2318
2432
2
2
15.0
2
2
3
2
9
经过化简后，
各根式被开方
数相同，像这
样的几个二次
根式被称为同
类二次根式.
下列根式又有什么共同特征？
(1)说出 的三个同类二次根式;52
(2)下列各式，哪些是同类二次根式?
3 31 1 22 , 75 , , , 3 , 8 , 6 , 2.
50 27 3 2
aab b
b
巩固概念：
45 80 - 20.， ，答案不唯一，如 先化成
最简二
次根式，
再作判
断.
答： 12
50
与 是同类二次根式; 175 3
27
、 与 是同类二次根式;
32 8
3 2
aab
b
与6b 是同类二次根式;
(1)说出 的三个同类二次根式;52
(2)下列各式，哪些是同类二次根式?
3 31 1 22 , 75 , , , 3 , 8 , 6 , 2.
50 27 3 2
aab b
b
巩固概念：
45 80 - 20.， ，答案不唯一，如 先化成
最简二
次根式，
再作判
断.
答： 12
50
与 是同类二次根式; 175 3
27
、 与 是同类二次根式;
32 8
3 2
aab
b
与6b 是同类二次根式;
问题：现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采
用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8 dm2和
18 dm2的正方形木板？
7.5 dm
5dm dm18dm8
dm188
活动2：探究二次根式的加减法则及运用
188
2322
2)32(
25
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
.5.725188
52318
，
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2
的正方形木板．
解：列式如下：
思考:如何合并同类二次根式？
合并同类二次根式的方法是：
（1）化为最简二次根式;
（2）系数相加减;
（3）二次根式不变.
二次根式的加减法则
类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次
根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）
进行合并.
一化 二找 三合并
知识要点
例1 计算:
1 48 12 ;
2 16 36 .a a
提示
按照二次根式的加减法则进行，即先化简,
后判定,再合并.
解： 1 48 12 4 3 2 3
(4 2) 3 2 3.
2 16 36 4 6a a a a
(4 6) 10 .a a
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结
论？
二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开
方数相同）．
整式的加减的实质是合并同类项．
18 98 27 （ 1） （ ）
例2 计算:
解： 2 7 2 3 3
10 2 3 3.
原式=3
12 5 ) ( 6 )
8
（ ）( 24 0.
解： 1 12 6 2 2 6
2 4
13 6 2 .
4
原式
2 3与 能
合并吗?
解题反思：（1）有括号的先去括号，再进行运算；
（2）被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的.
1.同类二次根式的定义.
2.二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式；
(2)把各个同类二次根式合并.
3.如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,
作为结果的系数,根号及根号内部都不变.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数
相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
课堂小结
第16章 二次根式
16.2 二次根式的运算
第4课时
1.同类二次根式的概念？
2.怎样合并同类二次根式？
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，
这几个二次根式就叫做同类二次根式.
（1）化为最简二次根式（2）系数相加减 （3）二次根式不变
3.二次根式的加减运算的步骤？
一化（最简二次根式）；
二找（同类二次根式）；
三合（同类二次根式）.
复习引入
合作探究
活动：探究二次根式的混合运算
8 3 6+ （ ） ；（1） （2） 4 2 3 6 2 2- （ ） ．
例1 计算：
思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后
的目标是什么？（2）呢？
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，
后加减.
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，最后将结果化成最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
例1 计算：
8 3 6 8 6 3 6
48 18 4 3 3 2
+ = +
= + = +
（ ）
；
解：（1）
思考：（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；
第二步的依据是：二次根式的乘法法则；
第三步的依据是：二次根式的化简．
8 3 6+ （ ） ；（1） （2） 4 2 3 6 2 2- （ ） ．
解：
例1 计算：
4 2 3 6 2 2
34 2 2 2 3 6 2 2 2 3
2
-
= - = -
（ ）
．
（2）
思考：（2）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式除以单项式的法则；
第二步的依据是：二次根式的除法法则．
8 3 6+ （ ） ；（1） （2） 4 2 3 6 2 2- （ ） ．
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算
一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法
公式仍然适用.
平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2;
（a+b)2=a2+2ab+b2;
（a-b)2=a2-2ab+b2;
完全平方公式
知识要点
例2 计算：
2( 3 5);（1） （2） ( 80 40) 5;
（3） ( 5 3)( 5 2).
提示 把二次根式看成“项”，（1）、（2）、
（3）分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、
“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算.
看看和你做的一样吗？
2( 3 5) 2 3 2 5 6 10. （1）
解：
（2） ( 80 40) 5 80 5 40 5 4 2 2.
（3）
2
( 5 3)( 5 2)
( 5) 2 5 3 5 6
5 5 5 6
11 5 5.
例3 计算：
1 5 3 5 3
2 2( 5) ( 3)
5 3
2.
用了公式
(a+b)(a-b)
=a2-b2.
2
2 3 2
2 2( 3) 2 3 2 2
3 4 3 4
7 4 3.
用了公式
（a+b)2
=a2+2ab+b2.
谈一谈本节课自己的收获和感受？
（1）以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然
成立；
（2）计算结果最后一定要化成最简形式；
（3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运
算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点；
（4）计算时要做到准确熟练.
课堂小结
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