第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0).
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些
实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题
的步骤吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
复习引入
问题1：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，
从而2017年无公害蔬菜的产量比2015年翻一翻，那么
2016年和2017年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多
少？
思考：
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际
问题？
方程
合作探究
活动1：探究列一元二次方程及其一般形式
2. 如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2015年的产量
为a，那么2016年无公害蔬菜产量为 ，2017年
无公害蔬菜产量为 .
a+ax=a(1+x)
a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2
3.你能根据题意，列出方程吗？
a(1+x)2=2a
把以上方程整理，得 .x2+2x-1=0 （1）
问题２： 在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑
宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向
垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花
坛.如图，要使花坛的总面积为570 m2(图中长度的单位：
m)，问：小路的宽应为多少？
32
2
0
x
1.若设小路的宽是x m，那么
横向小路的面积是______m2，
纵向小路的面积是________
m2,两者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570 m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.
2x2
x2-36x＋35=0 （2）.
32
2
0
x
想一想：
还有其他的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570.
32-2x
2
0
-
x
32
2
0
类比发现，探索新知
1.请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 ， x2-36x+35=0.
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
1.等号两边都是整式
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
特点：
2 0ax bx c
2 0ax bx c
想一想
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数
常数项
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合
理的名字吗？
（1）列表填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x
(x-1)2-9=0
x(x+2)=3(x+2)
4x2-3x=0
x2-2x-8=0
x2-x-6=0
4 -3 0
1 -2 -8
1 -1 -6
2.做一做：
（2）下列方程，哪些是一元二次方程，并说明理由。
x+2=5x-3， x2=4，
2x2-4=(x+2)2，
(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二
次方程？
2
1 10 900 0.xx
3.议一议：
通过以上习题的练习情况，你认为在确定一元二次方程
的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些问题？
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常
数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面
的符号.
（3）二次项系数a≠0.
判断未知数的值x= -1, x=0, x=2是不是方程 x2-2=x的
根.
活动2：探究一元二次方程的根
1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)
2.构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求
a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0，
9+4a=0，
9 .4a
4a=-9，
4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根
为1, 求a+b+c的值.
解：由题意，得 21 1 0.a b c
0.即a b c
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的一个根吗?
解：由题意，得
21 1 0.即a b c
0.a b c
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
拓展:若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的根吗?
课堂小结
2 0ax bx c 2 0ax bx c
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
17.2.1 配方法
读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3.由题意，得
x2-11x+30=0.
x2=10(x-3)+x.
情境导入
2
2
9 3.
9
3 3.
x
x
x x
1
解：
所以方程 有两个根，
，
2 9x 例
合作探究
活动1：探究直接开平方解方程
ax,ax 21
1.方程 的根是___________________.
方程 的根是___________________.
方程 的根是___________________.
2 0.25x
22 18x
2(2 1) 9x
x1=0.5, x2=－0.5
x1＝3， x2＝－3
x1＝2， x2＝－1
3. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 ; （2） x2 ＝50 ;
(3)(x＋1)2=4 ; (4) x2＋2 x＋5=0.5
这种方程怎样
解？
变
形
为
2
a 的形式．（a为非负常数）
变形为x2－4x＋1＝0 （x－2）2=3
活动2：探究用配方法解方程
像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式
后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2；
(2)x2－4x＋ =(x－ )2 ；
(3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2 .
16
6 3
4 2
解：
(2) －x2＋4x－3=0.
(1) x2＋12x =－9；
1.用配方法解下列方程：
2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－3k＋5的值必定大于零.
3.先用配方法解下列方程：
（1） x2－2x－1＝0； （2） x2－2x＋4＝0；
（3） x2－2x＋1＝0.
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所
遇到的问题的？
（2）对于形如x2＋px＋q＝0的方程，在什么条件下才
有实数根？
ax,ax 21
2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平
方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
课堂小结
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:将二次项的系数化为1后，方程两边都加
上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根的意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
17.2.2 公式法
1.化1: 把二次项系数化为1;
2.移项: 把常数项移到方程的右边;
3.配方: 方程两边同加一次项系数一半的平方;
4.变形: 化成（x+m)2=a(a≥0);
5.开平方，求解.
“配方法”解方程的基本步骤：
复习引入
一起用配方法解下面这个一元二
次方程
22 12 2 0.x x
并模仿解一般形式的一元二次方程：
2 0.ax bx c
合作探究
活动：探究用公式法解一元二次方程
22 12 2 0x x 2 0( 0)ax bx c a
2 6 1 0x x 2 0b cx xa a
2 6 1x x 2 b cx xa a
2 6 9 1 9x x 2( )2
b
a
2 2 2( ) ( )2 2
b b c bx xa a a a
2( 3) 10x
2
2
2
4( )2 4
b b acx a a
3 10x 2
2
4
2 4
b b acx a a
2 4 0b ac
10 3x 2 4
2
b b acx a
两边同
除以a
移项
两边同时
加上
整理
开方
解得
步骤
一般地，对于一元二次方程
如果 ，那么方程的两个根为
2 0( 0),ax bx c a
2 4 0b ac
2 4
2
b b a cx a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
知识要点
探索发现
x1= ，x2=
1.两根的代数式结构上有什么特点？
2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
用公式法解下列一元二次方程：
2(1)2 7 4 0.x x
解：（1） 2, 7, 4,a b c
22 4 7 4 2 ( 4) 81 0.b ac
7 81 -7 9.2 2 4x
1 2
1 , -4.2x x
22 3 2 3 .x x
用公式法解下列一元二次方程：
解：将原方程化为一般形式，得
2 -2 3 3=0.x x
1, -2 3, 3,a b c
22 4 -2 3 4 1 3 0.b ac
2 3 0 3 .2x
1 2 3.x x
用公式法解一元二次方程：
解:原方程即为 ，22 3 1 0x x
22 4 3 4 2 1 17.b ac
23 3 4 2 1 3 17 .2 2 4x
1 2
3 17 3 17, .4 4x x
2, 3, 1,a b c
22 1 0.3 3x x
解方程： （精确到0.001）.2 1 0x x
1, 1, 1,a b c
2 24 1 4 1 ( 1) 5 0.b ac
1 5 .2x
1 20.618, 1.618.x x
解：
用计算器求得： 5 2.2361.
课堂小结
一般地，对于一元二次方程
如果 ，那么方程的两个根为
2 0( 0),ax bx c a
2 4 0b ac
2 4 .2
b b a cx a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
运用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出 的值； 2 4b ac
（3）若 ，把a、b、c及 的值代
入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若 ，此时方程无实数解.
2 4 0b ac 2 4b ac
2 4 0b ac
1.用公式法解方程 ，得到（ ） 24 12 3 0x x A
3 6
2x 3 6
2x
3 2 3
2x 3 2 3
2x
A.
C. D.
B.
随堂训练
2.用公式法解下列方程：
23 4 1 0;x x
23 1 2 3 .y y
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
17.2.3 因式分解法
一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一
元二次方程的解的方法有哪些？
（a≠0）
主要方法: (1)配方法; (2)公式法.
复习引入
2 0ax bx c
因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
什么是因式分解？
在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用
因式分解求出某些一元二次方程的解.
合作探究
活动：探究用因式分解法解一元二次方程
解下列方程：
（1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16.
解：（1）将原方程的左边分解因式，
得x（x-3）＝0，
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方
法叫做因式分解法.
• 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边
为零；
• 将方程的左边分解因式；
• 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程.
因式分解法的基本步骤如下：
.1
.1
x
x
x
原方程的解为
，得以解：方程的两边同时除
xx 2
这样解是否正确呢？
交流讨论：
xx 2
是原方程的解；右边，左边
，右边时，左边当解：
0
.0000)1( 2
x
x
.1,0
1
,0)2(
21
xx
x
xx
原方程的解为
，
，得方程的两边同除以时当
填空：
（1）方程x2+x=0的根是 _________________；
（2）x2－25=0的根是________________.
x1=0, x2=-1
x1=5, x2=-5
解方程：x2-5x+6=0.
解: 把方程左边分解因式，得
（x-2）（x-3）=0.
因此x-2 =0或x-3=0.
∴x1=2，x2=3.
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2.
解方程：（x+4）（x-1）=6.
解 把原方程化为标准形式，得
x2+3x-10=0.
把方程左边分解因式，得
（x-2）（x+5）=0.
因此x-2 =0或x+5=0.
∴x1=2，x2=-5.
解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 ,或3x－17=0.
解得 x1=0, x2= .3
17
(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0,
即 (7x－7) (-x－1)=0.
∴7x－7=0,或 -x－1=0.
∴x1=1, x2=-1.
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程
转化为解两个一元一次方程.
课堂小结
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第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
用公式法求下列方程的根:
用公式法
解一元二次
方程的一般
步骤:
1)把方程化为一般形式
确定a , b , c 的值.
3)代入求根公式
计算方程的根.
a
acbbx 2
42
2)计算 的值.acb 42
042 acb
022)1 2 xx
014
1)2 2 xx
01323)3 2 xx
01)4 2 xx
复习引入
2 4 .2
b b acx a
温故而知新
一般地，对于一元二次方程
如果 ，那么方程的根为2 4 0b ac
2 0( 0).ax bx c a
2 0ax bx c
2 0b cx xa a
2 b cx xa a
配方法
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式
如何把一元二次方程 写成
（x+h)2=k 的形式？
2 0( 0)ax bx c a
2 2
2
2 2
b b c bx xa a a a
2 2
2
4
2 4
b b acx a a
2 2
2 ( 02 4
4 )b acbx aa a
当b2-4ac＞0时，方程的右边是一个正数，方程有两个
不相等的实数根：
2 2
1 2
4 4; ;2 2
b b ac b b acx xa a
4a2＞0，
acb 42
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？
当b2-4ac=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实
数根：
当b2-4ac＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数
范围内，负数没有平方根，所以，方程没有实数根：
1 2 ;2
bx x a
3.当方程没有实数根时，那么 . 2 4 0b ac
1.当方程有两个不相等的实数根时，有 ；2 4 0b ac
2.当方程有两个相等的实数根时，有 ； 2 4 0b ac
反过来，对于一元二次方程 ： 2 0( 0)ax bx c a
我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，用符号“ ”来表示.
即一元二次方程 2 0 0ax bx c a ，
反之，同样成立.
acb 42
)0(02 acbxax
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 =0 时，方程有两个相等的实数根；
当 ＜0 时，方程没有实数根.
求下列一元二次方程根的个数：
2(1)2 5 3 0x x
22 3 3 6x x
2(3) 1 0x x
2 4 1 0,b ac
2 4 0,b ac
2 4 3 0b ac
方程有两个不相等的根
方程有两个相等的根
方程没有实数根
练习：按要求完成下列表格：
Δ的值
根的情
况 有两个相等
的实数根
没有实数根 有两个不相
等的实数根
方程判别式
与根
0132 2 xxyy 422 2 0)1(2 2 xx
15 170 00
一
般
步
骤： 3、判别根的情况，得出结论.
2、计算 的值，确定 的符号.
例: 不解方程，判别下列方程根的情况.
1、化为一般式，确定 的值.cba 、、
0132)3(
20425)2(
0235)1(
2
2
2
xx
yy
xx
不解方程，判别关于 x 的方程
的根的情况.
2 22 2 4 1k k 解：
2 2 28 4 4k k k
.方程有两个实数根
2 22 2 0x kx k
2 24 0 0,k k 0, ，即∵
分析： ，1a ，kb 22 .2kc 系数含有字
母的方程
2 2 1 0 0a x ax a 不解方程，判别关于 x的方程
的根的情况.
解：
=a2+4a2=5a2＞0，所以原方程
有两个不相等的实数根.
课堂小结
对于一元二次方程 ： 2 0( 0)ax bx c a
反之，同样成立.
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 =0 时，方程有两个相等的实数根；
当 ＜0 时，方程没有实数根.
第17章 一元二次方程
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
复习引入
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
方程 x1 x2 x1+ x2 x1·x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
问题：你发现这些一元二次方程的系数与x1+ x2，
x1 • x2有什么规律？
2 1 3 2
-1 3 2 -3
1 4 5 4
合作探究
活动：探究一元二次方程的根与系数的关系
方 程 x1 x2 xx 21 xx 21.
0169 2 xx
0143 2 xx
0273 2 xx
3
1
3
1
3
2
9
1
3
72
3
4
3
1
3
1 -2
3
7 3
2
x1+ x2，x1·x2与系数有什么规律?
3
72
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为
x1, x2.
qxxpxx 2121
a
bxx 21 a
cxx 21
042 acb
1 2x x
2 24 4
2 2
b b ac b b ac
a a
2 0( 0)ax bx c a 中,
2 24 4
2
b b ac b b ac
a
2
2
b
a
.b
a
2 2
1 2
4 4, ,2 2
b b ac b b acx xa a
Q
1 2x x 2 24 4
2 2
b b ac b b ac
a a
2 2 2
2
( ) ( 4 )
4
b b ac
a
2 2
2
( 4 )
4
b b ac
a
2
4
4
ac
a
.c
a
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1 + x2= , x1 ·x2= .a
b- a
c
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提
为b2-4ac≥0.
一、直接运用根与系数的关系
例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.
2
2
2
415)3(
0973)2(
0156)1(
xx
xx
xx
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写.a
b
二、求关于两根的对称式或代数式的值
2
2
2
1)1( xx
21
11)2( xx
例2.设 是方程 的两个根，利用根
与系数的关系，求下列各式的值.
21 , xx 0342 2 xx
)1)(1)(3( 21 xx 2
212
2
1)4( xxxx
2
1
1
2)5( x
x
x
x 2
21 ))(6( xx
三、构造新方程
例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且
二次项系数为1.
变式：且二次项系数为5.
例4.方程 的两根同为正数，求p、q的取
值范围.
02 qpxx
四、求方程中的待定系数
变式:方程 有一个正根，
一个负根，求m的取值范围.
解:由已知,得 0)1(44 2 mmm△=
01
21
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