沪科版八年级数学下册第18章勾股定理

第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第1课时 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数 量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系． 毕达哥拉斯 A B C 看似平淡 无奇的现 象有时却 隐藏着深 刻的道理 情景引入 A B C 发现: 以等腰直角三角形两直 角边为边长的小正方形的面积的 和，等于以斜边为边长的正方形 的面积.即我们惊奇地发现，等 腰直角三角形的三边之间有一种 特殊的关系：斜边的平方等于两 直角边的平方和. 思考：你能发现图中的等腰直 角三角形有什么性质吗？ 合作探究 活动：探究勾股定理与图形的面积 一般直角三角形也有上述性质吗？ A B C 图1-1 A B C 图1-2 图中每个小方格的面积均 为1，请分别计算出图①、 ②中A、B、C的面积，看 看能得出什么结论. 图① 图② A B A B C C A的 面积 B的 面 积 C的 面 积 图① 图② 16 9 25 4 9 13 正方形面积间的关系： SA+SB=SC   怎样得到正方形C的面 积？与同伴交流交流． A B C 图1-1 图① A B C a b c 正方形面积间的关系： SA+SB=SC 猜想：直角三角形三边 之间的关系，即：两直 角边的平方和等于斜边 的平方. 设：直角三角形的 三边长分别是a、b、c SA+SB=SC a2+b2=c2 命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜 边长为c,那么a2+b2=c2. a b c 我国汉代的数学家赵爽指出：四个全 等的直角三角形如下拼成一个中空的正 方形. 赵 爽 弦 图c b a 黄 实 朱实 赵爽 请同学们拿出已准备的四个全等的直角三角形动手拼一拼！ 温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法. “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.这个图案被选为2002年在北 京召开的国际数学大会的会徽. a bc S大正方形＝c2 , S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形, 赵爽弦图 证明： b-a 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或 百牛定理. (a、b、c为正数) 勾股定理 如果直角三角形的两直角边 长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形： 2 2 2 2 2 2 - - a c b b c a c a b     , 勾 股 弦 即：勾2+股2=弦2 前提知识要点 例1 求下列直角三角形中未知边的长: 8 x 17 16 20 x 12 5 x 温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长 时，应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快 捷准确！ x=15 x=12 x=13 例2 已知在Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则 BC= . 5 或 7 4 3A C B 4 3C A B 温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是 斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可 能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则 容易丢解. ⒈是不是所有的三角形的三边关系都满足勾股定理？ ⒉在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？ ⒊据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种，今 天我们用了什么方法？ 4.运用勾股定理应注意哪些事项？ 不是 由特殊到一般 面积法 （1）前提是在直角三角形中； （2）弄清哪个角是直角； （3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论. 课堂小结 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时 1.叙述勾股定理的内容 2. 矩形的一边长是5，对角线是13，则它的面积 是 . 3.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ） （A）42 （B）32 （C）42或32 （D）30或35 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c, 那么a2+b2=c2. 60 C 复习引入 问题1 有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水 池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池 一边,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少? X+1X 5C B D A 实际问题 数学问题 实物图形 几何图形 合作探究 活动1：探究勾股定理的应用 X+1X 5C B D A 解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得 x2+52=(x+1)2 x=12 答：水深12尺，芦苇长13尺. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程或方程组； （4）解决实际问题. 知识要点 例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树 在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6 米 8 米 6 米 A C B 6 米 8 米 解：在Rt△ABC中，AC=6， BC=8， 由勾股定理得 2 2 2 26 8 10. AB AC BC     ∴这棵树在折断之前的高 度是10+6=16（米）.   问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 证明“HL” 2 2BC AB AC ，= - 2 2-=B C A B A C ．′ ′ ′′ ′ ′   证明：在Rt△ABC 和 Rt△A B C 中，∠C=∠C′ =90°，根据勾股定理，得 ′′′   已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中， ∠C=∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ． 求证：△ABC≌△A B C ． ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ A B C A BC′ ′ ′ ∴ △ABC≌△A B C （SSS）．   ∵ AB=A B ， AC=A C ， ∴ BC=B C ． A B C A BC′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′   问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的 表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？13 探究思路：把握题 意——找关键字 词——联系相关知 识——建立数学模 型（建模） 提示 直角边长为整数2，3的直角 三角形的斜边为 .13 活动2：探究用勾股定理在数轴上表示无理数  13  “数学海螺” 类比迁移  2 3 4 5 用同样的方法，你能 否在数轴上画出表 示 ， ， …的线段 1 ，2 3 4 5 2, 3, 5,L 2 3 5 利用勾股定理表示无理数的方法 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 整数的直角三角形的斜边.如本题中的 看成直角边分 别为2和3的直角三角形的斜边； 看成是直角边分别为1 和2的直角三角形的斜边等. 13 5 （2）以原点O为圆心，以无理数的长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示负无理数，在原点右边 的点表示正无理数. 知识要点 1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？ （2）注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到 合适的直角三角形. 数学问题 直角三角形勾股定理 实际问题 转化 构 建 利用 解 决 （1） 2.用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？ 构造直角三角形，即把长为无理数的线段看成是两直角边 长都为整数的直角三角形的斜边. 课堂小结 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？ ①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形; ②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角 形就是直角三角形. 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断 是否为直角三角形呢？ 1. 直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两锐角互余； (3)勾股定理； (4)含30°角的直角三角形的性质. 问题引入  据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打 上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结 间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便 是直角．你认为结论正确吗？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 相传，大禹治水 时也用这类似的 方法确定直角. 合作探究 活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用 如果三角形的三边长分别为3，4， 5，这些数满足关系：32+42=52，围成 的三角形是直角三角形． 具体做法：把一根绳子打上等距离的13 个结，然后把第1个结和第13个结用木桩 钉在一起，再分别用木桩把第４个结和 第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了 一个三角形，其中有一个角是直角 .    实验操作： 下列各组数中的两数的平方和等于 第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位： cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5． 动手画一画  （1）这二组数都满足 222 cba  吗？ （2）它们都是直角三角形吗？ （3）提出你的猜想： 命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 命题2与上节命题1的题设和结论有何关系? 由上面的几个例子你有什么发现？ 命题1：直角三角形 a2+b2=c2 命题2： 直角三角形a2+b2=c2 题设 结论 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题， 其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 勾股定理 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为 c，那么满足a2+b2=c2. 勾股定理的逆命题 互逆命题 ？ 证明结论   ∠C是直角    △ABC是直角三角形   A  B  C a b c  已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．  求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边 分别为a,b的 Rt△A′B′C′ △ABC≌ △A′B′C′     已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．  求证：△ABC是直角三角形． 证明：作Rt△A′B′C′， 使∠C′=90 ° ，A′C′=b，B′C′=a， ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴∠C= ∠C′=90°， △ABC是直角三角形. 则 2 2 2 2 2.AB BC AC a b         2 2 2,Qa b c  2 2, .取正得A B c A B c       在 和 中,ABC A B C    A C A C B C B C A B A B            C B  a A  bc A CaB bc A CB a bc a2+b2=c2 直角三角形 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角 形的判定定理，即已知三角形的三边长， 且满足两条较小边的平方和等于最长边的 平方，即可判断此三角形为直角三角形， 最长边所对角为直角. 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=25 ， b=20 ， c=15; 解：（1）因为152+202=625，252=625，所以152+202=252. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠A是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：（2）因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152， 不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角 三角形. (4) a:b: c=3:4:5. 解： （4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为 （3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这 个三角形是直角三角形，∠C是直角. 解： (3) a=1 ， b=2 ， c= ;3 奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25； 9，40，41等等 偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17； 10，24，26等等 解题小结： 勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边 长的正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 勾股数的拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数， 这组数同样是勾股数. （1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？ 内容是：如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 作用：把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关 系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直 角三角形的判定依据. 课堂小结   经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程. （3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历 了哪些过程？ （2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你 能说出它们之间的关系吗？ 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命 题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆 命题. 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 1.勾股定理的逆定理的内容： 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那 么这个三角形是直角三角形. a2+b2=c2 3.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，则_____ =90°. ∠B 2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上 的高为( ) 17 120.D8.C15.B17.A B 复习引入 引例 判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直 角三角形，其中a= ,b=1,c= .6 5 小明的解法是： 请问小明的解法对吗？若对，请说明其依据是什 么？若不对，错在哪里？写出正确的解答过程. 合作探究 活动：探究勾股定理的逆定理的应用 ∴a2 +b2 ≠c2， 答：不对，错在没有分清最长边. 正确解答如下： 判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小边的 平方和是否等于最长边的平方.不能简单地看某两边的平方 和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判. 勾股定理的逆定理使用“误区” 勾股定理及其逆定理使用方法 解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定 理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理判断一 个三角形是否是直角三角形. 知识要点 例1 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB ＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积 。 A D B C 3 4 13 12 连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的 逆定理判断△ACD是直角三角形. 提示 A D B C 3 4 13 12 连接AC.解: 例2 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海， 晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西 方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在 PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里， BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则 可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定理可得 出△ABC是直角三角形，然后利用直角 三角形的面积公式可求出PD的值，然 后利用勾股定理便可求出CD的长. 东 北 P A B C Q D 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三角形的 面积公式有BC·AB=AC·BD. 即6×8=10BD，解得BD= . 在Rt△BCD中， 2 2 2 22 48 ( ) 6 .4 .5C D B C B D     又∵该船只的速度为12.8海里/时， ∴需要6.4÷12.8=0.5（时）=30（分）进入我领海， 即最早晚上10时58分进入我领海. 24 5 解题反思： 找出CD是该船只进入我领海的最短路线，也就 是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南北方向和 东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC三 边的数量关系可判定△ABC是直角三角形，于是本题 便构造直角三角形，应用勾股定理及其逆定理. 运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？ （1）要正确使用勾股定理的逆定理，只有弄清楚满足 的关系式a2+b2=c2,其中a,b是两较短边，c是最长边，最 长边所对的角才是直角. （2）在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股 定理是“黄金搭挡”，经常配套使用，即有时先用勾股 定理，再用其逆定理；有时先用其逆定理再用勾股定理， 要视具体情况而定. 课堂小结 （3）勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方 位角的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条 件，转化为解决直角三角形问题所需的条件.